PAGEPAGE1四川省成都市2024屆高三一模數學試題（理）第I卷（選擇題）一?選擇題1.二項式展開式中的系數為（）A.1 B.3 C.5 D.15〖答案〗D〖解析〗的展開通項公式為，令得，所以展開式中系數為，故選：.2.普法知識宣傳小組打算從某小區的2000人中抽取25人進行法律知識培訓，擬采取系統抽樣方式，為此將他們一一編號為，并對編號由小到大進行分段，假設從第一個號碼段中隨機抽出的號碼是2，那么從第三個號碼段中抽出的號碼為（）A.52 B.82 C.162 D.252〖答案〗C〖解析〗采取系統抽樣方式，從2000人中抽取25人，那么分段間隔為，第一個號碼是2，那么第三個號碼段中抽出的號碼是．故選：C.3.已知復數（為虛數單位），則的虛部為（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用虛數單位的冪的運算及除法運算法則計算化簡后，根據虛部的定義得到〖答案〗.【詳析】∵，∴的虛部為-1，故選：A.4.若數列滿足，則（）A.6 B.14 C.22 D.37〖答案〗D〖解析〗∵，∴，，，∴.故選：D.5.已知向量，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以.故選：C.6.若實數滿足，則的最小值為（）A.0 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗作出不等式表示的平面區域如圖：令，則，即當直線在軸上截距最小時，取最小，即過點時，取最小值.故選：B.7.已知函數的大致圖象如圖所示，則的〖解析〗式可以為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A，當時，，無意義，故A錯誤；對于B，，，則是奇函數，當時，，則；對于C，當時，，則，故C錯誤；對于D，，則，則是偶函數，故D錯誤，綜上，B正確.故選：B.8.已知平面，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗因為，，所以由面面平行的性質定理可得，則充分性成立；因為，可知，所以，則，又，則，當時，由線面平行的性質定理可知，則必要性不成立；綜上所述，是的充分不必要條件.故選：A.9.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為在上增函數，所以，即.造函數，則，令，解得，當時，，則為單調遞減；當時，，則為單調遞增.所以函數在處取得最小值，即，所以，即，.綜上所述，.故選：C.10.已知，且，則（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗因為，所以，又因為，所以，所以，兩邊平方得，，即，，，，，即，解得或，因為，所以，故選：.11.若恒成立，則實數的最大值為（）A. B.2 C.1 D.〖答案〗D〖解析〗當時，，不等式成立；當時，恒成立，即，令，則，因為時，（后證）所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞減，故，所以，即實數的最大值為.證明當時，，令，，則，則在上單調遞增，所以，即.故選：D.12.已知圓經過橢圓的兩個焦點，圓和橢圓在第二象限的交點為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗對于圓，即，圓心為，半徑為，當時，，當時，，即如圖點即橢圓的兩個焦點為，即，又圓和橢圓在第二象限的交點為，由圓周角的性質可得，則，又由得，又得，解得，所以離心率.故選：C.第II卷（非選擇題）二?填空題13.已知集合，則__________．〖答案〗〖解析〗，，則.故〖答案〗為：.14.曲線在點處的切線方程為________．〖答案〗〖解析〗因為，所以所求切線的斜率，而，故所求的切線方程為，即.故〖答案〗為：.15.記為等差數列的前項和．若，且成等比數列，則的值為__________．〖答案〗〖解析〗設等差數列的公差為，則①，又因為成等比數列，所以，即②，由①②解得，所以.故〖答案〗為：.16.已知高，底面半徑的圓錐內接于球，則經過和中點的平面截球所得截面面積的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗設球的半徑為，線段的中點為，因為，所以，解得，設經過和中點的平面截球所得截面圓的圓心為，半徑為，球心到截面的距離，則，要截面面積最小，則要最小，即要最大，當為點到的距離時最大，此時，又，所以，所以，故截面面積的最小值為.故〖答案〗為：.三?解答題17.如圖，正四棱柱中，為的中點，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．（1）證明：正四棱柱中平面，又四邊形是正方形，得，所以，以為坐標原點，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如下圖：，，因為，所以即，又平面，，所以平面.（2）解：,,設平面的一個法向量為.由得，即，令，則，即，又.由（1）知，是平面的一個法向量，又.所以，.由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值.18.某校高中階段實行體育模塊化課程教學，在高一年級開設了籃球和羽毛球兩個模塊課程，從該校高一年級隨機抽取的100名男生和100名女生中，統計出參加上述課程的情況如下：男生女生總計參加籃球模塊課程人數602080參加羽毛球模塊課程人數4080120總計100100200（1）根據上述列聯表，是否有的把握認為該校高一年級體育模塊化課程的選擇與性別有關；（2）根據抽取的200名學生的模塊化課程成績，每個模塊課程的前3名獲得參加體育模塊化教學推廣大使的評選資格，若在有評選資格的6名學生中隨機選出2人作為體育模塊化課程教學的推廣大使，記這兩人中來自籃球模塊化課程的人數為，求的分布列和期望．附：．0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828解：（1）由列聯表數據可得，所以有的把握認為該校高一年級體育模塊化課程的選擇與性別有關.（2）隨機變量的取值可能為.,的分布列為.19.已知函數．在銳角中，角的對邊分別是，且滿足．（1）求A的值；（2）若，求的取值范圍．解：（1），則，即，又銳角中，，則，則，解之得.（2）銳角中，，則，又，則由正弦定理可得又，則，，則，則，即，由，，可得，則，又，則故的取值范圍為．20.已知拋物線的焦點為．（1）已知過點的直線與拋物線相交于兩點，求證：以為直徑的圓與直線相切；（2）若直線交拋物線于兩點，當的面積為2時，求直線的方程．解：（1）拋物線的焦點為．當過點的直線斜率不存在時，其方程為，代入，可得，則以為直徑的圓圓心為，半徑為2，又圓心到直線距離為2，等于圓的半徑，則以為直徑的圓與直線相切；當過點的直線斜率存在時，由題意可得其方程可設，不妨令，由，整理得，則，中點橫坐標為，則，又中點到直線的距離為,則以為直徑的圓與直線相切.綜上，以為直徑的圓與直線相切.（2）不妨令，由，整理得，則，，整理得，解之得，或，或.經檢驗均符合題意.則直線的方程為或或．21.已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當時，求證：．（1）解：由已知，當時，恒成立，函數在上單調遞增；當時，若，得，函數單調遞增，若，得，函數單調遞減；綜上所述：當，函數在上單調遞增，當時，函數在單調遞增，在單調遞減；（2）證明：由，得，即證，①當時，設函數，則，在上單調遞增，所以所以成立；②當時，要證成立，即證設函數，，則，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以，即，設，則，在上單調遞減，所以，即，所以，綜上：成立.選修4-4：坐標系與參數方程22.在平面直角坐標系中，已知直線的參數方程為（為參數，）．以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）當時，求直線的普通方程；（2）已知點，若直線交曲線于兩點，且，求的值．解：（1）當時，求直線的參數方程為，化簡得直線的普通方程.（2）因為曲線的極坐標方程為，所以.又因為，所以曲線的普通方程為.將直線的參數方程為（為參數，）代入，得，化簡得，即.因為直線交曲線于兩點，所以，即，又設兩點對應的參數分別為，則.因為點在直線上，所以，