學年第一學期期末教學質量調測高三數學試題注意事項：1．本科考試分為試題卷和答題卷，考生須在答題卷上答題，2．答題前，請在答題卷的規定處用，黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫學校、班級、姓名和準考證號．3．試卷分為選擇題和非選擇題兩部分，共4頁．全卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．若（為虛數單位），則（）A．2B．C．3D．3．函數的單調遞減區間是（）A．B．C．D．4．已知平面向量，若，則（）A．或B．或C．或3D．或35．已知命題：函數在內有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（）A．B．C．D．6．直線交曲線于點，則的最小值為（）A．B．C．D．7．已知為非負實數，且，則的最小值為（）A．B．C．D．8．若對任意實數，恒有成立，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知，關于的一元二次不等式的解集可能是（）A．B．C．D．10．已知直線為異面直線，平面平面，則下列線面關系可能成立的是（）A．B．平面C．平面平面D．平面平面11．已知等差數列的前項和為，則（）A．數列為等比數列B．C．當且僅當時，取得最大值D．12．雙曲線上一動點為雙曲線的左、右焦點，點為的內切圓圓心，連接交軸于點，則下列結論正確的是（）A．當時，點在的內切圓上B．C．D．當時，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若的展開式中二項式系數之和為32，則展開式中的含的項的系數為____________．14．已知函數在上存在極值點，則正整數的值是____________．15．盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝聿銘設計的，已成為巴黎的城市地標．盧浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長為，高為，若該四棱錐的五個頂點都在同一個球面上，則該外接球的表面積是____________．16．已知為坐標原點，為拋物線的焦點，過點的直線交于兩點，直線分別交于，則的最小值為____________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知銳角的內角，所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若，求的周長的取值范圍．18．（12分）已知數列的前項和為．若為等差數列，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）設，求．19．（12分）臨近新年，某水果店購入三種水果，數量分別是36箱，27箱，18箱．現采用分層抽樣的方法抽取9箱，進行質量檢查．（1）應從三種水果各抽多少箱？（2）若抽出的9箱水果中，有5箱質量上乘，4箱質量一般，現從這9箱水果中隨機抽出4箱送有關部門檢測．①用表示抽取的4箱中質量一般的箱數，求隨機變量的分布列和數學期望；②設為事件“抽取的4箱水果中，既有質量上乘的，也有質量一般的水果”，求事件發生的概率．20．（12分）如圖，在三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，．（1）求證：；（2）若平面平面，在線段（包含端點）上是否存在一點，使得平面平面，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由．21．（12分）已知橢圓與圓交于兩點，直線過該圓圓心，且斜率為，點分別為橢圓的左、右頂點，過橢圓右焦點的直線交橢圓于兩點，記直線的斜率分別為．（1）求橢圓的離心率；（2）若，求的值．22．（12分）已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）若函數有兩個解，求證：．2023學年第一學期期末教學質量調測高三數學試題參考答案一、選擇題1-4CBCA5-8DBBC二、選擇題9．ACD10．AD11．AB12．AB三、填空題17．（1）由已知得，，，為銳角三角形，．（2）由正弦定理得，則，因為得，得所以，得．18．（1）由已知得，設公差為，則，求得，當時，，符合上式，（2）由（1）知，令，得，當時，則當時，則；19．（1）根據分層抽樣，水果需要抽取，B水果需要抽取（2）01234所以20．（1）取的中點，連接，因為是邊長為2的正三角形，所以，由，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）得，因為平面平面且交線為，所以平面，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，則，設，則設平面的法向量為，，則有，取設平面的法向量為則有，所以，若平面平面，則，求得，所以．21．（1）由已知得，中點為，設，由得，，（2）由（1）得橢圓的方程為：．設，直線的方程為，，過作軸的垂線交分別于點易知直線，得同理直線，得得，由（※）知，，得．22．（1）由題意知的定義域為．對已知函數求導可得令，得，若，則，若