第56講直線與圓錐曲線【知識通關】通關一、直線與曲線聯立1.直線與橢圓聯立.；；；；；；.2.直線與拋物線聯立，消去得.；；.通關二、中點問題與點差法對于橢圓，設弦的兩端點以及中點的坐標分別為、、，那么.兩式相減，得，即.當，兩邊同除，得.于是我們得到弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關系式：，.通關三、切點弦問題假設橢圓：在兩點，處的切線分別為，，若，相交于點，那么：，：.點同時位于直線和直線上，于是.所以直線的方程為.這就意味著當定點位于橢圓外時，它對應的“切線方程”實際上是該點對應的切點弦方程.下面給出點對于幾種標準圓錐曲線的切點弦方程：圓：的點弦方程為；橢圓：的切點弦方程為；雙曲線：的切點弦方程為；拋物線：的切點弦方程為.【結論第講】結論一、直線與橢圓交點問題（1），直線與橢圓有兩個交點；（2），直線與橢圓有一個交點（相切）；（3），直線與橢圓無交點.【例1】若直線與橢圓恒有公共點，求實數的取值范圍.【變式】已知中心在坐標原點的橢圓經過點，且點為其右焦點.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在平行于的直線，使得直線與橢圓有公共點，且直線與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.結論二、切線問題1.當點在圓上時，過該點的切線方程為；2.當點在橢圓上時，過該點的切線方程為；3.當點在雙曲線上時，過該點的切線方程為；4.當點在拋物線上時，過該點的切線方程為.【例2】已知一條直線與橢圓相切于點，求切線的方程.【變式】已知橢圓，，是過點且相互垂直的兩條直線，問實數為何值時，直線，都與橢圓相切.結論三、弦長問題設橢圓與直線:相交于，兩點，則弦長為：.【例3】已知橢圓：.（1）若斜率為1的直線過橢圓的右焦點，交橢圓于，兩點，求弦的長.（2）若直線為，當為何值時，直線被橢圓所截得的弦長？【變式】已知橢圓：，為坐標原點，為橢圓的右頂點，點（異于點）為橢圓上一個動點，過作線段的垂線交橢圓于點，，求的取值范圍.結論四、中點問題1.已知橢圓內一點，則以為中點的弦所在的直線方程為；2.已知拋物線內一點，則以為中點的弦所在的直線方程為.【例4】已知橢圓與直線相交于，兩點，是的中點，若，的斜率為，求橢圓的方程.【變式】已知拋物線的焦點為，設，為拋物線上兩點，且不與軸垂直，若線段的垂直平分線過點，求證：線段中點的橫坐標為定值.結論五、垂直問題1.斜率角度.2.向量角度.【例5】已知橢圓：的離心率為，橢圓上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6.（1）求橢圓的方程；（2）設直線：與橢圓交于，兩點，點，且，求直線的方程.【變式】在平面直角坐標系中，拋物線：，斜率為2的