多目標決策方法

李小飛1精選2021版課件多目標決策的基本概念多目標決策的數學模型及其非劣解多目標決策建模的應用實例

2精選2021版課件

用LINGO軟件求解目標規劃問題3精選2021版課件1.求解方法概述LINGO（或LINDO）不能直接求解目標規劃問題，但可以通過逐級求解線性規劃的方法，求得目標規劃問題的滿意解。4精選2021版課件2.示例例1

用LINGO求解目標規劃問題5精選2021版課件解：首先對應于第一優先等級，建立線性規劃問題：用LINGO求解，得最優解＝0，最優值為0。具體求解過程如下：6精選2021版課件啟動LINGO軟件，窗口如圖1所示。圖17精選2021版課件在LINGO工作區中錄入以下程序（參見圖2）model:min=d1;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;END其中x1、x2分別代表決策變量、；d1_、d1分別代表偏差變量、。8精選2021版課件圖29精選2021版課件在菜單LINGO下點選“Solve”，或按復合鍵“Ctrl+S”進行求解。LINGO彈出求解結果報告（參見圖3）：

詳細信息如下圖310精選2021版課件

對應于第二優先等級，將＝0作為約束條件，建立線性規劃問題：用LINGO求解，得最優解＝0，，最優值為6。具體LINGO程序及輸出信息如下：LINGO程序為（參見圖4）：11精選2021版課件model:min=d2_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;d1=0;END12精選2021版課件圖413精選2021版課件LINGO運算后輸出為（參見圖5）：

圖514精選2021版課件

對應于第三優先等級，將＝0，作為約束條件，建立線性規劃問題：用LINGO求解，得最優解是，，最優值為7。具體LINGO程序及輸出信息如下（參見圖6）：15精選2021版課件model:min=d3_;10*x1+15*x2+d1_-d1=40;x1+x2+d2_-d2=10;x2+d3_-d3=7;d1=0;d2_=6;END16精選2021版課件圖617精選2021版課件LINGO運算后輸出為：（參見圖7）圖718精選2021版課件因此，＝0，就是目標規劃的滿意解。19精選2021版課件第一部分

多目標決策的基本概況

20精選2021版課件本章將從多目標決策（也稱多目標規劃）方法的作用出發，通過分析簡單的多目標決策問題的幾個案例，闡述多目標決策的基本概念。任何決策問題的解決主要依賴于所謂的決策者和分析者。決策者一般指有權挑選行動方案，并能夠從中選擇滿意方案作為最終決策的人員。政府官員、企業行政管理人員均為某類問題的決策者。決策者的作用是：評價和判斷各目標的相對重要性；根據目標的當前水平值以及主觀的判斷和經驗，提供關于決策方案的偏好信息。分析者一般指能夠提供可行方案和各目標之間的折中信息的人或機器，比如經濟學家、工程師、系統分析員、社會學家、計算機等。21精選2021版課件只有一個目標的決策問題稱為單目標決策（或單目標規劃）問題，相應的解題方法稱為單目標方法。具有2個或2個以上目標的決策問題稱為多目標決策問題，相應的求解方法稱為多目標方法。從方法的特點來看，單目標方法強調分析者的作用，忽視決策者的作用。而多目標方法則由決策者探尋和確定備選的可行方案范圍，評價目標的相對價值。從求解過程來看，單目標方法采用統一的單一度量單位，向決策者提供唯一的最優方案。22精選2021版課件由于模型的不準確性和單一目標的片面性，這種所謂最優的方案并不一定是決策者滿意的。自然，用這種最優方案作為決策者的最終決策具有強迫性質，往往難以為決策者接受。另一方面，多目標方法向決策者提供經過仔細選擇的備選方案（多種方案）。這樣使得決策者有可能利用自己的知識和經驗對這些方案進行評價和判斷，從中找出滿意方案或給出偏好信息以及尋找更多的備選方案。概括起來，多目標決策方法處理實際決策問題有三個方面的優點：（1）加強了決策者在決策過程中的作用；（2）可以得到范圍更為廣泛的備選決策方案；（3）決策問題的模型和分析者對問題的直覺將更加現實。23精選2021版課件多目標決策問題的案例及特點我們介紹兩個日常生活中常見的決策問題。第一個是顧客到商店購買衣服。對于顧客而言，購買衣服就是一個決策問題，顧客本人是決策者，各種各樣的衣服是行動方案集。該決策問題的解就是顧客最終買到一件合適的衣服（或選擇一個滿意的方案）。那么，一件衣服（即一個方案）合適否（滿意否）應該根據幾個指標來評價，比如衣服的質量、價格、大小、式樣、顏色等。因此，顧客購買衣服的問題是多目標決策問題。又如，公務人員外出辦事總要乘某種交通工具。這也是一個決策問題，決策者是公務員，備選方案是可利用的交通工具。公務員為了選擇合適的交通工具，需要考慮幾個指標，比如：時間、價格、舒適性、方便程度等。顯然這也是一個多目標決策問題。24精選2021版課件

在生產系統、工程系統、社會經濟系統中，多目標決策問題更是屢見不鮮。比如在煉油廠的生產計劃中，基本的決策問題是如何根據企業的外部環境與內部條件，制定出具體的作業計劃。該計劃應能使企業的各種主要的經濟指標達到預定的目標。這些指標包括：利潤、原油量、成本、能耗等。其他企業一般也有類似的多目標計劃決策問題。多目標決策問題有兩個共同的特點，即各目標的不可公度性和相互之間的矛盾性。所謂目標的不可公度性指各目標之間沒有統一的量綱，因此難以作相互比較。25精選2021版課件

目標之間的矛盾性是指，如果改進某一目標的值，可能會使另一個或一些目標變差。正因為各目標的不可公度性和相互之間的矛盾性，多目標決策問題不能簡單的作為單目標問題來處理。必須深入研究其特征，特別是解的性質。單目標決策一般有最優解，且往往是唯一的，有時可能存在無限多個解。但是這里的“最優”往往帶有片面性，不能全而準確的反映決策者的偏好信息。多目標決策問題不存在所謂的“最優”解，只存在滿意解。滿意解指決策者對于有關的所有目標值都認為滿意。26精選2021版課件對于單目標決策問題的解一般具有全序最優性，而多目標決策問題的可行方案集中的各方案只有部分序而非全序，并且一般不存在滿足最優性的可行解，而只有矛盾性，即，盡管某一個可行解能使n個目標中的某個目標最優，但不可能使其他的n-1個目標同時最優。各目標之間的這種矛盾性是多目標問題的基本特性，不具有這種特性的問題實質上是單目標優化問題。可行解的非劣性正是多目標問題矛盾性所引起的。27精選2021版課件非劣性的意義可解釋為：設某一可行解對應的目標函數值為，若不存在其他可行解既能在的基礎上改進某一目標的值，同時又不至于使任何別的目標的值變差。在不同的研究方向，非劣性可能有不同的說法，比如，數學家、經濟學家和統計學家又稱之為“有效性”或“最優性”。下面舉一個簡單的例子來說明非劣性。28精選2021版課件例試分析下表所示四個方案的非劣性。方案目標函數方案的性質F1(x)F2(x)X11021非劣X21418非劣X31216劣X4820劣29精選2021版課件

解：因

故。同理，。因此四個方案的優劣性見表。30精選2021版課件

在圖1中，max(f1,f2).就方案①和②來說，①的f2

目標值比②大，但其目標值f1

比②小，因此無法確定這兩個方案的優與劣。在各個方案之間，顯然：④比①好，⑤比④好,⑥比②好,

⑦比③好……。非劣性可以用下圖說明。圖多目標規劃的劣解與非劣解31精選2021版課件第二部分多目標決策的數學模型及其非劣解32精選2021版課件

一、多目標決策的數學模型（一）任何多目標決策問題，都由兩個基本部分組成：（1）兩個以上的目標函數；（2）若干個約束條件。（二）對于多目標決策問題，可以將其數學模型一般地描寫為如下形式：式中：為決策變量向量。33精選2021版課件縮寫形式：有n個決策變量，k個目標函數，m個約束方程，則：

Z=F(X)是k維函數向量，

(X)是m維函數向量；

G是m維常數向量；

34精選2021版課件多目標規劃問題的求解不能只追求一個目標的最優化（最大或最小），而不顧其它目標。對于上述多目標規劃問題，求解就意味著需要做出如下的復合選擇：每一個目標函數取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？每一個決策變量取什么值，原問題可以得到最滿意的解決？35精選2021版課件如上例的各個方案之間，④比①好，⑤比④好,⑥比②好,

⑦比③好。圖多目標規劃的劣解與非劣解36精選2021版課件

而對于方案⑤、⑥、⑦之間則無法確定優劣，而且又沒有比它們更好的其他方案，所以它們就被稱為多目標規劃問題的非劣解或有效解，其余方案都稱為劣解。所有非劣解構成的集合稱為非劣解集。

當目標函數處于沖突狀態時，就不會存在使所有目標函數同時達到最大或最小值的最優解，于是我們只能尋求非劣解。37精選2021版課件

效用最優化模型罰款模型約束模型

目標規劃模型二、多目標決策的非劣解的求解方法

為了求得多目標規劃問題的非劣解，常常需要將多目標規劃問題轉化為單目標規劃問題去處理。實現這種轉化，有如下幾種建模方法。38精選2021版課件

是與各目標函數相關的效用函數的和函數。

方法一效用最優化模型（線性加權法）

思想：規劃問題的各個目標函數可以通過一定的方式進行求和運算。這種方法將一系列的目標函數與效用函數建立相關關系，各目標之間通過效用函數協調，使多目標規劃問題轉化為傳統的單目標規劃問題：但困難是要確定合理的權系數，以反映不同目標之間的重要程度。39精選2021版課件在用效用函數作為規劃目標時，需要確定一組權值

i來反映原問題中各目標函數在總體目標中的權重，即：式中，

i

應滿足：向量形式：40精選2021版課件方法二罰款模型（理想點法）

思想:規劃決策者對每一個目標函數都能提出所期望的值（或稱滿意值）；通過比較實際值

fi

與期望值fi*

之間的偏差來選擇問題的解，其數學表達式如下：或寫成矩陣形式：

式中，

是與第i個目標函數相關的權重；A是由(i=1,2,…,k)組成的m×m對角矩陣。41精選2021版課件理論依據：若規劃問題的某一目標可以給出一個可供選擇的范圍，則該目標就可以作為約束條件而被排除出目標組，進入約束條件組中。假如，除第一個目標外，其余目標都可以提出一個可供選擇的范圍，則該多目標規劃問題就可以轉化為單目標規劃問題：方法三約束模型（極大極小法）

42精選2021版課件方法四目標規劃模型（目標規劃法）

需要預先確定各個目標的期望值fi*

，同時給每一個目標賦予一個優先因子和權系數，假定有K個目標，L個優先級(L≤K)，目標規劃模型的數學形式為：式中：

di+

和di－分別表示與fi

相應的、與fi*

相比的目標超過值和不足值，即正、負偏差變量；

pl表示第l個優先級；

lk+、

lk-表示在同一優先級pl

中，不同目標的正、負偏差變量的權系數。43精選2021版課件1.基本思想：給定若干目標以及實現這些目標的優先順序，在有限的資源條件下，使總的偏離目標值的偏差最小。三、目標規劃方法44精選2021版課件假定有L個目標，K個優先級(K≤L)，n個變量。在同一優先級pk中不同目標的正、負偏差變量的權系數分別為

kl+

、

kl-

，則多目標規劃問題可以表示為：2.目標規劃模型的一般形式目標函數目標約束絕對約束非負約束45精選2021版課件在以上各式中，

kl+

、

kl-

分別為賦予pl優先因子的第k

個目標的正、負偏差變量的權系數，gk為第k個目標的預期值，xj為決策變量，dk+

、dk-

分別為第k個目標的正、負偏差變量。目標函數目標約束絕對約束非負約束46精選2021版課件目標規劃數學模型中的有關概念。(1)偏差變量在目標規劃模型中，除了決策變量外，還需要引入正、負偏差變量d+、d-

。其中，正偏差變量表示決策值超過目標值的部分，負偏差變量表示決策值未達到目標值的部分。因為決策值不可能既超過目標值同時又未達到目標值，故有d+×d-

=0成立。(2)

絕對約束和目標約束

絕對約束，必須嚴格滿足的等式約束和不等式約束，譬如，線性規劃問題的所有約束條件都是絕對約束，不能滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是硬約束。47精選2021版課件

目標約束，目標規劃所特有的，可以將約束方程右端項看作是追求的目標值，在達到此目標值時允許發生正的或負的偏差，可加入正負偏差變量，是軟約束。線性規劃問題的目標函數，在給定目標值和加入正、負偏差變量后可以轉化為目標約束，也可以根據問題的需要將絕對約束轉化為目標約束。48精選2021版課件

若要區別具有相同優先因子

pl

的目標的差別，就可以分別賦予它們不同的權系數

i*(i=1,2,…,k)。這些優先因子和權系數都由決策者按照具體情況而定。(3)優先因子（優先等級）與權系數

一個規劃問題,常常有若干個目標，決策者對各個目標的考慮,往往是有主次的。凡要求第一位達到的目標賦予優先因子p1

，次位的目標賦予優先因子p2

，……，并規定pl>>pl+1(l=1,2,..)表示pl

比pl+1

有更大的優先權。即:首先保證p1

級目標的實現，這時可以不考慮次級目標；而p2級目標是在實現p1

級目標的基礎上考慮的；依此類推。49精選2021版課件(4)目標函數

目標規劃的目標函數（準則函數）是按照各目標約束的正、負偏差變量和賦予相應的優先因子而構造的。當每一目標確定后，盡可能縮小與目標值的偏離。因此，目標規劃的目標函數只能是：a)要求恰好達到目標值，就是正、負偏差變量都要盡可能小,即b)要求不超過目標值，即允許達不到目標值，就是正偏差變量要盡可能小，即

c)要求超過目標值，也就是超過量不限，但負偏差變量要盡可能小，即基本形式有三種：對每一個具體目標規劃問題，可根據決策者的要求和賦于各目標的優先因子來構造目標函數。50精選2021版課件（1）目標規劃數學模型的形式有：線性模型、非線性模型、整數模型、交互作用模型等；（2）一個目標中的兩個偏差變量di-、di+至少一個等于零，偏差變量向量的叉積等于零：d－×d＋=0；

（3）一般目標規劃是將多個目標函數寫成一個由偏差變量構成的函數求最小值，按多個目標的重要性，確定優先等級，順序求最小值；

（4）按決策者的意愿，事先給定所要達到的目標值。當期望結果不超過目標值時，目標函數求正偏差變量最小；當期望結果不低于目標值時，目標函數求負偏差變量最小；當期望結果恰好等于目標值時，目標函數求正負偏差變量之和最小。評注：51精選2021版課件（5）由目標構成的約束稱為目標約束，目標約束具有更大的彈性，允許結果與所制定的目標值存在正或負的偏差；如果決策者要求結果一定不能有正或負的偏差，這種約束稱為系統約束；（6）目標的排序問題。多個目標之間有相互沖突時，決策者首先必須對目標排序。排序的方法有兩兩比較法、專家評分等方法，構造各目標的權系數，依據權系數的大小確定目標順序；（7）合理的確定目標數。目標規劃的目標函數中包含了多個目標，決策者對于具有相同重要性的目標可以合并為一個目標，如果同一目標中還想分出先后次序，可以賦予不同的權系數，按系數大小再排序。52精選2021版課件（8）多目標決策問題．多目標決策研究的范圍比較廣泛，在決策中，可能同時要求多個目標達到最優．例如，企業在對多個項目投資時期望收益率盡可能最大，投資風險盡可能最小，屬于多目標決策問題，本章的目標規劃盡管包含有多個目標，但還是按單個目標求偏差變量的最小值，目標函數中不含有決策變量，目標規劃只是多目標決策的一種特殊情形．本章不討論多目標規劃的求解方法，只給出利用lingo軟件求解線性多目標規劃的簡單程序。53精選2021版課件引例1生產計劃問題

甲乙資源限額材料2324工時3226單位利潤43

現在工廠領導要考慮市場等一系列其他因素，提出如下目標：（1）根據市場信息，甲產品的銷量有下降的趨勢，而乙產品的銷量有上升的趨勢，故考慮乙產品的產量應大于甲產品的產量。（2）盡可能充分利用工時，不希望加班。（3）應盡可能達到并超過計劃利潤30元。現在的問題是：在原材料不能超計劃使用的前提下，如何安排生產才能使上述目標依次實現？54精選2021版課件解：（1）決策變量：設每天生產甲、乙兩種產品各為x1和x2

偏差變量：對于每一目標，我們引進正、負偏差變量。如對于目標1，設d1-表示乙產品的產量低于甲產品產量的數，d1+表示乙產品的產量高于甲產品產量的數。稱它們分別為產量比較的負偏差變量和正偏差變量。則對于目標1，可將它表示為等式約束的形式-x1+x2+d1--d1+=0(目標約束)同樣設d2-和d2+分別表示安排生產時，低于可利用工時和高于可利用工時，即加班工時的偏差變量，則對目標2，有3x1+2x2+d2--d2+=26

對于目標3，設d3-和d3+分別表示安排生產時，低于計劃利潤30元和高于計劃利潤30元的偏差變量，有：55精選2021版課件4x1+3x2+d3--d3+=30（2）約束條件：有資源約束和目標約束資源約束：2x1+3x2≤24

目標約束：為上述各目標中得出的約束（3）目標函數：三個目標依次為：

minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-

因而該問題的數學模型可表述如下：

minZ1=d1-，minZ2=d2++d2-，minZ3=d3-2x1+3x2≤24s．t．-x1+x2+d1--d1+=03x1+2x2+d2--d2+=264x1+3x2+d3--d3+=3056精選2021版課件例某企業生產甲、乙兩種產品，需要用到A,B,C三種設備，關于產品的贏利與使用設備的工時及限制如下表所示。問該企業應如何安排生產，才能達到下列目標：甲乙設備的生產能力（h）A(h/件)2212B(h/件)4016C(h/件)0515贏利（元/件）200300四、多目標規劃問題求解的LINGO程序57精選2021版課件（1）力求使利潤指標不低于1500元；（2）考慮到市場需求，甲、乙兩種產品的產量比應盡量

保持1:2；（3）設備A為貴重設備，嚴格禁止超時使用；（4）設備C可以適當加班，但要控制；設備B既要求充分利用，又盡可能不加班。在重要性上，設備B是設備C的3倍。建立相應的目標規劃模型并求解。甲乙設備的生產能力（h）A(h/件)2212B(h/件)4016C(h/件)0515贏利（元/件）20030058精選2021版課件解：設備A是剛性約束，其余是柔性約束。首先，最重要的指標是企業的利潤，因此，將它的優先級列為第一級；其次，甲、乙兩種產品的產量保持1:2的比例，列為第二級；再次，設備C,B的工作時間要有所控制，列為第三級。在第三級中，設備B的重要性是設備C的三倍，因此，它們的權重不一樣，設備B前的系數是設備C

前系數的3倍。由此得到相應的目標規劃模型。設甲乙的產量分別為。59精選2021版課件60精選2021版課件求第一級目標。LINGO程序如下：model:sets:variable/1..2/:x;S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=150001615;c=2003002-14005;enddatamin=dminus(1);2*x(1)+2*x(2)<12;@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));end求得dminus(1)=0，即目標函數的最優值為0，第一級偏差為0。61精選2021版課件求第二級目標，LINGO程序如下：model:sets:variable/1..2/:x;S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=150001615;c=2003002-14005;enddatamin=dplus(2)+dminus(2);!二級目標函數;2*x(1)+2*x(2)<12;@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));dminus(1)=0;!一級目標約束;@for(variable:@gin(x));end求得目標函數的最優值為0，即第二級的偏差仍為0。62精選2021版課件求第三級目標，LINGO程序如下：model:sets:variable/1..2/:x;S_Con_Num/1..4/:g,dplus,dminus;S_con(S_Con_Num,Variable):c;endsetsdata:g=150001615;c=2003002-14005;enddatamin=3*dplus(3)+3*dminus(3)+dplus(4);!三級目標函數;2*x(1)+2*x(2)<12;@for(S_Con_Num(i):@sum(Variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));dminus(1)=0;!一級目標約束;dplus(2)+dminus(2)=0;!二級目標約束;end目標函數的最優值為29，即第三級偏差為29。63精選2021版課件分析計算結果，。因此，目標規劃的最優解為。最優利潤為1600。64精選2021版課件多目標規劃的LINGO通用程序model:sets:level/1..3/:p,z,goal;variable/1..2/:x;h_con_num/1..1/:b;s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;h_con(h_con_num,variable):a;s_con(s_con_num,variable):c;obj(level,s_con_num)/11,22,33,34/:wplus,wminus;endsetsdata:ctr=?;goal=??0;b=12;g=150001615;a=22;c=2003002-14005;wplus=0131;wminus=1130;enddatamin=@sum(level:p*z);p(ctr)=1;@for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);@for(level(i):z(i)=@sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)*dminus(j)));@for(h_con_num(i):@sum(variable(j):a(i,j)*x(j))<b(i));@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i));@for(level(i)|i#lt#@size(level):@bnd(0,z(i),goal(i)));end65精選2021版課件當程序運行時，會出現一個對話框。在做第一級目標計算時，ctr輸入1，goal(1)和goal(2)輸入兩個較大的值，表明這兩項約束不起作用。求得第一級的最優偏差為0，進行第二輪計算。在第二級目標的運算中，ctr

輸入2。由于第一級的偏差為0，因此goal(1)的輸入值為0，goal(2)輸入一個較大的值。求得第二級的最優偏差仍為0，進行第三級計算。在第三級的計算中，ctr輸入3。由于第一級、第二級的偏差均是0，因此，goal(1)和goal(2)的輸入值也均是0。最終結果是：，最優利潤是1600元，第三級的最優偏差為29。66精選2021版課件第三部分多目標決策建模的應用實例

67精選2021版課件例１考慮資源消耗如表1所示。x1、x2、x3分別為甲、乙、丙的產量。使企業在計劃期內總利潤最大的線性規劃模型為：

產品

資源甲乙丙現有資源設備A312200設備B224200材料C451360材料D235300利潤（元/件）403050表168精選2021版課件最優解X＝（50，30，10），Z＝340069精選2021版課件

現在決策者根據企業的實際情況和市場需求，需要重新制定經營目標，其目標的優先順序是：（1）利潤不少于3200元；（2）產品甲與產品乙的產量比例盡量不超過1.5；（3）提高產品丙的產量使之達到30件；（4）設備加工能力不足可以加班解決，能不加班最好不加班；（5）受到資金的限制，只能使用現有材料不能再購進。解：設甲、乙、丙產品的產量分別為x1、x2、x3。如果按線性規劃建模思路，最優解實質是求下列一組不等式的解70精選2021版課件通過計算不等式無解，即使設備加班10小時仍然無解．在實際生產過程中生產方案總是存在的，無解只能說明在現有資源條件下，不可能完全滿足所有經營目標．這種情形是按事先制定的目標順序逐項檢查，盡可能使得結果達到預定目標，即使不能達到目標也使得離目標的差距最小，這就是目標規劃的求解思路，對應的解稱為滿意解．下面建立例1的目標規劃數學模型．71精選2021版課件設d－為未達到目標值的差值，稱為負偏差變量，d+為超過目標值的差值，稱為正偏差變量，

d－≥0、d＋≥0．(1)設d1－未達到利潤目標的差值,d1+

為超過目標的差值當利潤小于3200時,d1－＞０且d1＋＝0,有40x1+30x2+50x3+d1－=3200成立當利潤大于3200時，d1＋＞０且d1－＝０，有40x1+30x2+50x3-d1+=3200成立當利潤恰好等于3200時，d1－=０且d1+=0,有40x1+30x2+50x3=3200成立實際利潤只有上述三種情形之一發生，因而可以將三個等式寫成一個等式40x1+30x2+50x3+d1－－d1+=320072精選2021版課件（2）設分別為未達到和超過產品比例要求的偏差變量,則產量比例盡量不超過1.5的數學表達式為：

（3）設d3ˉ、d3＋分別為產品丙的產量未達到和超過30件的偏差變量，則產量丙的產量盡可能達到30件的數學表達式為：利潤不少于3200理解為達到或超過3200，即使不能達到也要盡可能接近3200,可以表達成目標函數｛d1－｝取最小值，則有73精選2021版課件（4）

設d4ˉ

、d4+為設備A的使用時間偏差變量,d5ˉ、d5+為設備B的使用時間偏差變量，最好不加班的含義是d4+

和d5+同時取最小值，等價于d4+

+d5+取最小值，則設備的目標函數和約束為：（5）材料不能購進表示不允許有正偏差，約束條件為小于等于約束．由于目標是有序的并且四個目標函數非負，因此目標函數可以表達成一個函數：74精選2021版課件式中：Pj（j=1,2,3,4）稱為目標的優先因子，第一目標優于第二目標，第二目標優于第三目標等等，其含義是按P1、P2、…的次序分別求后面函數的最小值.則問題的目標規劃數學模型為：75精選2021版課件約束實際偏差目標1C13220=32002C2－2=03C330=304C4164=2005C5216=2006C6242－118<=3607C7266－34<=3001X1282X2203X3304d1-05d1+206d2-27d2+08d3-09d3+010d4-3611d4+012d5-013d5+16滿意解：約束分析：76精選2021版課件例2車間計劃生產I、II兩種產品，每種產品均需經過A、B、C三道工序加工．工藝資料如表2所示．

產品工序產品甲產品乙每天加工能力(小時)A22120B12100C2.20.890產品售價(元/件)5070產品利潤(元/件)108（1）車間如何安排生產計劃，使產值和利潤都盡可能高;（2）如果認為利潤比產值重要，怎樣決策。表277精選2021版課件解：設x1、x2分別為產品甲和產品乙的日產量，得到線性多目標規劃模型：78精選2021版課件（1）將模型化為目標規劃問題．首先，通過分別求產值最大和利潤最大的線性規劃最優解．產值最大的最優解：X(1)＝（20，40），Z1＝3800利潤最大的最優解：X(2)

＝（30，30），Z2＝540目標確定為產值和利潤盡可能達到3800和540，得到目標規劃數學模型：79精選2021版課件．,等價于（2）給d2-

賦予一個比d1-的系數大的權系數,如，約束條件不變.權系數的大小依據重要程度給定，或者根據同一優先級的偏差變量的關系給定，例如，當利潤d2-減少一個單位時，產值d1-減少3個單位，則賦予d2-權系數3，則目標函數為80精選2021版課件例3某單位領導在考慮本單位職工的升級調資方案時，依次遵守以下規定：(1)不超過年工資總額60000；(2)每級的人數不超過定編規定的人數；(3)