七章無窮三節冪級數_第1頁
七章無窮三節冪級數_第2頁
七章無窮三節冪級數_第3頁
七章無窮三節冪級數_第4頁
七章無窮三節冪級數_第5頁
已閱讀5頁，還剩27頁未讀， 繼續免費閱讀

下載本文檔

版權說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內容提供方，若內容存在侵權，請進行舉報或認領

文檔簡介

7.3冪級數7.3.1函數項級數的概念是定義在上的函數項級數.稱為定義在區間I上的(函數項)無窮級數.

定義1設是定義在區間I上的函數列,表達式

例如,級數所有發散點的全體稱為發散域.函數項級數的所有收斂點的全體，稱為收斂域,發散點.定義2如果數項級數收斂,則稱為級數的收斂點,否則,稱為設函數項級數的部分和為余項(x在收斂域上)注意:函數項級數在某點x的收斂問題,實質上是數項級數的收斂問題.(x∈D)定義3

在收斂域D上,函數項級數的和是x的稱為函數項級數的和函數.函數則是公比為x的幾何級數,在收斂域內,其和函數是發散域為其收斂域為同理例如,級數解由比值判別法,有

原級數絕對收斂.例1求級數

的收斂域.(1)當原級數發散.收斂;發散;故,原級數的收斂域為(2)當(3)當形如7.3.2冪級數及其收斂性稱為x的冪級數.稱為冪級數的系數.簡稱冪級數.的函數項級數,稱為的冪級數,證定理7.11(阿貝爾定理)則它在滿足的一切x處發散.處收斂,發散,若冪級數若冪級數即存在常數

M>0,使得則它在滿足的一切x處絕對收斂;從而數列有界,由結論(1),這與所設矛盾.使級數收斂,若有一點x1適合則級數在處應收斂,收斂區域發散區域發散區域幾何說明推論1也不是在整個數軸上都收斂,則必有一個完全確冪級數絕對收斂;冪級數發散.冪級數可能收斂,也可能發散.定的正數R存在,它具有下列性質:如果冪級數

不是僅在x=0一點收斂,冪級數的收斂域一定是下列四個區間之一:

規定:定義(1)冪級數只在

x=0處收斂,收斂域為x=0;(2)冪級數對一切

x都收斂,收斂域為正數R稱為冪級數的收斂半徑.問題:如果冪級數處條件收斂,其收斂半徑R=?證設定理7.12由比值判別法,則如果冪級數的所有系數收斂半徑收斂,發散,并且從某個n開始從而級數發散.從而級數絕對收斂.(1)如果收斂,從而級數絕對收斂.收斂半徑發散,收斂半徑(2)如果(3)如果解(1)是收斂的交錯級數.是調和級數,發散.例2

求下列冪級數的收斂半徑與收斂域:故收斂域是收斂域為發散;故收斂域為(0,1].是收斂的交錯級數.所以,當收斂,解原級數為缺少偶次冪項!級數絕對收斂,例3

求冪級數

的收斂半徑與收斂域.直接使用比值審斂法級數發散,發散,發散,收斂域為收斂半徑為當7.3.3冪級數的性質及冪級數的和函數的收斂半徑分別為R1和R2,取其中性質2和函數求導公式

且逐項求導后收斂半徑不變.并有逐項性質1和函數在收斂域內連續.設性質3和函數有逐項積分公式逐項積分后收斂半徑不變.若解兩邊積分逐項求導,且求導后收斂半徑不變例4

求冪級數

的和函數.得收斂,發散,故解逐項積分,且積分后收斂半徑不變例5

求數項級數

的和.兩邊求導得故解例6

求數項級數

的和.故常用冪級數的和函數練習設冪級數的收斂半徑分別為則冪級數的收斂半徑為()解設練習求的收斂域與和函數.解令收斂域為當時,收斂,當

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網頁內容里面會有圖紙預覽，若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內容的表現方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容，請與我們聯系，我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論