目錄

第一章學(xué)好數(shù)學(xué)必備的幾個(gè)能力和思想

第一節(jié)數(shù)學(xué)的建模思想

第二節(jié)函數(shù)與方程的思想

第三節(jié)數(shù)形結(jié)合思想

第四節(jié)特殊否定的思想

第五節(jié)特殊到一般、有限到無(wú)限的歸納思想

第六節(jié)正難則反、抽象到具體的轉(zhuǎn)化思想

第七節(jié)分類討論與整合求解的思想

第八節(jié)聯(lián)想與類比的探討思想

第九節(jié)運(yùn)算能力

第十節(jié)構(gòu)造與湊配的能力

第十一節(jié)歸類總結(jié)能力

第二章函數(shù)（函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和重點(diǎn)內(nèi)容，盡管很少以獨(dú)立的模塊知識(shí)出

現(xiàn)在解答題中，但是在高難度的題中，無(wú)處不滲透著函數(shù)的思想。缺

少了函數(shù)思想，其它模塊就是無(wú)血之肉，無(wú)源之水。

因而，我們不但將其作為一個(gè)專題模塊，而且要細(xì)講、深研究。）

第一節(jié)函數(shù)的三要素……定義域

第二節(jié)函數(shù)的三要素---對(duì)應(yīng)法則

第三節(jié)函數(shù)的三要素----值域

第四節(jié)基本初等函數(shù)

第五節(jié)函數(shù)的性質(zhì)--…函數(shù)的單調(diào)性

第六節(jié)函數(shù)的性質(zhì)---函數(shù)的奇、偶性

第七節(jié)函數(shù)的性質(zhì)--一函數(shù)對(duì)稱性

第八節(jié)函數(shù)的性質(zhì)---函數(shù)的周期性

第九節(jié)函數(shù)圖象及圖象變換

第十節(jié)常見特殊函數(shù)及其應(yīng)用

第^^一節(jié)函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)方程（既是高頻高點(diǎn)，又是高考難點(diǎn)

第二章三角函數(shù)與平面向量（這些是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，盡管難度不大，易錯(cuò)

點(diǎn)還是不少的，同時(shí)，這里

面有很多技巧，有四兩撥千斤的效果。）

第一節(jié)三角函數(shù)的概念及三角變換

第二節(jié)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)

第三節(jié)解三角形

第四節(jié)平面向量

第三章不等式與線性規(guī)劃

第一節(jié)基本不等式的解法

第二節(jié)均值不等式的應(yīng)用

第三節(jié)不等式的證明及應(yīng)用

第四節(jié)線性規(guī)劃

第五節(jié)線性規(guī)劃的應(yīng)用

第四章數(shù)列

第一節(jié)數(shù)列的認(rèn)識(shí)

第二節(jié)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前“項(xiàng)和及性質(zhì)

第三節(jié)數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

第四節(jié)數(shù)列求和

第五節(jié)數(shù)列的綜合問題

第五章立體幾何

第一節(jié)點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第二節(jié)空間幾何體和三視圖

第三節(jié)空間角

第四節(jié)空間直角坐標(biāo)系在立體幾何中的應(yīng)用

第五節(jié)空間距離問題

第六節(jié)存在性的問題

第六章概率與統(tǒng)計(jì)

第一節(jié)古典概型、幾何概型及條件概率

第二節(jié)排列與組合

第三節(jié)統(tǒng)計(jì)與概率分布

第七章導(dǎo)數(shù)

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用

第三節(jié)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性及極值方面的應(yīng)用

第四節(jié)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)交點(diǎn)及函數(shù)零點(diǎn)方面的應(yīng)用

第五節(jié)導(dǎo)數(shù)在參數(shù)的最值及范圍方面的應(yīng)用

第六節(jié)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)不等式的證明方面的應(yīng)用

第八章解析幾何

第一節(jié)直線與圓的方程

第二節(jié)橢圓

第三節(jié)雙曲線

第四節(jié)拋物線

第五節(jié)解析幾何綜合問題.....圓錐曲線的切線問題

第六節(jié)解析幾何綜合問題……參數(shù)的最值和范圍問題

第七節(jié)解析幾何綜合問題.....面積的最值和范圍問題

第八節(jié)解析幾何綜合問題——定點(diǎn)、定值問題

第九節(jié)解析幾何綜合問題.....存在性的問題

第十節(jié)解析幾何綜合問題....向量在解析幾何中的應(yīng)用

第一章學(xué)好數(shù)學(xué)必備的幾個(gè)能力和思想

第一節(jié)數(shù)學(xué)的建模思想

隨著素質(zhì)教育的進(jìn)一步推進(jìn)，現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確指出：“提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，

不僅要求學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，更進(jìn)?步要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算能力和空間想

象能力，以逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決實(shí)際問題的能力，使學(xué)生能學(xué)以致用，避免

出現(xiàn)高分低能現(xiàn)象。”為配合教學(xué)目的，近幾年的高考數(shù)學(xué)試題增強(qiáng)了對(duì)密切聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用

性問題的考查力度，這種考查的日趨明顯。解答實(shí)際問題，要先從實(shí)際問題中抽象出恰當(dāng)?shù)?/p>

數(shù)學(xué)模型，從而把其轉(zhuǎn)移成數(shù)學(xué)問題，通過解答數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而使實(shí)際問題得以解決。建立

數(shù)學(xué)模型是研究變量依存關(guān)系的有效工具，從而，使實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，使復(fù)雜不宜

入手的幾何問題代數(shù)化，是解決問題的捷徑和高層次表現(xiàn)。本節(jié)以高考中出現(xiàn)的實(shí)際問題、

幾何問題、數(shù)字問題等為對(duì)象，探討數(shù)學(xué)模型的內(nèi)涵和建立數(shù)學(xué)模型的過程及方法，希望對(duì)

各位備考人有所幫助。

1.建模解題的一般順序：

1）認(rèn)真審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系：

2）恰當(dāng)建模：將文字語(yǔ)語(yǔ)言、數(shù)字關(guān)系、幾何條件等轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，

建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型；

3）解答數(shù)模：由數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)，解答其得到數(shù)學(xué)結(jié)論：

4）還原結(jié)論：但獲得了數(shù)學(xué)的解，并不意味著解題工作的終結(jié)，還應(yīng)將它還原成成所求

問題的結(jié)論。求得的數(shù)學(xué)解，并不一定都適合所求問題的意義，需從所求

問題的角度進(jìn)行討論分析，進(jìn)行取舍。這一過程，是十分重要的，這也是

解題過程中最容易疏漏的地方。

2.其建模示意圖：

轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問

所求問題數(shù)學(xué)問題

問

數(shù)

題

學(xué)

結(jié)

解

論

答

回到實(shí)際問題

求解問題結(jié)論數(shù)學(xué)問題的結(jié)論

2.考題舉例批注[xl]:如果僅僅為了講思想，不

需要這么多例題，而且你在講解的時(shí)

例1.（2012年全國(guó)高考新課標(biāo)試卷（理）18題）某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)候，應(yīng)該突出建模的思想的引導(dǎo)，這

進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花一點(diǎn)表現(xiàn)的不明顯。

作垃圾處理。

（I）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量〃（單

位：枝，tieN）

的函數(shù)解析式。

（II）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

日需求量14151617181920

頻數(shù)10201616151310

[1頁(yè)I批注1x2]:頁(yè)碼不需要標(biāo)

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率。

①若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列,

數(shù)學(xué)期望及方差；

②若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？

請(qǐng)說(shuō)明理山。

【解析】(I)當(dāng)n>[6時(shí)，y=16x(10-5)=80當(dāng)n<15時(shí)，

y=5H-5(16-n)=10n-80

10/7-80(?<15)

得:y(neN)

80(n>16)

YII)①X可取60,70,80

P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7

X的分布列為

X607080

P0.10.20.7

EX=60x0.1+70x0.2+80x0.7=76

DX=162XO.1+62XO.2+42XO.7=44

②購(gòu)進(jìn)17枝時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)為

y=(14x5-3x5)x0.1+(15x5-2x5)x0.2+(16x5-1x5)x0.16+17x5x0.54=76.4

76.4>76得：應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝|批注［41：題目答案的解析過程，說(shuō)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)，也考察了隨機(jī)變量分布明性和闡述性的文字太少，請(qǐng)講的豐

歹h期望、方差等統(tǒng)計(jì)知識(shí)，其中，數(shù)學(xué)建模是解題的關(guān)鍵一步。滿，充實(shí)一些。

例2.(2012年陜西高考理科13題)右圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水而在1時(shí)1

拱頂離水面2米，水面寬4米，水位■下降1米后，水面寬_米.

【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，使拱橋的頂點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,0),

設(shè)I與拋物線的交點(diǎn)為A、B,根據(jù)題意知A(-2,-2),B(2,-2)

設(shè)拋物線的解析式為y=,則有-2=ax(-2)2，二

，拋物線的解析式為

水位下降1米，則y=-3,此時(shí)有工=痛或x=-V6此時(shí)水面寬為

2瓜米。

【點(diǎn)評(píng)】木題通過考查識(shí)圖知識(shí)，結(jié)合建模思想，建立了二次函數(shù)模型，為事實(shí)問題的

解決創(chuàng)造了捷徑。

例3.（2012年湖南高考理科20題）某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A,B,C三種部件

的訂單，每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1（單位：件）.已知每個(gè)工

人每天可生產(chǎn)A部件6件，或B部件3件，或C部件2件.該企業(yè)計(jì)劃安排200名

工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比，

比例系數(shù)為"（火為正整數(shù)）.

2頁(yè)

（I）設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為X,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間：

（II）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時(shí)

間最短，并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案.

【解析】（I）設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間（單位：天）分別為

7］（x）W（x）Z（x）,由題設(shè)有

~、2x30001000萬(wàn)，、2(X)0..150()

(x)=----=-----,。(x)=L(xT)=

6xx200—(l+&)x

期中x,乙,200-（1+左）工均為1到200之間的正整數(shù).

（II）完成訂單任務(wù)的時(shí)間為/（x）=max{4（x）,/（x）,7；a）},其定義域?yàn)?/p>

普,xeN，.易知，7］（x），6*）為減函數(shù)，（CO為增函數(shù).

2

注意到北")=-7](外,

k

則①當(dāng)2=2時(shí)，7；(x)=7^(x),此時(shí)

10001500

/(x)=max{((x),.(x)}=max

x'2()()—3x

由函數(shù)4（x）,7；（x）的單調(diào)性知，當(dāng)儂=-」5。。一時(shí)y（x）取得最小

x2（）0-3x

值,解得x晉

由于

44<等<45,何(44)=1(44)=*J(45)=7,(45)=*J(44)</(45).

25（）

故當(dāng)x=44時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，且最短時(shí)間為/（44）=—

②當(dāng)上〉2時(shí)，7］（x）＞7；（x）,由于人為正整數(shù)，故上23,

此時(shí)T(x)=--------，夕(x)=max區(qū)(x),T(x)}易知T(x)為增函數(shù),

50—x

則

/(x)=max{7；(x),7；(x)}>max{7](x),7'(x)}=(p(x)=max\■

由函數(shù)7；(x),T(x)的單調(diào)性知，當(dāng)媽=里-時(shí)夕(x)取得最小值，

x50-x

解得x=%

11

由于

36<言-rw<37,而例36)=匕(36)=罟250>詈250,奴37)=7(37)=魯375>下250，

此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于二25上0.

11

③當(dāng)A<2時(shí)，7；(x)<7；(x),由于％為正整數(shù)，故&=1,

此時(shí)/(x)=max{7^(x)Z(x)}=max]~。。。,.二。,由函數(shù)

4(x),/(x)的單調(diào)性知,

當(dāng)型22=q2時(shí)得最小值，解得彳=則類似3)的討論.

xl(X)-x11

此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為—250,大于25三0.

911

3頁(yè)

綜上所述，當(dāng)氏=2時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)生產(chǎn)A,B,C三種部件的

人數(shù)分別為44,88,68.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，第問函數(shù)模型的建立，為第二問的解決找到了

方向。利用函數(shù)單調(diào)性、不等式的性質(zhì)結(jié)合分類討論思想，綜合考查分析解決問

題的能力，難度較大。

例4.(2012年湖南高考文科20題)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)

第一年年初有資金2000萬(wàn)元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后

每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金

d萬(wàn)元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資

金為萬(wàn)元.

(I)用d表示q,電，并寫出。“+[與。”的關(guān)系式;

（II）若公司希望經(jīng)過團(tuán)（加23）年使企業(yè)的剩余資金為4000萬(wàn)元，試確定企業(yè)每年

上繳資金d的

值（用機(jī)表示）.

【解析】（【）由題意得a,=2000（1+50%）-d=3000-d,

3

a2=%（1+50%）-d=Q%-d,

3

。用=（1+5Wo）-d=-an-d.

（H）由（I）得見=（|）2凡一2—|〃一1=?..

=g）"Tq_d1+|+（-|）2+，,，+（|）,,_2-

(|)/,-,(3000-J)-2J3

整理得%=二(5尸(30()0-3d)+2d.

山題意，知。“二4000即(3()00—3d)+21=400()

1000(3'"-2〃山)

3m_2仰

故該企業(yè)每年上繳資金”的值為10°00'"-2'""）時(shí),經(jīng)過機(jī)（加＞3）年企業(yè)的剩余

3‘"2'"

資金為4000元.

［點(diǎn)評(píng)］木撅考杳遞推數(shù)列模型在‘實(shí)際問題中的應(yīng)避，第一-問建立數(shù)學(xué)模型，得II；與a?

的關(guān)系式a,,”=3￡-d,第二問，把第一問中的。,川3迭代，就可把問

題解決.一

例5.（2012年江西高考理科8題）某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計(jì),

投入資金不超過54萬(wàn)元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表

4頁(yè)

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)

黃瓜4噸1.2萬(wàn)元0.55萬(wàn)元

韭菜6噸0.9萬(wàn)元0.3萬(wàn)元

為使一年的種植總利潤(rùn)（總利潤(rùn)二總銷售收入總種植成本）最大,

那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為（）

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

【解析】設(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝，總利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則目

標(biāo)函數(shù)為z=（0.55x4x-1.2x）+（0.3x6y-0.9y）=x+0.9y.

x+y<50,x+y<50,

1.2x+0.9y<54,4x+3y<180,

線性約束條件為《即＜

x>0,x>0,

y>().y>0.

x+y<50,

4x+3y<180,

作出不等式組表示的可行域，易求得點(diǎn)

x>0,

y>0

A(0,50),3(30,20),C(0,45).

平移直線z=x+0.9y,可知當(dāng)直線z=x+0.9y經(jīng)過點(diǎn)6（30,20）,

即x=30,y=20時(shí),

z取得最大值，且z11m=48（萬(wàn)元）.故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)建模的思想、線性規(guī)劃知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

例6.（2012年四川高考理科9題）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1

桶需耗4原料1千克、8原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，8原

料1千克。每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元。公司在生產(chǎn)

這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗4、8原料都不超過12千克。通過合理安排

生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤(rùn)是（）

A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元

【解析】設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品1桶，乙種產(chǎn)品y桶，公司共可獲得

x+2y=12

2x+y=12

x+2y<12

2x+y<12

x>0

y>0

畫可行域如圖所示,

目標(biāo)函數(shù)z=300x+400y可變形為

37

y=--X+—這是隨Z變化的一族平行直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，Z最大

■4400

“e[2x+y=12[x=4

解方程組4’即A（4,4）."皿=1200+1600=2800

[x+2y=12[y=4

【點(diǎn)評(píng)】由數(shù)學(xué)建模思想結(jié)合線性規(guī)劃知識(shí)，有效的完成實(shí)際問題的解答。

例7.（2011年湖北高考理科17題）提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通

狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時(shí)）是車流密度x（單

位：輛/千米）的函數(shù).當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流

速度為0：當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí).研究表明：

當(dāng)204x4200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).

（1）當(dāng)04x4200時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；

（II）當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量（單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單

位:輛/小時(shí)）/（x）=%-v（x）可以達(dá)到最大,并求出最大值.（精確到1輛/

小時(shí)）

[解析】（I）：當(dāng)04x420時(shí)，v（x）=60：當(dāng)20Wx4200時(shí)設(shè)v（x）=ax+h,

則出）=依+。在[20,200]是減函數(shù)，由已知得J2（X）a+Z?=（）,解

20a+b=60

200

"T

0<x<20,

故函數(shù)u（x）的表達(dá)式為v（x）=<

-（200-x）,20<x<200.

60A-,()<JT<20,

(II)依題意并由(I)可得f(x)=1i..

：x(20()-x),20<x<200.

當(dāng)04x42()時(shí)，/(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時(shí)，其最大值為60x20=120()；

當(dāng)204x4200時(shí)，/(x)=-1(200-^)<-［X+^2Q0~^l=12222,

''，3'，3］2J3

當(dāng)且僅當(dāng)x=200-x,即x=100時(shí)，等號(hào)成立.

IAAAA

故當(dāng)x=100時(shí)，/(X)在區(qū)間［20,200］上取得最大值:一.

綜上，當(dāng)x=100時(shí)，/(X)在區(qū)間［0,200］上取得最大值晉獨(dú)之3333,

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小

時(shí).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)際問題的建模思想。通過分段函數(shù)模型，借助分類討論的思想和均

值不等式，體現(xiàn)了建模解決實(shí)際問題特殊效果。

6頁(yè)

例8.(2011年四川高考理科9題)某運(yùn)輸公司有12名駕駛員和19名工人，仃8輛載重

量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需運(yùn)往4地至少72噸

的貨物，派用的每輛車虛滿載且只運(yùn)送一次.拍用的每噸甲型卡車虛配2名工人，運(yùn)

送一次可得利潤(rùn)450元：派用的每輛乙型卡車虛配1名工人，運(yùn)送一次可得利潤(rùn)350

元.該公司合理計(jì)劃黨團(tuán)派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤(rùn)

(A)4650元(B)4700元(C)4900元(D)5000元

【解析】由題意設(shè)派甲，乙x,y輛，則利潤(rùn)z=450x+350y,

‘04x48

04y47

得約束條件■x+y412

10x+6y>72

2x+y<l9

畫出可行域在+*%

［2x+j<19

的點(diǎn)/代入目標(biāo)函數(shù)z=4900

1y=5

【點(diǎn)評(píng)】本題通過建立不等式模型，利用線性規(guī)劃知識(shí)，解決問題。一般地優(yōu)化問題、最

值問題均可設(shè)計(jì)不等式模型。

例9.（2011年山東高考理科21題）某企業(yè)擬建造如圖所示

的容器（不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米），其中容器的中間

為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器

的容積為甄立方米，且/22人假設(shè)該容器的建造

3

費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每

平方米建造費(fèi)用為c（c>3）千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.

（I）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域;

（II）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.

【解析】（I）由題意可知"產(chǎn)/+四/二雙江（/22廠），即/=也一匕=2,則0<rW2.

333r3

、804、

容器的建造費(fèi)用為y=2乃r/x3+4;r，xc=6^r（y-y-~r）+4^r2c,

即y="竺一84戶+Wc,定義域?yàn)閧”0<rW2}.

（II）>'=-16?"-16仃+81一，令y'=0,得r=J,令r=^=2,

r\c-2Vc-2

即c=4.5,

①當(dāng)3<cW4.5時(shí)，J盤-M2,當(dāng)0<r<2,y'<（）,函故y為減函數(shù)，當(dāng)r=2

yc-2

時(shí)y有最小值；

7頁(yè)

②當(dāng)c>4.5時(shí)，J---<2,當(dāng)0<r<小--—,y'<0；當(dāng)r>J..20-時(shí)>0,

J—時(shí)y有最小值。

此時(shí)當(dāng)r=

Vc-2

【點(diǎn)評(píng)】本題通過建模將實(shí)際問題轉(zhuǎn)移成了數(shù)學(xué)問題，從而，綜合了面積、表面積、不等

式、導(dǎo)數(shù)、分類討論等數(shù)學(xué)知識(shí)。考察了運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、題解決實(shí)際問題綜

合能力，難度比較大。

例10.（2011年江蘇高考理科17題）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為

60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線

折起，使得ABCDI四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，

E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm

(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,

試問X應(yīng)取何值？

(II)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大，

試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的

高與底面邊長(zhǎng)的比值。

【解析】(I)S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2(0<x<30),所以x=15cm時(shí)側(cè)面

積最大，

5

(Il)V=(2x)2—(60-2x)=4>/2x2(30-x)(0<x<30)，所以，

2

V'=[2y[2x(20-x),

當(dāng)0<x<20,時(shí)，K遞增，當(dāng)口0人逛咸0V,所以，當(dāng)x=20時(shí),

V最大。

遮(60-2自

\_

此時(shí)，包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為2

&?X2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)的建模思想、：次函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)知識(shí)。體現(xiàn)了實(shí)際問題的

解決依托是數(shù)學(xué)知識(shí)。

例11.(2011年湖南高考理科20題)如圖6,長(zhǎng)方形物體E在雨中

沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為v(v>0),

雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為c(ceR)。E移動(dòng)時(shí)單他用回

內(nèi)的淋雨量包括兩部分(1)P或P的平行面(只有一個(gè)面

淋附)的淋雨量，假設(shè)其值與|v-c|xS成正比，比例系數(shù)為，;

(2)其它面的淋雨量之和，其值為g,記y為E移動(dòng)過程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距

3

離d=100,面積S=一時(shí)。

2

8頁(yè)

(1)寫出y的表達(dá)式

(II)設(shè)0<仁10,0〈仁5,試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度使總淋雨量y

最少。

31

【解析】(1)山題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為——Iv-cl+-,

202

,100/3?,1、5c?小

4故y=(—lv-cl+—)=—(3lv-cl+10).

v202v

(II)由(I)知，當(dāng)0<v4c時(shí)，y=-(3c-3v+10)=5(3r-10)-15；

VV

當(dāng)C<V4I0時(shí)，y=*(3v―3c+]0)=5(I。-3c)%]§

VV

[5(3c+10)?“<

-----------------15,0<v<c

故y=""o

5(10-女)i

--------------+15,c<v<10

v

①當(dāng)0vc(時(shí)，y是關(guān)于u的減函數(shù).故當(dāng)y=10時(shí)，ymin=20-yo

②當(dāng)日<cV5時(shí)，在(0,c]上，y是關(guān)于v的減函數(shù)：在(c,10]上，y是關(guān)于v的

增函數(shù)；

故當(dāng)v=c時(shí)，j?=—?

rainC

【點(diǎn)評(píng)】本題在考查對(duì)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模轉(zhuǎn)化能力的同時(shí)，進(jìn)一步對(duì)函數(shù)知識(shí)、分類

討論思想以及運(yùn)算求解能力綜合考查。

例12.(2011年湖南高考文科2()題)某企業(yè)在第1年初購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為120萬(wàn)元的設(shè)備

M,M的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上

年初減少10萬(wàn)元：從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%.

(I)求第n年初M的價(jià)值an的表達(dá)式；

(II)設(shè)A“=，若大于80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n

n

年初對(duì)M更新，

證明：須在第9年初對(duì)M更新.

【解析】(I)當(dāng)〃46時(shí),數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為60,公差為-10的等差數(shù)列.

%=120-10(〃-1)=130-10〃；

3

當(dāng)〃26忖，數(shù)列｛4｝是以4為首項(xiàng)，公比為a為等比數(shù)列，又。6=70,

9頁(yè)

7

所以%二70乂(力”一6；

因此，第〃年初，M的價(jià)值%的表達(dá)式為

120-10(n-l)=130-10n,/?<6

牝二70x(與，n7

(II)設(shè)S”表示數(shù)列｛/｝的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得

當(dāng)1?〃K6時(shí)，S”=120〃一5及(〃一1),4=120-5(^-1)=125-5n;

當(dāng)及27時(shí),

HS6=120x6-5x6x(6-1)=570

則

3

S”=$6+(%+。8+…+EtJ=57()4-70x-x4x1

因?yàn)椋?｝是遞減數(shù)列，所以｛AJ是遞減數(shù)列，

又

780-210x(2)8-6780-210x(-)9-6

A=----------—=82—>80,A=-----------—=76—<80,

864~996

所以須在第9年初對(duì)M更新.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的能力，通過數(shù)列模型的建立，利用數(shù)

列知識(shí)結(jié)合運(yùn)算能力使實(shí)際問題得到數(shù)學(xué)解答。

例13.跳格游戲：如圖1,人從格外只能進(jìn)入第1格，在格中每次可向前跳1格或2格,

圖1

那么人從格外跳到第8格的方法種數(shù)為()

A.21B.26C.17D.13

【解析】設(shè)跳到第〃格的方法種數(shù)為4，則到達(dá)第〃格的方法有兩類：

①向前跳1格到達(dá)第〃格，方法數(shù)為

②向前跳2格到達(dá)第〃格，方法數(shù)為，則由分類加法計(jì)數(shù)原理知：

4=4T+凡.2，山數(shù)列的遞推關(guān)系得該數(shù)列的前8項(xiàng)為1，1,2,3,5,8,

13,21.所以人從格外跳到第8格的方法種數(shù)為21種.

【點(diǎn)評(píng)】本題通過數(shù)列模型，考查了根據(jù)邏輯推理進(jìn)行分類討論的能力.

例14.(2011年陜西高考理科14題)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路側(cè)植樹，每

人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米.開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使

每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個(gè)最小值為

(米).

10頁(yè)

【解析】設(shè)樹苗放在第i個(gè)樹坑旁邊(如圖2),

―I------1-------1-----1——?——I-------1-------1------1-

12i…1920

圖2

那么各個(gè)樹坑到第i個(gè)樹坑距離的和是

s=(i—l)xl()+(i-2)xlO+???+(I)xlO+Ki+l)—i]xl()+???+(2()—i)xl()

=]0xW_i￡112_jx(20T)+(20Tx'+1+20)]=]0?2_2卜+2]0),

22

所以當(dāng)i=10或11時(shí)，s的值最小，最小值是1000,所以往返路程的最小值是2000

米.

【點(diǎn)評(píng)】把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，然后列式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

例15.(2004年春季上海，8)如圖3,根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試

猜測(cè)第〃個(gè)圖中有個(gè)點(diǎn).

0

0

0

0

°00

0

。00

00

。00000000

000

。00

0

00

。0

0°o0°0

。

2o(4)(5)

(3

圖3

【解析】設(shè)第〃個(gè)圖形的個(gè)數(shù)為4〃，則4=1，a,—3，。3=7，。4=13,。5=21

=aa

設(shè)%n+\~n貝A=a2-q=2,h2=a3-a2=4,b3=a4-a3=6,

b4=%-a4=8,…

所以也｝是以4=2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，故也｝的前〃和

n(n-\]、

S〃=2n+---------x2=n~+n

n2

又S”產(chǎn)仄+%也+??.+%=%-%+。3?。2+。4?〃3+..?+4”-尸M-%

所以a“=S“_]+。尸(〃-1)2+(72-l)+l=z?2-”+1故第n個(gè)圖中有n2-〃+1個(gè)

點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】把數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型，進(jìn)而轉(zhuǎn)為求數(shù)列的通項(xiàng)問題。

例16.(2006年廣東卷)在德國(guó)不萊梅舉行的第48屆世乒賽期

間，某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干準(zhǔn)“正三棱錐”

形的展品，其中第一堆只有一層，就一個(gè)乒乓球；第2、

3、4、…堆最底層(第一層)分別按圖4所示方式固定

擺放.從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，

第〃堆第〃層就放一個(gè)乒乓球，以/(〃)表示第〃堆的

乒乓球總數(shù)，則/(3)；/(〃)=(答案用n表

示)

11頁(yè)

【解析】設(shè)第〃個(gè)圖形的個(gè)數(shù)為勺，則〃尸3,%=6,%=/⑶=10，…，af=f(n)

由題意可知：4=4+3=6+2+1，a3=a2+4=a2+3+l?…，

所以〃“?％產(chǎn)〃+1"2=〃，勺，???，〃3-出=4，〃2-%=3

這/I-1個(gè)式子累