不定積分5.1不定積分的概念和性質5.2換元積分法5.3分部積分法

5.1不定積分的概念和性質

5.1.1原函數與不定積分的概念

定義5.1.1

如果在區間I內，可導函數F(x)的導函數為f(x)，即x∈I，都有F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函數F(x)就稱為f(x)在區間I內的原函數.

定理5.1.1（原函數存在定理）如果函數f(x)在區間I內連續，那么在區間I內存在可導函數F(x)，使x∈I，都有F′(x)=f(x).

也就是說，連續函數一定有原函數.

我們來看下面的例子:

(sinx)′=cosx

(sinx+2)′=cosx

(sinx+C)′=cosx(這里C是任意常數)從這個例子中可以看到，如果F(x)是f(x)的原函數，即F′(x)=f(x)，那么對于任意常數C，F(x)+C都是f(x)的原函數.同時，如果F(x)和G(x)都是f(x)的原函數，那么這兩個原函數之間只相差一個常數，即

F(x)－G(x)=C

（C為任意常數）定義5.1.2在區間I內，函數f(x)的帶有任意常數項的原函數稱為f(x)在區間I內的不定積分，記為，即

其中，∫稱做積分號，f(x)稱做被積函數，x稱做積分變量，f(x)dx稱做被積表達式.例5.1.1求

解因為，所以例5.1.2求解因為

所以我們把函數f(x)的原函數F(x)的圖形稱為f(x)的積分曲線，如圖5.1.1所示.顯然，求不定積分得到原函數的全體，我們

稱之為原函數族，這個原函數族的圖形就是函數f(x)的積分曲線族.

另外，根據不定積分的定義，可知

，，圖5.1.15.1.2基本積分表

下面我們把一些基本的積分公式列成一個表，這個表通常叫做基本積分表.(1)(2)(3)(k是常數)；(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)例5.1.4求解5.1.3不定積分的性質

不定積分具有以下性質:（k是常數，k≠0）.(1)(2)例5.1.5

求解例5.1.6

求解

例5.1.7

求解例5.1.8

求解

例5.1.9

求解例5.1.10已知一曲線y=f(x)在點(x,f(x))處的切線斜率為sec2x+sinx，且此曲線與y軸的交點為(0,5)，求此曲線的方程.解因為所以

又因為y(0)=5，所以C=6，故所求曲線方程為

y=tanx－cosx+65.2換元積分法

5.2.1第一類換元法

一般情況下，設F′(u)=f(u)，則

如果u=φ(x)可微，則根據復合函數微分法，有

dF［φ(x)］=f［φ(x)］φ′(x)dx

從而根據不定積分的定義可得由此可得換元積分法定理.定理5.2.1設f(u)具有原函數，u=φ(x)可導，則有換元公式這個公式叫做第一類換元公式，也叫湊微分法.

例5.2.1

求解方法一：方法二：方法三：

例5.2.2

求解因為，所以一般地，

例5.2.3

求解例5.2.4

求解

例5.2.5

求解

例5.2.6

求解

例5.2.7

求解

例5.2.8

求解因為，所以

例5.2.9

求解

例5.2.10

求解

例5.2.11

求解例5.2.12

求解因為所以

例5.2.13

求解方法一:方法二：類似地,可推出5.2.2第二類換元法

定理5.2.2

設x=ψ(t)是單調的、可導的函數，并且ψ′(t)≠0.又設f［ψ(t)］ψ′(t)具有原函數，則有換元公式其中,ψ(x)是x=ψ(t)的反函數.

例5.2.14

求解如圖5.2.1所示，令x=atant,則dx=asec2tdt，于是圖5.2.1

例5.2.15

求解如圖5.2.2所示，令x=2sint，則dx=2costdt，，于是圖5.2.2

例5.2.16

求解如圖5.2.3所示，令x=asect，則dx=asecttantdt，于是圖5.2.3

例5.2.17

求解令

，xdx=tdt，于是

例5.2.18

求解令，，，于是

例5.2.19

求解令，于是

例5.2.20

求解令x=t6,則dx=6t5dt，于是我們在5.1.2節的基本積分表的基礎上再補充一些積分公式：(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)

5.3分部積分法

設函數u=u(x)和v=v(x)具有連續導數,則

(uv)′=u′v+uv′

于是有

uv′=(uv)′－u′v

在這個等式的兩端同時做不定積分，得到

從而有

例5.3.3

求解令u=arctanx，，于是

例5.3.5

求解令u=secx,sec2xdx=d(tanx)=dv,于是得

例5.3.6

求解