§8.3簡單幾何體的表面積與體積幾何體表面積體積說明圖示柱體棱柱S棱柱＝S側＋2S底V棱柱＝ShS為棱柱的底面積，h為棱柱的高圓柱底面積：S底＝2πr2側面積：S側＝2πrl表面積：S＝2πr(r＋l)V圓柱＝Sh＝πr2h圓柱底面圓的半徑為r，面積為S，高為h錐體棱錐S棱錐＝S側＋S底V棱錐＝eq\f(1,3)ShS為棱錐的底面積，h為棱錐的高圓錐底面積：S底＝πr2側面積：S側＝πrl表面積：S＝πr(r＋l)V圓錐＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圓錐底面圓的半徑為r，面積為S，高為h臺體棱臺S棱臺＝S側＋S上底＋S下底V棱臺＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hS′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高圓臺上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側面積：S側＝π(r′l＋rl)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)V圓臺＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋eq\r(S′))h＝eq\f(1,3)π(r2＋rr′＋r′2)h圓臺上底面圓的半徑為r′，面積為S′，下底面圓的半徑為r，面積為S，高為h球體S球＝4πR2V球＝eq\f(4,3)πR3R為球的半徑題型一：幾何體的表面積和體積【典例】1．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：首先根據正方形的面積求得正方形的邊長，從而進一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關公式求得圓柱的表面積.詳解：根據題意，可得截面是邊長為的正方形，結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.2．已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側面積為.【答案】【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.3．已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】

如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．4．已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故選：B5．在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為．【答案】/【分析】結合圖像，依次求得，從而利用棱臺的體積公式即可得解.【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，因為，則，故，則，所以所求體積為.故答案為：.6．底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為．【答案】【分析】方法一：割補法，根據正四棱錐的幾何性質以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據臺體的體積公式直接運算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.【方法總結】求幾何體體積的常用方法：①公式法：直接代入公式求解；②等積法：例如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可；③補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等；④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.7．甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為，側面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據圓錐的側面積公式可得，再結合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.8．南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選：C．題型二：內切球、外接球問題【典例】1．已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．【方法總結】1.球的截面問題：如圖，設小圓的圓心為o′，半徑為r，球的球心為o，半徑為R，則①oo′⊥圓面o′；②R2＝r2＋oo′2.2.（1）球與多面體：①多面體的外接球：多面體的頂點均在球面上；球心到各個頂點距離相等(球半徑)；②多面體的內切球：多面體的各面均與球面相切；球心到各面距離相等(球半徑)（2）球與旋轉體：①旋轉體的外接球：旋轉體的頂點在球面上；底面為球截面；球心在旋轉軸上．②旋轉體的內切球：旋轉體的各面均與球面相切；球心在旋轉軸上．2．已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進而求得體積.【詳解】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設到平面的距離為，則，所以.3．已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設正四棱錐的高為，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導數法設正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當時，，當時，，所以當時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當且僅當取到，當時，得，則當時，球心在正四棱錐高線上，此時，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是4．設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：作圖，D為MO與球的交點，點M為三角形ABC的中心，判斷出當平面時，三棱錐體積最大，然后進行計算可得．詳解：如圖所示，點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當平面時，三棱錐體積最大此時，,點M為三角形ABC的中心中，有5．在正方體中，E，F分別為AB，的中點，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點．【答案】12【