專題08三角形邊角關系的四種考法全攻略【知識點梳理】三角形內角和定理：（1）定理：三角形三個內角和等于180度（2）直角三角形的兩個銳角互余三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊只需滿足：<第三邊<兩邊之和（兩邊為相同兩條邊）類型一、利用三邊關系求值或化簡例1．設a，b，c是的三邊，化簡：__________．【答案】【詳解】解：∵a，b，c分別為的三邊，∴，，，∴．故答案為：．例2.已知一個等腰三角形的兩邊長分別為2和4，則該等腰三角形的周長是．【答案】10．【解析】因為2+2＜4，所以等腰三角形的腰的長度是4，底邊長2，周長：4+4+2=10，答：它的周長是10，故答案為10．

【變式訓練1】已知是的三邊長．（1）若滿足，，試判斷的形狀；（2）化簡：【答案】（1）是等邊三角形；（2）【詳解】（1）∵，∴且，∴，∴是等邊三角形．（2）∵是的三邊長∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0原式===【變式訓練2】已知的三邊長都是正整數，且滿足，求的最大邊的值；【答案】【詳解】解：∵∴∴，∵，∴，∴，∵的三邊長為，∴，即，∵的最大邊，∴，∴，∴的最大邊的值為．【變式訓練3】已知，的三邊長為4，10，x．(1)求x的取值范圍.(2)當的周長為偶數時，求x．【答案】(1)；(2)8或10或12．

【詳解】（1）解：∵的三邊長為4，10，x．∴，∴．（2）解：∵的周長為偶數，是偶數，∴x是偶數，∵，∴x的值可以是8或10或12．【變式訓練4】已知△ABC的三邊長分別為1，4，a，化簡：．【答案】【詳解】解：因為△ABC的三邊長分別為1，4，a．所以4-1<a<4+1．解得3<a<5．∴，，，∴．類型二、證明不等關系例.中D是邊上一點，連接．(1)如圖1，是中線，則___________（填>，<或=）；(2)如圖2，是角平分線，求證．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）解：如圖，延長至E，使，連接，

在與中，，∴，∴，∴，即；故答案為：；（2）證：在上截取，連接，∵是角平分線，∴，在和中，，∴，∴，∴．

【變式訓練1】如圖，O是△ABC內的一點，連結OB，OC，求證：AB+AC＞OB+OC．【解答】證明：如圖，延長BO交AC于點D，∵AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，∴AB+AD+CD＞OB+OC，即：AB+AC＞OB+OC．【變式訓練2】如圖1，點是內部一點，連接，并延長交于點．(1)試探究與的大小關系；(2)試探究與的大小關系；(3)如圖2，點，是內部兩點，試探究與的大小關系．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)，理由見解析【詳解】（1）解：，理由為：，∴即：（2），理由為：在中，，在中，，兩式相加得：+即：（3），理由為：

如圖，延長交的延長線于G，交于點F，在中，，①在中，，②中，，③得：【變式訓練3】觀察并探求下列各問題，寫出你所觀察得到的結論．（1）如圖①，在△ABC中，P為邊BC上一點，則BP+PCAB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）將（1）中點P移到△ABC內，得圖②，試觀察比較△BPC的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．（3）將（2）中點P變為兩個點P1、P2得圖③，試觀察比較四邊形BP1P2C的周長與△ABC的周長的大小，并說明理由．【解答】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形兩邊之和大于第三邊，（2）△BPC的周長＜△ABC的周長．理由：如圖，延長BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，兩式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周長＜△ABC的周長，（3）四邊形BP1P2C的周長＜△ABC的周長，理由：如圖，分別延長BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得結論．類型三、面積問題例.如圖，在中，點將線段分成的兩個部分，點將線段分成的兩個部分，若的面積是，則的面積是（）

A． B． C． D．【答案】B【解析】設S△ABC=m,∵AD:BD=2:1∴S△ADC=,S△DBC=,∵BE:CE=1:3∴S△AEC=,S△ABE=,∴S△ADE=S△ABE=×=,∴S△AEC：S△ADE=9：2,∴,∴S△ACF：S△ADF=9：2,而S△ADF=4∴S△ACF=×4=18，故選：B．【變式訓練1】如圖，在中，是邊上的一點（不與點B，C重合），點E，F是線段的三等分點，記的面積為，△ACE的面積為，若，則的面積為（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【詳解】解：∵點E，F是線段的三等分點，∴，∴

同理，∴，∵，∴．故選：C．【變式訓練2】如圖，是的一條中線，為邊上一點且相交于，四邊形的面積為，則（1）________（2）____________．【答案】

【詳解】解：連接，如圖所示：設，則，為邊上中線，，，，，，即；，

，即，解得：，，故答案為：；．【變式訓練3】如圖，D、E分別是邊AB，BC上的點，AD=2BD，BE=CE，設的面積為的面積為，若，則的值為____________.【答案】1；【解析】解：∵BE＝CE，∴BE＝BC，∵S△ABC＝6，∴S△ABE＝S△ABC＝×6＝3．∵AD＝2BD，S△ABC＝6，∴S△BCD＝S△ABC＝×6＝2，∵S△ABE?S△BCD＝（S1＋S四邊形BEFD）?（S2＋S四邊形BEFD）＝S1?S2＝3-2=1，故答案為1【變式訓練4】閱讀與理解：三角形的中線的性質：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1，是中邊上的中線，則．理由：，，即：等底同高的三角形面積相等．操作與探索在如圖2至圖4中，的面積為．(1)如圖2，延長的邊到點，使，連接．若的面積為，則___________（用含的代數式表示）；(2)如圖3，延長的邊到點，延長邊到點，使，，連接．若的面積為，則___________（用含的代數式表示），并寫出理由；

(3)在圖3的基礎上延長到點，使，連接，，得到（如圖．若陰影部分的面積為，則___________；（用含的代數式表示）拓展與應用：(4)如圖5，已知四邊形的面積是，、、、分別是、、、的中點，連接交于點O，求圖中陰影部分的面積？【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【詳解】（1）解：如圖2，延長的邊到點，使，為的中線，即；故答案為：；（2）解：如圖3，連接，延長的邊到點，延長邊到點，使，，

，，，即；故答案為：；（3）解：由（2）得，同理：，，；故答案為：；（4）解：如圖5所示，連接，則，，；故陰影部分的面積為．類型四、折疊問題例．如圖，把△ABC沿EF對折，折疊后的圖形如圖所示，，，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵，∴，∴，由折疊的性質可得：，∴，∵，∴，即．故選B．【變式訓練1】如圖，點M，N分別在，上，，將沿折疊后，點A落在點處．若，，則的度數為（

）A．148° B．116° C．32° D．30°【答案】B【詳解】根據折疊的性質有：，，

∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【變式訓練2】如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【詳解】由折疊的性質可知∵∴∴故選C【變式訓練3】圖1是一張三角形紙片．將對折使得點與點重合，如圖2，折痕與的交點記為．（1）請在圖2中畫出的邊上的中線．（2）若，，求與的周長差．【答案】（1）見解析；（2）

【詳解】解：（1）如圖，線段即為所求．（2），的周長的周長．【變式訓練4】問題1現有一張△ABC紙片，點D、E分別是△ABC邊上兩點，若沿直線DE折疊．研究（1）：如果折成圖①的形狀，使A點落在CE上，則∠1與∠A的數量關系是研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠1+∠2和∠A的數量關系是研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠1、∠2和∠A的數量關系，并說明理由．問題2研究（4）：將問題1推廣，如圖④，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點A、B落在四邊形EFCD的內部時，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數量關系是．【解答】解：（1）如圖1，∠1＝2∠A，理由是：由折疊得：∠A＝∠DA′A，∵∠1＝∠A+∠DA′A，∴∠1＝2∠A；故答案為：∠1＝2∠A；（2）如圖2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折疊得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；故答案為：∠1+∠2＝2∠A；

（3）如圖3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是：∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1，∴∠2＝∠A′+