人教版數(shù)學(xué)必修二

第四章圓與方程重難點(diǎn)解析

第四章課文目錄

4.1圓的方程

4.2直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系

4.3空間直角坐標(biāo)系

重點(diǎn)：

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

2、圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間

的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F.

3、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的幾何圖形及其判斷方法.

4、用坐標(biāo)法判斷圓與圓的位置關(guān)系.

5、直線(xiàn)與圓的方程的應(yīng)用.

難點(diǎn)：

1、會(huì)根據(jù)不同的已知條件，利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程。

2、對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用,

3、用坐標(biāo)法判直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.

4、用坐標(biāo)法判斷圓與圓的位置關(guān)系.

5、直線(xiàn)與圓的方程的應(yīng)用.

一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、圓心為c(9),半徑為「的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

(x-a)2+(y-b)2=r2

由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知它含有三個(gè)參數(shù)，因此必須具備

三個(gè)獨(dú)立條件才能確定一個(gè)圓。特別地，若圓心為原

點(diǎn)，此時(shí)ai=O,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+/=72

2、過(guò)圓上一點(diǎn)的切線(xiàn)方程：

”(x°,y。)在圓，+/=產(chǎn)上，過(guò)M的切線(xiàn)方程為

2

xux+yoy=r

當(dāng)M(x0,y。)在圓(x-a)2+(y—戶(hù)上,過(guò)M的圓的切線(xiàn)方程

2

為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r

3、滿(mǎn)足如下兩點(diǎn)，才可稱(chēng)方程(x-a)2+(yi)2=/是以5%)

為圓心，，為半徑的圓的方程：

(1)若點(diǎn)(x,y)在以(a,b)為圓心，r為半徑的圓上，則(x,y)

必須滿(mǎn)足方程(…猿+(-=/；

⑵滿(mǎn)足方程(…-+(VW=戶(hù)的點(diǎn)一定在以Qb)為圓心，

「為半徑的圓上。

4、判斷點(diǎn)P在圓上、圓內(nèi)、圓外的依據(jù)是比較點(diǎn)P

到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系：d〉ro點(diǎn)P在圓

外；片『0>^^在圓上；屋「。點(diǎn)P在圓內(nèi)。即點(diǎn)P(x°,y。)

2

在圓(x-a)2+(y-b)2=產(chǎn)外的條件是(Xo-。)2+(%-6)2>r；在圓

2

(x-a)2+(y-/?)=

2222

戶(hù)上的條件是(與一a-+(y0-b)=r；在圓(x-a)+(y-b)=/內(nèi)

的條件是(Xo-a)?+(>0-匕尸<r2O

5、求曲線(xiàn)方程的一般步驟為：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線(xiàn)上

任意點(diǎn)M的坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱(chēng)建系設(shè)點(diǎn)；

(2)寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合P={M|P(M)|),

簡(jiǎn)稱(chēng)寫(xiě)點(diǎn)集；

(3)用坐標(biāo)表示條件P(M),列出方程f(x,y)二0,

簡(jiǎn)稱(chēng)列方程；

(4)化方程f(x,y)二0為最簡(jiǎn)形式，簡(jiǎn)稱(chēng)化簡(jiǎn)方程;

(5)證明化簡(jiǎn)后的方程就是所求曲線(xiàn)的方程，簡(jiǎn)稱(chēng)

證明.

其中步驟(1)(3)(4)必不可少.

典型例題：

例1：(1)已知一個(gè)圓的直徑的端點(diǎn)是A(-1,2).

B(7,8),求該圓的方程。

(2)已知一個(gè)圓的直徑的端點(diǎn)是A區(qū)』)、

B(G為)，求該圓的方程。

邈求出圓心、半徑或利用求軌跡方程的方法求解。

噩⑴...A(T,2)、B(7,8)是圓的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，

，圓心C為線(xiàn)段AB為中點(diǎn)，即C(3,5)。

又圓的半徑r=J(3+l)2+(5-2)2=5

，圓的方程為(x-3>+(y-5>=25

⑵設(shè)P(x,y)是所求圓上的任一點(diǎn)，則如=口，

x-x{

2口,

x-x2

???AB為圓的直徑，AP1.BP,故%

yy=

---2ZA=_i,/.(X_X1)(X-%2)+(y-y,)(y-y2)0(X)

x-x2x-x}

當(dāng)P與A或B重合時(shí)，也滿(mǎn)足方程(X)

故圓的方程為(Xf)(x-尤2)+(>->|)(》-為)二。

遍一是體現(xiàn)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律；二是想說(shuō)明

在解題時(shí)，要根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)靈活地選擇解題方

法，如第⑵小題也按第⑴小題的方法做就顯得繁瑣。

例2：%為何值時(shí)，直線(xiàn)x-2y-2A=0與2x-3y-Z=0的交點(diǎn)在圓

/+>2=9外？

礴求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)在圓外尋求女

的不等式。

噩由卜2=2：=；得兩直線(xiàn)交點(diǎn)p的坐標(biāo)為（_以,一3%）

???P在圓'+>2=9外，???P到圓心（0,0）的距離大于半徑

3,

即，（-依）2+（-3k）2>3,解得4<-|或k〉3

當(dāng)4<-1或4>|時(shí)，直線(xiàn)X-2y-2A=0與2x-3y-4=0的交點(diǎn)在圓

+y2=9外

函判斷點(diǎn)P在圓上、圓內(nèi)、圓外的依據(jù)是比較點(diǎn)P

到圓心的距離d與半徑「的大小關(guān)系：1〉「。點(diǎn)P在圓

外；片點(diǎn)P在圓上；屋「0點(diǎn)P在圓內(nèi)。

例3：求過(guò)點(diǎn)例1,-1）、B（T,1）且圓心在直線(xiàn)x+y—2=0

上的圓的方程。（2001年全國(guó)文科高考題）

逮本題關(guān)鍵是求出圓心C的坐標(biāo)，而圓心C應(yīng)是AB

的垂直平分線(xiàn)與已知直線(xiàn)的交點(diǎn)。

噩線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為y-

由。八得圓心C的坐標(biāo)為a,。

x+y-2=0

/.所求圓的半徑產(chǎn)ICA|二+（i+i）2=2

.??所求圓的方程為（1）2+（"1）2=4

總結(jié)在求解解析兒何問(wèn)題時(shí)，要強(qiáng)調(diào)圖形在分析問(wèn)題

中的輔助作用，要適當(dāng)?shù)貞?yīng)用幾何知識(shí)來(lái)幫助解題，

這是簡(jiǎn)化解題過(guò)程中運(yùn)算量的一個(gè)有效技巧。這里的

兒何知識(shí)主要包括兩方面的內(nèi)容：一是應(yīng)用平面兒何

中的有關(guān)定理(通常在涉及直線(xiàn)和圓的問(wèn)題中用得

上)；二是在求解圓錐曲線(xiàn)的某些問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意它們

的幾何定義。

例4：求以0(1,3)為圓心，且與直線(xiàn)3x—4),一7=0相切的圓

的方程7

底搠關(guān)鍵是求半徑，而由直線(xiàn)和圓相切知半徑曲為圓

心到直線(xiàn)的距離。

解圖設(shè)圓的半徑為r

,/圓與直線(xiàn)相切

圓心0(1,3)到直線(xiàn)3x—4y—7=0距離

」|3-12-7|16

a=r=----------=——

55

???圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：U-i)2+(y-3)2=

例5：已知圓的方程是一+/:戶(hù),求經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)"(%,汽)

的切線(xiàn)方程。I7

M

點(diǎn)搠求直線(xiàn)方程，已知了一個(gè)點(diǎn)，還需求一個(gè)點(diǎn)或斜

率，此題求斜率好，因?yàn)橛兄本€(xiàn)互相垂直，斜率有關(guān)

系。或者用軌跡法，根據(jù)題目條件列出一關(guān)系式。

遁

法一、如圖，設(shè)切線(xiàn)斜率為左,半徑0M的斜率為小

*

??k[?k=-1

一???

X。>0

???切線(xiàn)方程為y.y0=*(AX。),整理得

%

x()x+yoy=「2

當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)上時(shí)，上述方程同樣適用。

法二、設(shè)P(x,y)是切線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則

22222222

OM+MP^OP即r+(x-x0)+(y-y0)=x+y

整理得

222

r+x0+y0=2x0x+2y0y即

2

切線(xiàn)方程為：xnx+yQy=r

法三、設(shè)P(x,y)是切線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則OMJ.MP

???OM即(x0,y0)-(x-x0,y-y0)=G

22

整理得x0+y0=xox+yoy

???切線(xiàn)方程為：,

二、圓的一般方程

1、圓的一般方程：

將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(*-。)2+(》-/?)2=，的展開(kāi)式為：

x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=O.

取,D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2得'

x2+y2+Dx+Ey+F^0①

這個(gè)方程是圓的方程.反過(guò)來(lái)給出一個(gè)形如

―+產(chǎn)+6+4+/=。的方程，它

表示的曲線(xiàn)一定是圓嗎？

再將上方程配方，得(X+尹+(y+豕=處1

②

不難看出，此方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)系

(1)當(dāng)。2+以_4/>0時(shí),表示以(-￡,)為圓

心,^D2+E2-4F為半徑的圓；

(2)當(dāng)a+E2_4/=。時(shí),方程只有實(shí)數(shù)解

2

y=-《,即只表示一個(gè)點(diǎn)(-f,；

(3)當(dāng)02+￡2.4F<0口寸，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它

不表示任何圖形

綜上所述，方程/+/+瓜+4+尸=0表示的曲線(xiàn)不一

定是圓

只有當(dāng)02+爐_4/>0時(shí)，它表示的曲線(xiàn)才是圓，我們

把形如一+>2+6+4+/=0的表示圓的方程稱(chēng)為圓的

一般方程。

2、圓的一般方程的特點(diǎn)：

(1)①/和/的系數(shù)相同，且不等于0；②沒(méi)有盯

這樣的二次項(xiàng)

(2)確定圓的一般方程，只要根據(jù)已知條件確定

三個(gè)系數(shù)2瓦尸就可以了

(3)與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較，它是一種特殊的二元

二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則明

確地指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較

明顯。

3、用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：

(1)根據(jù)題意設(shè)所求圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式或一般式；

(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程;

(3)解方程組，求出a、b、r或D、E、F的值，代

入所設(shè)方程，就得要求的方程.

注意：關(guān)于何時(shí)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，何時(shí)設(shè)圓的一

般方程：一般說(shuō)來(lái)，如果由已知條件容易求圓心的坐

標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問(wèn)題，

往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半

徑都無(wú)直接關(guān)系，往往設(shè)圓的一般方程.

典型例題：

例1：求過(guò)三點(diǎn)A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓

的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。

頤據(jù)已知條件,很難直接寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓

的一般方程則需確定三個(gè)系數(shù)，而條件恰給出三點(diǎn)坐

標(biāo)，不妨試著先寫(xiě)出圓的一般方程.

解圖設(shè)所求的圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0

???A(O,O),6(1,D,C(4,2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程

的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于

2瓦尸的三元一次方程組，

但=0

即<。+七+/+2=0

4O+2E+/+20=0

解此方程組，可得：。=-8,八6,八0。

二?所求圓的方程為：%2+y2-8x+6y=0.

r=—^D~+E~—4F=5；--=4,--=-3

222

得圓心坐標(biāo)為(4,-3).

或?qū)?+>2_"+6>=0左邊配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

(x-4)2+(y+3)2=25,從而求出圓的半徑r=5,圓心坐標(biāo)為

(4,-3)0

例2：求圓心在直線(xiàn)7：x+y=0上，且過(guò)兩圓C1：

x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0的交點(diǎn)

的圓的方程.

噩法一：

解，蛾港紐fza一4-v;J-+2小z-I-1：0T--824==。，0播_煙__交點(diǎn)加4°,，

(0,2).

設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2二r2,因?yàn)閮牲c(diǎn)在

所求圓上，且圓心在直線(xiàn)/上所以得方程組為

(-4-a)4+b4=r4

<5+(2-b)‘=J

a+b=0

Wff?a=-3>b=3,r=VlO.

故所求圓的方程為：(x+3)2+(y-3)2二10.

法二：設(shè)所求圓的方程為：

x2+y2-2x+10y_24+A,(x2+y2+2x+2y-8)=0(入WT)

整理并配方得：

l-X.5+X.24+831-X,5+X,

=wr+E+田?

由圓心在直線(xiàn)/上得入二-2.

將入二-2代入所假設(shè)的方程便可得所求圓的方程為

x2+y2+6x-6y+8=0.

例3：已知線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4,3）,端點(diǎn)A

在圓上（x+ly+y2=4運(yùn)動(dòng)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方

程。

點(diǎn)撥|如圖點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng),而點(diǎn)A在已知圓上

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程（x+iy+y2=4。建立點(diǎn)M與點(diǎn)

A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足的條

件，求出點(diǎn)M的軌跡方程。

解答

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x,y）,點(diǎn)A的坐標(biāo)是

（x0,y。）.由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4,3）且M是線(xiàn)段AB的重點(diǎn)，所以

于是有%=2x-4,%=2》-3

因?yàn)辄c(diǎn)A在圓（x+iy+y2=4上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足方

程（x+l）:+y2=4,即（/+1『+%2=4

22

（x0+l）+y0=4②

把①代入②，得

（2x-4+l）2+（2y-3）2=4,整理,

點(diǎn)M的軌跡是以二-為圓心,半徑長(zhǎng)為1的圓

（22）

例4：已知一曲線(xiàn)是與兩個(gè)定點(diǎn)0(0,0),A(3,0)距離的比為；

的點(diǎn)的軌跡，求此曲線(xiàn)的方程，并畫(huà)出曲線(xiàn)。

虎圓在求出曲線(xiàn)方程之前，很難確定曲線(xiàn)類(lèi)型，所以

應(yīng)按照求曲線(xiàn)方程的一般步驟先將曲線(xiàn)方程求出.

薜智設(shè)點(diǎn)M(x,y)是曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，也就是點(diǎn)M(x,y)

屬于集合2=(〃1照=小

\AM\2

即J,+y2=,12+y2=2

Jx_3)2+y2_萬(wàn)'(X-3)2+/-4

整理得：X2+/+2X-3=0

所求曲線(xiàn)方程即為：/+丁+2>3=0,

將其左邊配方，得(x+1尸+),2=4。

，此曲線(xiàn)是以點(diǎn)C(TO)為圓心，2為半徑的圓.如右

上圖所示,

變型：(1)已知一動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A(3,0)與到0(0,0)距離之

比為常數(shù)乂火>0）,求動(dòng)點(diǎn)”的軌跡。

①當(dāng)％=］時(shí)，方程為x軌跡為線(xiàn)段A。的垂直平分線(xiàn);

②當(dāng)%>0且入1時(shí),方程為（%+高產(chǎn)+加步,軌跡時(shí)以

（-”三,。）為圓心，色為半徑的圓。

k—1k—1

（2）已知定點(diǎn)43,0）1（1,0）,0（0,0）,動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足射線(xiàn)

P8平分ZAP。，求動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡。

由內(nèi)分定理知露耨=2,由（1）知方程為（x+l>+y2=4,

軌跡是圓。

三、直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系

1、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定：

①代數(shù)法：

由方程組產(chǎn)+?+。=。，得萬(wàn)+G+p=o叱0）,

（x-a）+{y-b\=r

A=n2-4mp

/〉o0方程組有端相交

/=。0方程組有」解相切

/<。O方程組無(wú)卡相離

②幾何法：

直線(xiàn)與圓相爻d<r

直線(xiàn)與圓相劭d=r

直線(xiàn)與圓相禽d>r

位置關(guān)幾何代數(shù)

兒何特征方程特征

系法法

有兩個(gè)公方程組有兩個(gè)

相交d<r△>0

共占不同實(shí)根

有且只有方程組有且只

相切d=r△二0

一公共點(diǎn)有一實(shí)根

沒(méi)有公共

相離方程組無(wú)實(shí)根d>r△<0

八占、、

注意:

①直線(xiàn)和圓相切，這類(lèi)問(wèn)題主要是求圓的切線(xiàn)方程.求

圓的切線(xiàn)方程主要可分為已知斜率k或已知直線(xiàn)上一

點(diǎn)兩種情況，而已知直線(xiàn)上一點(diǎn)又可分為已知圓上一點(diǎn)

和圓外一點(diǎn)兩種情況.

②直線(xiàn)和圓相交，這類(lèi)問(wèn)題主要是求弦長(zhǎng)以及弦的中

點(diǎn)問(wèn)題.

2、圓與圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)

含五種。

圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法：

⑴代數(shù)法：圓與圓有幾個(gè)公共點(diǎn)，由它們的方程組成

的方程組有幾組實(shí)數(shù)解確定；

⑵幾何法：依據(jù)連心線(xiàn)的長(zhǎng)d與兩圓半徑長(zhǎng)的和八+々

或兩圓半徑長(zhǎng)的差的絕對(duì)值的大小關(guān)系，判斷兩

圓的位置關(guān)系，即：

4〉八+G=兩圓外昌；

d~rl+r2=兩圓外切；

I八-r21VdV八+G=兩圓相父；

d~\ry-r2I=>兩圓內(nèi)切；

d<Ir,-r2I=兩圓內(nèi)含。

典型例題：

例1：設(shè)ni>0,則直線(xiàn)后（x+y）+1+/ZFO與圓x+y=m

的位置關(guān)系為

A.相切B.相交

C.相切或相離D.相交

或相切

解圖圓心到直線(xiàn)的距離為加手，圓半徑為而.

?：d—尸旦一際二二（加一26+1）=1（而一1）2

222

20,

，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系是相切或相離.

例2：圓x-\-y—4x+4j+6=0截直線(xiàn)y—5=0所得的

弦長(zhǎng)等于

A.V6B.迪C.1

2

D.5

解圖圓心到直線(xiàn)的距離為9，半徑為0,弦長(zhǎng)為

2j（衣尸一（#）2二后.

例3：（2004年全國(guó)卷m,4）圓*+3—4產(chǎn)0在點(diǎn)例1,

百）處的切線(xiàn)方程為

A.廣百y—2=0B.x+^y

-4=0

C.x—Vsj+4=0D.x—

6j+2=0

解圖解法一：

<V+/—4尸0

V.

y=kx-k+y[i

=V-4x+（Ax-A+6）2=0.

該二次方程應(yīng)有兩相等實(shí)根，即/=0,解得公乎.

:?y—6二號(hào)（x—1）,即x一6產(chǎn)2=0.

解法二：???點(diǎn)（1,6）在圓/+/—4產(chǎn)0上，

，點(diǎn)〃為切點(diǎn)，從而圓心與〃的連線(xiàn)應(yīng)與切線(xiàn)垂

直.

又???圓心為（2,0）,2-11.

解得公孝，???切線(xiàn)方程為x—石尸2二0.

例4：（2004年上海，理8）圓心在直線(xiàn)2才一9一7二0

上的圓。與y軸交于兩點(diǎn)/（0,—4）、6（0,-2）,

則圓。的方程為.

帽圖???圓。與P軸交于/（0,-4）,B（0,-2）,

???由垂徑定理得圓心在尸一3這條直線(xiàn)上.

又已知圓心在直線(xiàn)2x—y—7=0上，

...聯(lián)立Vy解#??，

2JT—y-7=0.

???圓心為（2,-3）,

半徑L|AC\=獷+[-3-（-4）]2=丑.

.??所求圓一的方程為（X—2）2+（p+3）2=5.

答案：（x-2）2+（―3）2二5

例5：若直線(xiàn)片x+A與曲線(xiàn)尸尸恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

則A的取值范圍是.

解析：利用數(shù)形結(jié)合.

答案：一1<AW1或七一行

例6：已知圓/+y+x—6y+zzF0和直線(xiàn)x+2y—3二0交于

只0兩點(diǎn)，且。2LOQ（〃為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓

心坐標(biāo)及半徑.

虎搠由于以L(fǎng)0Q,所以左”?熱F—1,問(wèn)題可解.

解答將產(chǎn)3—2y代入方程x2+y+x—6y+z?=0,得5y—

20方12+ZZFO.

設(shè)尸（X],刀）、0（義2,%）,則功、角滿(mǎn)足條件

71+72=4,乃乃二號(hào)1.

*.*OP\_OQ,/.用至+y加二0.

而XF3—2yi,用二3一2現(xiàn)，

.,.由尼二9一6（%+%）+471%.

???爐3,止匕時(shí)/>0,圓心坐標(biāo)為（一；，3）,半

徑尸3.

2

總緬在解答中，我們采用了對(duì)直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)“設(shè)而

不求”的解法技巧，但必須注意這樣的交點(diǎn)是否存在,

這可由判別式大于零幫助考慮.

例7：求經(jīng)過(guò)兩圓（x+3）2+y=13和/+（戶(hù)3）2二37

的交點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)x—y—4二0上的圓的方程.

醺根據(jù)已知，可通過(guò)解方程組

<（才+3）2峻<西真，

/+（y+3）=37

由圓心在直線(xiàn)x—y—4二0上，三個(gè)獨(dú)立條件，用

待定系數(shù)法求出圓的方程；

也可根據(jù)已知，設(shè)所求圓的方程為（x+3）V-

13+4[/+(y+3)2—37]=0,再由圓心在直線(xiàn)x~y

—4=0上，定出參數(shù)幾，得圓方程.

噩因?yàn)樗蟮膱A經(jīng)過(guò)兩圓(戶(hù)3)2+/=13和/+(y+3)

=37的交點(diǎn)，

所以設(shè)所求圓的方程為(戶(hù)3)2+/—13+4[/+

(j+3)2—37]=0.

展開(kāi)、配方、整理，得(廣三1+2)2+(廣鳥(niǎo)1+2)

2

2-4+282+9(1+A)

1+4(1+4)2

圓心為(一41+-2,一衛(wèi)1+2)，代入方程x—y—4二0,

得X-17.

故所求圓的方程為(x+g)2+(y+p2二黑

總結(jié)圓C\：x+y+D\x+E\y+F\^,圓C：

V+/+4才+/戶(hù)￡=0,若圓G、G相交，那么過(guò)兩圓公

共點(diǎn)的圓系方程為(x+y+D\x+E\y+F\)+4

(/+/+〃才+與y+￡)=0(GRA—1).它表示除

圓G以外的所有經(jīng)過(guò)兩圓G、G公共點(diǎn)的圓.

例8：已知圓G(x—1)2+(y-2)2=25,直線(xiàn)2：

(2研1)x+(研1)y—7/Z7—4=0(%￡R).

(1)證明：不論力取什么實(shí)數(shù)，直線(xiàn)/與圓恒交

于兩點(diǎn)；

(2)求直線(xiàn)被圓。截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)1的方程.

點(diǎn)搠直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得.

解答(1)證明：1的方程(x+y—4)+%(2x+y—7)

=0.

“魏7=0,尸3,

x+y—4=0,尸1,

即/恒過(guò)定點(diǎn)力(3,1).

???圓心「(1,2),|47|=石＜5(半徑),

，點(diǎn)/在圓C內(nèi)，從而直線(xiàn)/恒與圓。相交于兩

點(diǎn).

(2)解：弦長(zhǎng)最小時(shí)，1LAC,由標(biāo)=一g,

1的方程為2x~y—5=0.

例9：求圓心為(2,1),且與已知圓白+/_3》=0相交所

得的公共弦所在直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(5,-2)的圓的方程。

噩由于已知圓心坐標(biāo)，為此要求圓的方程只需求得

圓的半徑即可。

融圖設(shè)所求圓的方程為(x-2)2+(y一1)2=-2,

x2+y2-4x-2y+5-r2=0CD

已知圓方程為，+y2_3x=o②

①一②，得公共弦所在直線(xiàn)的方程為1+2-+/=0

???公共弦所在直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(5,-2),

???5—4-5+r=0,???戶(hù)=4,

?,?所求圓的方程為（x-2）2+（y—l）2=4

跡當(dāng)已知曲線(xiàn)類(lèi)型時(shí)，求其曲線(xiàn)方程的常用方法是

待定系數(shù)法。

例10：已知圓G：/+y2-6x—6=0①，圓。2：x2+y2-4y-6=0（2）

（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；（2）求公共弦所在的直

線(xiàn)方程；（3）求公共弦的長(zhǎng)度。

譴|（1）???圓G的圓心為（3,0）,半徑為八=形，

圓的圓心為（0,2）,半徑為癡，

V.IC]C21=V13,??I八-「2I<I1<八+，2，

二.圓a與相交。

（2）由①一②，得公共弦所在的直線(xiàn)方程

為3x-2y=0。

（3）???圓心a到直線(xiàn)3x—2y=0的距離為

一，

V13

???兩圓公共弦的長(zhǎng)度為

2寸=叵。

'113

例11：求以圓G：/+y2_i2x_2y-13=0和圓。2：

/+y2+]2x+16y—25=0的公共弦為直徑的圓的方程.

點(diǎn)撥求出兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出圓心和半徑；或利

用圓系方程求解。

萌解法，S"

相減得公共弦所在直線(xiàn)方程為4x+3y-2=0.

再由卜2+y2-]2x_2y-13=0解得兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)人(_

4x+3y—2=0

1,2)、B(5,6)

??,所求圓以AB為直徑，

???所求圓的圓心是AB的中點(diǎn)M(2,-2),圓的

半徑為r=-IABI=5

2

于是所求圓的方程為(x-2)2+(y+2>=25.

解法二：設(shè)所求圓的方程為：

x2+-12x-2y-13+2(x2+y2+12x+16y-25)=0

即(1+2)x2+(1+A)y2-(12-122)x-(2-162)y-13-252=0

，圓心坐標(biāo)為C圈輸.)

???圓心C應(yīng)在公共弦AB所在直線(xiàn)上,

X

-

3*

-(16。2)>

2*X

所求圓的方程為x2+y2-4x+4y-17=0.

總結(jié)解法一體現(xiàn)了確定圓的條件，求圓心和半徑的這

一基本方法；解法二采取了設(shè)所求圓的方程為圓系方

程，再用求待定系數(shù)求解，解法二比較簡(jiǎn)練.

例12：求與圓力+/_4戶(hù)8>+15=0相切于點(diǎn)P(3,6),且

經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(5,6)的圓的方程。

頤可將點(diǎn)P看成一個(gè)特殊的圓,利用圓系方程求解。

觸圖切點(diǎn)P(3,6)在已知圓上，將它視為“點(diǎn)圓”：

(X-3)2+3-6)2=0,

故可建立圓系方程

x2+y2-4x-8y+15+2[(x-3)2+(y-6)2]=0

???所求圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(5,6),代入上述方程，解得

2=—2

故所求圓的方程為x2+〉2_8x-16y+75=0

噩在求與已知直線(xiàn)或已知圓相切于某一已知點(diǎn)的圓

的方程時(shí)，把切點(diǎn)視為“點(diǎn)圓”，并運(yùn)用圓系方程求解,

是一個(gè)重要的方法和技巧。

例13：求證：OC]：(》-6尸+(y+2)2=16與。C2：

(x-4)2+(y—2>=4在同一交點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直。

點(diǎn)闞利用圓的幾何性質(zhì)證明，即證交點(diǎn)處的一圓的半

徑與另一圓在此處的半徑垂直。

噩設(shè)兩圓交于點(diǎn)A、B,連C1A、C2A,

:|。(2i=J(6—4尸+(—2—2>=病,|c,AI=4,IC2A|二2

22

1c,c2FTGAI+\C2AI，即C}A1C2A

由平面幾何知識(shí)知：C|A所在直線(xiàn)是。3的切線(xiàn),

C2A所在直線(xiàn)是。C的切線(xiàn)，

???。。與Oq在交點(diǎn)A處的切線(xiàn)互相垂直。

同理可證：。&與。C2在交點(diǎn)B處的切線(xiàn)互相垂

直。

總置本題利用了圓的幾何性質(zhì)，思路清晰、明快。可

見(jiàn)，認(rèn)真審題，充分利用圖形的幾何性質(zhì)，有效地實(shí)

施命題轉(zhuǎn)換，尋找證題思路是十分重要的，這也是能

力的體現(xiàn)。

22

例14：已知圓Cl:x+y+2x-6y+l=0,圓

2

C2：x+/-4x+2y-ll=0,求兩圓的公共弦所在的直線(xiàn)方程

及公共弦長(zhǎng).

點(diǎn)闞因兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)圓方程，聯(lián)立方

程組，消去一項(xiàng)、V項(xiàng)，即得兩圓的兩個(gè)交點(diǎn)所在的

直線(xiàn)方程，利用勾股定理可求出兩圓公共弦長(zhǎng).

噩設(shè)兩圓交點(diǎn)為4%,凹)、B(x2,y2),則48兩點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)

足方程組

x2+y2+2x-6y+1=0,(1)4日

,,，⑴-(2)倚3x-4y+6=0?

x2+y2-4x+2y-ll=0,(2)

因?yàn)椋珹、8兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程，

所以，3x.4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線(xiàn)方程.

易知圓〈的圓心(-1,3),半徑r=3.

又G到直線(xiàn)的距離為

1-1x3-4x3+61所以,

心+㈠尸

AB==2業(yè)-令等即兩圓的公共弦長(zhǎng)為三.

息組本題較為復(fù)雜,要討論的情況比較多，解題過(guò)程

中要注重分析.

例15:求過(guò)兩圓f+舊+6工_4=0和f+y2+6y_28=o的交點(diǎn)，

且圓心在直線(xiàn)x-y-4=0上的圓的方程.

點(diǎn)以所求圓圓心是兩已知圓連心線(xiàn)和已知直線(xiàn)的交

點(diǎn)，再利用弦心距、弦長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系求圓半徑

（法一）可求得兩圓連心線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為

x+y+3=0?

由廠(chǎng)':=：得圓心4，-"

x+y+3=0,22

利用弦心距、弦長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系可求得公共弦長(zhǎng)

d=底，所以，圓半徑

所以，所求圓方程為。一^尸+⑶+（尸=?,

即+J-%+7y-32=0

（法二）設(shè)所求圓的方程為x2+y2+6x_4+〃x2+y2+6y_28）=0

6624+28/1

即尤2+/+-----x-\-------y-=--0--------

1+21+41+2

故此圓的圓心為(-3,=),它在直線(xiàn)x-y-4=0上，所

1+21+2

以一二+±—4=0,所以%=-7.

1+21+2

所以所求圓方程為爐+y2T+7>-32=0

總留“解法二”中設(shè)出的經(jīng)過(guò)兩已知圓交點(diǎn)的圓方程

叫做經(jīng)過(guò)兩已知圓的圓系方程.

/

四、空間直角坐標(biāo)系

1、定義：

如圖，OABC—DzAzB，C是簞位

正方體，以。為原點(diǎn)分別以射線(xiàn)0A,

0C,0)的方向?yàn)檎较颍跃€(xiàn)段

0A,0C,0D'的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立

三條數(shù)軸：X軸、Y軸、Z軸。這

時(shí)我們說(shuō)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)圖(1)

系0—xyzo其中點(diǎn)。叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，

x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸。通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平

面叫做坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為xOy平面、yOz平面、zOx

平面。R

說(shuō)明：右手直角坐標(biāo)系。(I

2、空間直角坐標(biāo)系的畫(huà)法：斜J/8.......比^

3、空間一點(diǎn)坐標(biāo)M(x,y,z)其41Px叫做點(diǎn)謂而

橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),圖(2)

z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。

4、空間直角坐標(biāo)系的卦限：

類(lèi)比平面直角坐標(biāo)系有四個(gè)象限及點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化，啟發(fā)學(xué)生想象，坐標(biāo)平面把空間

分成八部分，介紹空間直角坐標(biāo)系的卦限的概念，并

歸納總結(jié)空間點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)變化。

5、空間的點(diǎn)M用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y,z)表示：

設(shè)點(diǎn)M為空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別

作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、

z軸于P、Q、R點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P、Q、R在x軸、y軸、z軸

上的坐標(biāo)分別是x、y和z,那么點(diǎn)M就有唯一確定的

有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)；反過(guò)來(lái)，給定有序?qū)崝?shù)組(x,y,

z),可以在x軸、y軸、z軸上依次取坐標(biāo)為x、y和

z的點(diǎn)P、Q和R,分別過(guò)P、Q和R點(diǎn)各作一個(gè)平面,

分別垂直于x軸、y軸、z軸，這三個(gè)平面的唯一的交

點(diǎn)就是有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)確定的點(diǎn)

6、特殊點(diǎn)的規(guī)律:在xOy平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)都是零,

在yOz平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是零，在zOx平面上的

點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是零；在Ox軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)

都是零，在Oy軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都是零，在

Oz軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是零。

7、注意：

(1)、在建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz時(shí)，要注意使

ZxOy=NxOz=135。，,且使y軸和Z軸的單位長(zhǎng)度

相同，x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸(或z軸)的單位長(zhǎng)度

的一半。

(2)、在確定給出空間圖形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，關(guān)鍵是

能根據(jù)已知圖形，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，以便

于計(jì)算所需確定的點(diǎn)的坐標(biāo)。

(3)、對(duì)于空間直角坐標(biāo)系中的問(wèn)題，要善于用類(lèi)比

于平面直角坐標(biāo)系中相關(guān)問(wèn)題的求解方法解決。

典型例題:

例1：在空間直角坐標(biāo)系中，作『

出點(diǎn)M(6,-2,4)oM(6,24：

-點(diǎn)---撥-點(diǎn)M的位置可按如下步驟4/Or

作出：先在X軸上作出橫坐標(biāo)是Z

6的點(diǎn)根，再將根沿與y軸平行

的方向向左移動(dòng)2個(gè)單位得到點(diǎn)心，然后將外沿與z

軸平行的方向向上移動(dòng)4個(gè)單位即得點(diǎn)Mo

解劄M點(diǎn)的位置如圖所示。

總緬對(duì)給出空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)作出這個(gè)點(diǎn)、給

出具體的點(diǎn)寫(xiě)出它的空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)這兩類(lèi)

題目，要引起足夠的重視，它不僅可以加深對(duì)空間直

角坐標(biāo)系的認(rèn)識(shí)，而且有利于進(jìn)一步培養(yǎng)空間想象能

力。

例2：已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)

為10,試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各頂點(diǎn)的

坐標(biāo)。

點(diǎn)闞先由條件求出正四棱錐的高，再根據(jù)正四棱錐的

對(duì)稱(chēng)性，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系。

譴?正四棱銖P-ABCD的底面邊長(zhǎng)為4,側(cè)棱長(zhǎng)為10,

，正四棱錐的高為2庖。

以正四棱錐的底面中心為原點(diǎn)，平行于AB、BC

所在的直線(xiàn)分別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，則正四棱錐各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,

一2,0)、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,

2V23)o

噩在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是能根據(jù)已知圖形，建

立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，從而便于計(jì)算所需確定的

點(diǎn)的坐標(biāo)。

例3：在長(zhǎng)方體AB。。-A圈GR中，AB=12,AD=8,他=5,

試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。

解答|以A為原點(diǎn)，射線(xiàn)AB、AD、⑨分別為x軸、y軸、

z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)、

B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、A(0,0,5)、

B

}(12,0,5)、c,(12,8,5)、Dt(0,8,5)。

例4：在空間直角坐標(biāo)系中，求出經(jīng)過(guò)A(2,3,1)且平

行于坐標(biāo)平面yOz的平面&的方程。

點(diǎn)投|求與坐標(biāo)平面yOz平行的平面的方程，即尋找此

平面內(nèi)任一點(diǎn)所要滿(mǎn)足的條件，可利用與坐標(biāo)平面

yOz平行的平面內(nèi)的點(diǎn)的特點(diǎn)來(lái)求解。

解答1?.?坐標(biāo)平面yOz±x軸，而平面"與坐標(biāo)平面yOz

平行，

「?平面a也與X軸垂直，

???平面a內(nèi)的所有點(diǎn)在X軸上的射影都是同一點(diǎn),

即平面a與X軸的交點(diǎn)，

???平面a內(nèi)的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相等。

???平面a過(guò)點(diǎn)A(2,3,1),???平面a內(nèi)的所有點(diǎn)的

橫坐標(biāo)都是2,

，平面a的方程為X-2o

誦對(duì)于空間直角坐標(biāo)系中的問(wèn)題，可先回憶與平面

直角坐標(biāo)系中類(lèi)似問(wèn)題的求解方法，再用類(lèi)比方法求

解空間直角坐標(biāo)系中的問(wèn)題。本題類(lèi)似于平面直角坐

標(biāo)系中，求過(guò)某一定點(diǎn)且與X軸（或y軸）平行的直線(xiàn)

的方程。

例5：如圖，在長(zhǎng)方體OABC—DA'B'C'中,

|0A|=3,|0C|=4,lOD7|=2寫(xiě)出僦，C,A',,

Oc'

四點(diǎn)的坐標(biāo)。AK7

解答D'在Z軸上，且|0D'|二2萬(wàn)./c

/AB

它的豎坐標(biāo)是2,它的橫坐標(biāo)僅與

縱坐標(biāo)y都是零，所以點(diǎn)U的

坐標(biāo)是（0,0,2）

同理點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,4,0）

點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（3,0,2）

點(diǎn)B，在xOy平面上的射影是B,因此它的橫坐標(biāo)x

與縱坐標(biāo)y同點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y相同。在xOy

平面上，點(diǎn)B橫坐標(biāo)x=3,縱坐標(biāo)y=4。點(diǎn)B'在z軸

上的射影是〉，它的豎坐標(biāo)與點(diǎn)6的豎坐標(biāo)相同，

點(diǎn)D'的豎坐標(biāo)z=2。所以點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（3,4,2）。

例6：結(jié)晶體的基本單位稱(chēng)為晶胞如圖是食鹽晶胞的

示意圖。其中色點(diǎn)代表鈉原子，黑點(diǎn)代表氯原子。建

立空間直角坐標(biāo)系0—xyz后，試寫(xiě)出全部鈉原子所在

位置的坐標(biāo)。

解答I把圖中的鈉原子分成上、中、『

三層來(lái)寫(xiě)它們所在位置的坐標(biāo)。

下層的原子全部在xOy平面上/「

所以這五個(gè)鈉原子所在位置的」—E

坐標(biāo)分別為：(0,0,0),(

/

(1,0,0),(1,1,0)x

(0,1,0),(1,1,0)

22

中層的原子所在的平面平行于xOy平面,

與z軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)為1,所以這四個(gè)

2

鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別是(。，0,；)，

22

(1,L1),(L1,1),(0,1,1)

222222

上層的原子所在的平面平行于xOy平面，與z軸交點(diǎn)

的豎坐標(biāo)為1,所以這五個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分

別是(0,0,1),

(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(1,1,1)。

22

第四章《圓與方程》單元測(cè)試題

一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50

分)

1.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圓心為C(2,2),半徑

為2的圓，則a、b、c的值

依次為

(A)2、4、4；