總題數：22題

第45題（2006年普通高等學校夏季招生考試數學（理工農醫類）上海卷）

題目

21.已知有窮數列｛八｝共有2小項（整數上學2）,顫=2.設該數列的前衣項和為鼠，且=

（“一1）$*+2（附=1,2,…，2左一1）,其中常數a>1.

（1）求證：數列（a*1是等比數列；

aaa

（b\h^°&2（l2',?）/Jx

（2）若2=22kT,數列t%j滿足％=%=1,2,—,2左）,求數列t%j

的通項公式；

3333

⑶若⑵中的數列｛.｝滿足不等式I瓦一2+他一2I+…+|%-1—2+|%-2IW4,

求上的值.

件案

—怨+1_C

解⑴即+1=（a—版+2,則即=（a-+2,兩式相減，得外，乂

%=2,劭=2a）

.?.數列｛“X｝是首項為2、公比為a的等比數列。

',、L竽1,”L1t?-i

-log20i電…即）=-1"22a=1+^-log2a=1+；^--

hnnJ22k

⑵4=v7,

3=1,2,…，2片）o

1

（3）由（2）知，數列{是首項為1、公差為%—1的等差數列。

3_2（?-^）-13人3

N————7-----「b>—b<一

又22儂-1）,爐“+1時，"2；%a時，*2o

3333

...?瓦一2+1%—2?_|—1_a_1_2+|電_2

（=（%「瓦）+（%2一3）+…+⑸￡一”）

〃.上V4=/-於+4M0=卜14-2的,4+24］=0{23,4,5,6,7}

2^t-l\k>2,keZ

第46題（2006年普通高等學校夏季招生考試數學（理工農醫類）遼寧卷（新課程））

題目

-<2X3+蘇+cx+d

21.已知函數f（x）=3，其中a,b,c是以d為公差的等差數列，且a>0,d>0.

空n

設質知1（X）的極小值點，在［1-a'］上」（X）在勺處取得最大值，在電處取行取小值,

將點5J（X。）），?，/'（々））,（巧，/'（心））依次記為AB.C.

⑴求X,的值

（II）若ZABC有一邊平行于x軸，且面積為2+、月，求a,d的值

答案

本小題考查函數的導數，函數極值的判定，閉區間上二次函數的最值，等差數列等基礎知識的綜合運用，

考查用數形結合的數學思想分析問題，解決問題的能力.

(I)解：V2b=a+c.

f'(x)=ax2+2bx+c=ax2+(a+c)x+c=(x+1)(ax+c).

C

令伊(x)=0,得乂=-1,或*=-以

Va>0,d>0,

AO<a<b<c,

CC-

—>14--<-l.

???aa

c

z

當a<X<-1時，f(x)<0,

當X>-1時，ff(x)>0,

所以￡?)在乂=T處取得極小值，即

Xo=-1.

(II)解法一：Vf*(x)=ax^+2bx+c,a>0.

b

???f’(X)的圖象開口向上，對稱軸方程是x=-a'

b2bbb

1(1--)-(—)l<|0-(—)|.

由a>l,知aaa

竺。

.?.f'(X)在［i-a］上的最大值為f'(O)=C,即

Xi=0.

bb2b

,0

又由a>1,知-ae[1-a］，

bb

.?.當x=-a時，f'(x)取得最小值『(-a)=-a'即

b

x產-a.

1

-a.

,rf(xo)=f(-i)=-3

1bd2

-a.——

.-.A(-1,-3),B(o,c),c(-aa).

由aABC有一條邊平行于x軸，得AC平行于x軸，所以

1d2

--a=一——,

3a即

a'-3d2.①

又由aABC的面積為2+J),得

：(-1+2)?(C+：)=2+四

2a3

利用b=a+d,c=a+2d,得

-d+—=2+43.

3a②

聯立①，②可得

d=3,a=3

解法二：Vfz(x)=ax2+2bx+c,a>0,

2b

f'(i-a)=0,f'(0)

空,。

由c>0知『(x)在［1-a］上的最大值為f'(0)=c.即

xi-0.

b,b26c

->1,-—,0

由a知-ae[i-a].

bb

.?.當X=-a時伊(x)取得最小值f'(-a)=-a'即

b

X2=一一-

a

1

-a.

Vf(xo)=f(-i)=-3

1bd2

-a——

.*.A(-1,-3),B(0,c),C(-?,-以).

由AABC有一條邊平行于x軸，得AC平行于x軸，所以

1d1

一a—

-3二-以，即

界3d3①

又由AABC的面積為2+VJ,得

利用b=a+d,c=a+2d,得

-t/+—=2+73.

3a②

聯立①，②可得

d=3,a=3百.

第47題（2006年普通高等學校夏季招生考試數學（理工農醫類）福建卷（新課程））

題目

(22)已知數列"J滿足°】=L%+1=2%+1(%€“)?

（I）求數列｛"J的通項公式;

⑺若數列舊滿足壯甲」…43=（%+l）“5eN*）

,證明:

收』是等差數列

巳一1<2+&+...+反<286")

(IID證明：23%%*2

答案

木小題主要考查數列、不等式等基本知識，考查化歸的數學思想方法，考查綜合解題能力。

⑴解：?.4+廣2々+叱"）,

。*+1+1=2(%+1),

{%+1}是以的+1=2

為首項，2為公比的等比數列。

/+1=2”.

即％=22—1伽6獷).

(II)證法一：

4-1行】..42=(%+1)%.

4伍也+???+&Z=2叫

2皚+%+...+4)-&]二*，

2昭+3+…+4+4+1)-(％+1)]=5+叫+i

②—①，得2(如-1)=5+D4+1-血,

即(附一D4+1一*&+2=0,

叫+2-8+DZ+1+2=0.

③―④，得**+2-2*/*1+叭=0,

即4+2-次H+4=。,

這+2-&+1=

“9J是等差數列。

證法二：同證法一，得

(%一%+1一曲+2=0

設為=2+d(de&)，下面用數學歸納法證明從=2+(n-X)d.

(1)當*=L2時，等式成立。

(2)假設當"=網上之2)時，線=2+3—l)d,那么

ir2k2

bk+1=-—bk---=--[2+(k-X)d]--—=2+[(k+X)-l]d.

k-1k-lk-1k-\

這就是說，當典=左+1時，等式也成立。

根據⑴和⑵，可知4=2+Q-l)d對任何%eM都成立。

b*+i—b*=d,,.{L}

?；iJ是等差數列。

（III）證明：N

:生+”+...+?土

“2電%+12

線2*-1111111『

..以+12卬一122（2川一1）23.2*+2*-2-23,2''''…'

2二＜?+竺+...+2＜々屐獷）.

23a2%%+i2

第48題(2006年普通高等學校夏季招生考試數學(理工農醫類)安徽卷(新課程))

題目

=

、\a12

(21)數歹U比麻J的的n項和為Sn,已知乙,Sn=n"an-n(n~l),n=l,2…

(1)寫出s“與&-1的遞推關系式(n^2)，并求s“關于n的表達式：

￡0)=~x+\瓦=￡R)

(II)設J"%'*求數列｛b,J的前n項和T.

答案

本小題主要考查等差、等比數列的基本知識，考查分析問題和歸納推理能力。

(1)解法1：當然之2時，'*=-SQ-附("1),即

(/-1碣=/s”i+〃5-D,

Sx=^-Sxl+-

?-1%+1①

149

S1=。10=］應=不

已知2,由遞推關系式可得

由此，可猜想：“%+1②

下面用數學歸納法證明②式：

e1I21

M=以］—————

證明：(i)當力=1時，由條件2,又②式的右邊等于1+12,所以②式成立.

Sk=-------

(ii)假設*=化時，②式成立，即江+1

則當然=左+1時,

(上+1)2(無+1_(發+1)2，上+1_依+1)2

(十+1)2_［，T+2~(k+V)2-19^+1k+2~k+2

故當n=k+1時，②式也成立。

由(i),(ii)知，對一切正整數n,②式成立.

解法2：當n>2時，一1_1)一”(%T),

—1

J!r?-1=

于是??-1.

M｝是首項為1、公差為1的等差數列。

因而n=1+(n-1)=n,故力+1.

力。)=>"2-41-1凡?三,

(n)解：：?

,,X?+1/*

丸=力5)=——S6=——?―-p=np,

nn?+1

.喜=4~=衣+202+???+縛x

③

當p=0時，備=0；

當P=1時，

方=1+2+…+〃=也土攵；

2

當P0°，l時、在③式兩邊同乘以p,得到

pT*=p2+2P3+…+(%—+/p*+l.

2Kx+1

(1—p)Tx=p+p+/4-...+p-呼＞**=—)—np

得1_P

p(l-px)npn+x

(l—p)21-p

綜上所述:

n(n+1)

P=l，

-2~，

p(l3)時"

,pWl.

.(If\-P

第49題(2006年普通高等學校夏季招生考試數學(理工農醫類)江西卷(新課程))

題FI

3%外-1

22.已知數列｛a“｝滿足：a1=2,且a?=2"*-l+*(n>2,neN").

(1)求數列｛a0｝的通項公式；

(2)證明：對,切正整數n,不等式&,a?....a“V2?n!恒成立.

答案

解:

(1)將條件變為：3以因此，｛『%｝為一個等比數列,

111n1

—=-——=—

其首項為1-，3,公比為3,從而-a*3”,

據此得a“=3*-1(n2l).......①

n\

(2)證：據①得，由，色…以二553.

為證aia2--a.<2?n!,

顯然，左端每個因式皆為正數，先證明，對每個n￡N*,

用數學歸納法證明③式：

1°n=l時，顯然③式成立,

2°設n=1<時\③式成立，

則當n=k+l時,

(1-刎臺……](1-/)

即當n=k+1時，③式也成立.

故對一切nGN*,③式都成立.

故②式成立，從而結論得證.

第50題(2006年普通高等學校夏季招生考試數學(理工農醫類)山東卷(新課程))

題目

22.

己知上=2,點⑸,ae)在函數f(x)=x?+2x的圖象上，其中n=L2,3,….

(I)證明數列｛1g(1+an)｝是等比數列;

(II)設Tn=(l+a])(1+&)…(1+aJ，求Tn及數列｛&｝的通項;

(III)記b..=a?%+2,求數列｛b｝的前n項和s“并證明s?+3看-1

答案

解：(I)由已知Hivl—3n+2cln,

.'.an-l+1=(Qn+1)2

Va!=2

/.an+l>l,兩邊取對數得：

lg(l+an?i)=2lg(l+aa),

1g(1+4+1)—2

即lg(l+4)

???{lg(l+aj}是公比為2的等比數列.

(II)由(I)知lg(l+an)=2nl?lg(l+ai)

=2n1?1g

=lg3

.,.Tn=(l+ai)(l+a2)…(1+a)

202122

=3?3?3..........3

二3

由（*）式得an=3-1.

2

(III)Val0i=an+2a?

??a.?+i=an(an+2)

1

?)

1X?%+2

----1---=---1-----2--

+2以n%+i

.?.Sn=bi+bz+…+bn

.111111、

a

=2l%叼電4%+]

11

=2(%%+1)

T-12"

Van=3-1,&=2,a“+i=3-1

2

；?Sn=l-

又修門

=1.

.?5+34一1

第51題（2006年普通高等學校夏季招生考試數學（理工農醫類）陜西卷（新課程））

題目

（20）已知正項數列（%＞，其前國項和應滿足1°工="/+5%+6,且%,%,成等比數列，求

數列的通項”水

答案

解:

??T0S產需+5a+6,①

2

/.10aFai+5a2+6,解之得合尸2或4二3.

2+

又10Sn-i=an-i+5a?-26,(n^2),②

2

由①一②得10ah=(afl'—an-i)+5(a,.—aft-i),

(a-a-i_5)=0.

即(an+an-i)nn

?an+a(i-1〉*。,

??Hn-Bn-1—5(n22).

Jja1=3H、J,@二13,@n=73,a1，@2,也不成比數列，aiW3.

當a1=2時，8ir.=72,有a3,二a1a2,

/.ai=2,/.an=5n-3.

第52題(2006年普通高等學校春季招生考試數學(文理合卷)上海卷)

題目

22.已知數列比,a2-,330,其中&…，△是首項為1公差為1的等差數列;

aio,an…,azo是公差為d的等差數列;am,3…，可是公差為一的等差數列(d#0).

(1)若出0=40,求d；

⑵試寫出如關于d的關系式，并求故的取值范圍；

(3)續寫己知數列,使得。以…，是公差為cf的等差數列，……,依次類推，把己知數列推廣為無窮

數列.提出同(2)類似的問題，［(2)應當作為特例］,并進行研究，你能得到什么樣的結論？

答案

22.

［解］

(1)aio=lO,a2o=10+10d=40,Ad=3

(2)a?=a2o+lOd=lO(l+d+d2)(dWO)

23

a?,=10[(d+2)2+4],

15

當dC(-8,o)U(0,+8)時，a3<iG[2,+8).

(3)所給數列可推廣為無窮數列｛a,｝,其中a”a?…，是首項為1公差為1的等差數列,

當n》l時，數列a.,am,…，aw向，是公差為d"的等差數列.

研究的問題可以是:試寫出a%“,關于d的關系式,并求a*,”的取值范圍

研究的結論可以是：由a?=a?*10d3=10(1+d+d2+d3),

依次類推可得

810^+1/=10(l+d+d2+...+1^)=「10-----------(#1),

\-d

<

?10(n+l)(d=l)

當d〉0時，的取值范圍為(10,+8)

第53題(2005年普通高等學校夏季招生考試數學(理工農醫類)全國卷I(新課程))

題目

(19)設等比數列同｝的公比為9,前n項和凡>°伽=1,2,…)。

(I)求？的取值范圍；

_3

「X=2及+2—478+1/jL]干rrrrt

(II)設2，記的前n項和為八，試比較外和與的大小。

答案

(19)解：(I)因為｛a“｝是等比數列，S〉0,可得a尸S00,qWO.

當q=l時，&=nai>0;

當產1時，00,

1-4

即>0,(%=1,2,…)

i-q<o,

上式等價于不等式組:，3=1,2,…)①

L1一中<口，

-1—q>0,

或1(n=l,2,...)②

11一中>0.

解①式得q>l；解②，由于n可為奇數、可為偶數，得一l<q<l.

綜上，q的取值范圍是(-1,0)U(0,+8).

3

(II)由5=^+2—5樂+1得

2323

bnf(q--q),Tn=(q--q)Sn.

3

于是Ik-^=6^x(^--q—1)

1

=Sjq+2)(q—2).

又因為網>0,且一l<q<0或q>0,所以，

當一l<q<一1或q>2時，兀一%>0即

當一g<q<2且q#0時，0-%<0,即

—

當q=；，或q=2時，Tn—Sn=0,即0=%.

第54題(2005年普通高等學校夏季招生考試數學(理工農醫類)全國卷H(新課程))

題目

1

(18)已知｛%｝是各項均為正數的等差數列,Igai、Iga?、Iga,成等差數列，又b產,產1,2,3….

(1)證明｛5｝為等比數列；

1

(11)如果無窮等比數列｛b“｝各項的和S=3，求數列｛a.｝的首項a,和公差d.

(注：無窮數列各項的和即當n-8時數列前n項和的極限)

答案

(18)(I)證明:

?.Tga】、lg或、lgQ成等差數列，

.*.21ga2=lgai+lgai,B|Ja=a>?ai.

等差數列｛aj的公差為d,則

(ai+d)2=ai(ai+3d),

這樣d2=aid.

從而d(d—ai)=O.

⑴若d=0,則瓜｝為常數列,相應｛bj也是常數列.

此時｛hj是首項為正數，公式為I的等比數列.

(ii)若d=a】WO,則

--1----1----1---

aT=a,+(2"-l)d=2nd,b.=%”d2.

這時｛bn｝是首項b尸2d,公比為2的等比數列.

綜上知，｛b“｝為等比數列.

（II）解：

如果無窮等比數列｛bn｝的公比q=l,則當n-8時其前n項和的極限不存在.

2j_

因而d刊力0,這時公比q=2,bi=2d.

這樣，瓜｝的前n項和SF2,

■Y力

111

limlimI*--3

則S=*T9Sn=*T92=d.

J

由S=3得公差d=3,首項ai=d=3.

第55題（2005年普通高等學校夏季招生考試數學（理工農醫類）全國卷IH（新課程））

題目

3

cosB=一

19、中，內角4B、C的對邊分別是以b、c,已知爾氏c成等比數列，且4

（I）求cot/+cotC的值

BABC=-

(II)設2,求a+c的值。

答案

由=加及正弦定理得sin?8=sin』sinC

11

cot-44-cotC=---------1-

于是tan5tanC

cos-4cosC

~:+--------

sinAsinC

sinCcosA+cosCsin4

=sin4sinC

sin(一+C)

sin2B

sin5

=?2D

sinB

1

sinB

中4打

BABC=-cacos5=—cos5=-2

(II)由2得2,由4可得=2,即占=2

由余弦定理/=，+，-2ac?cos8得

a24-c2=82+2ac?cos5=5

(a+c)2=d2+1+2?c=5+4=9

.?.a+c=3

第56題（2005年普通高等學校夏季招生考試數學（理工農醫類）全國卷IH（新課程））

題目

20、在等差數列｛%｝中，公差dwO,的是,與4的等比中項，已知數列"1、。3'%、"…、氣'…

成等比數列，求數列｛融｝的通項融

答案

20.解：依題設得知=，+5-1”,=

2

...（/+&）=的（/+34，整理得/=3

???d=0，???d=%

得a*=閥4

所以，由已知得43d，&???收義???是等比數列

由，。0,所以數列1，'65?,?加?…也是等比數列，首項為1,公比為T,由此

得占=9

等比數列｛k.｝的首項用=9,公比q=3,所以匕,==*,=1,2,3,.…）

Jr=」+i

即得到數列｛k?｝的通項為—>

第57題（2005年普通高等學校夏季招生考試數學（理工農醫類）北京卷（新課程））

題目

1

…15%〃為偶數

（19）設數列｛4｝的首項期也#一，且%+i=<]

M為奇數

I4

記久=%-「（，

月=1,2?3,

（I）求。2，03；

（II）判斷數列。，是否為等比數列，并證明你的結論

(III)求+5a+%+…+d).

XT9

答案

22

(19)解：⑴a2=a,+4=a+4,

221

as=232=2a+8；

222212.

(II),/&=a+4=2a+8,所以a=2a*=4a+16,

22212

所以異a—4=a—4片o,b尸4=2(a—4),

221

6)=a-4=4(a—4),

2

猜想：｛b,｝是公比為2的等比數列?

證明如下：

2

因為"1=出”-4

22

=2甌一4

22

2(甌-1+4)—4

22

2（晶百1-4）

2

=2b?,惘)

11

所以｛4｝是首項為a-4,公比為2的等比數列?

4Q-呼)瓦i

lim(d+&H------Pi,.)=lim--------—=—=2(a--)

?->CDM->?11'4

1——1-----

(III)22

笫58題（2005年普通高等學校夏季招生考試數學（理工農醫類）天津卷（新課程））

題目

18.已知

%=￡+以'-%+以'一++8”(n6N*,a>0,Z>>0)

(I)當a=B時，求數列的前n項和工：

lim乜

(II)求%

答案

18.(I)解：當a=b時，Un=(n4-l)a",這時數列｛u7的前n項和

Sn=2a+3a2+4a3+???+na,,tl+(n+1)a①

①式兩邊同乘以a,得

JJ,nn，1

aSn=2a+3a+4a+***+na+(n+l)a②

①式減去②式，得

(1—a)S,.=2a+a2+a3+,?,+an—(n+Da*.

41-1)

若aWl,(1—a)Sn=1一?—(n+l)an，,+a

以_(加+1)/"

q_(l-a)21-4

On-

(n+1)以"+，—(%+2)以a—以2+2a

=(1-丁

若a=l,$尸2+3+…+n+(n+l)

雙力+3)

=~2.

(II)解:由(I),當a=b時，UF(n+l)a",則

11m乜11m(f1am義+1)

/T9加廣JT9n=a

nn-1nr,

當aWb時，un=a+ab+,,,+ab+b

bbb

=a"[1+3+(?)2+???+(a)n]

第59題(2005年普通高等學校夏季招生考試數學(理工農醫類)L海卷)

題目

20、假設某市2004年新建住房面積400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房。預計在今后的若干年

內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8吼另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比匕一年增

加50萬平方米。那么，到哪一年底，

(1)該市歷年所建中低價層的累計面積(以2004年為累計的第一年)將首次不少于4780萬平方米？

(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?

答案

20.［解］(1)設中低價房面積形成數列E},由題意可知瓜}是等差數列.

其中a,=250,d=50.

n(n-1)

貝ijS0=250n+2X50=25n2+225n,

令251?+22511》4750,

即n、9n—19020,而n是正整數，.,.n>lO.

.?.到2013年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米.

(2)設新建住房面積形成數列｛b0｝,由題意可知｛b.｝是等比數列。

其中匕=400,q=1.08,

則b“=400?(1.08)「

由題意可知a.,>0.85b”,

有250+(n-1)?50>400?(1.08)1,-1?0.85.

由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數n=6.

.,.到2009年底，當年建造的中低價房的面積點該年建造住房面積的比例首次大于85%o

第60題(2005年普通高等學校夏季招生考試數學(理工農醫類)浙江卷(新課程))

題目

1

20.設點4(/,0),)和拋物線,：/=3+&*+&(/?郎*),其中a”=-2-4〃-2*7,

?由以卜方法得到：

M=L點月(%，2)在拋物線Ci：上點Ai(xi,0)到K的距離是4到G上點的最短距離,…,

點與+1(4+1'2)在拋物線以：y=V+&x+4上，點4(4,0)到月+1的距離是從到,上點的

最短距離.

(I)求&及6的方程.

(ID證明一打是等差數歹U.

答案

20.解(I)由題意，得

Ai(1,0),Ci：y=x2—7x+bi,

設點P(x,y)是G上任意一點，

則|AF|=J(X_l)2+y2

令f(x)=(X—1)2+(X2—7x+bi)2,

f

則f(x)=2(x-l)+2(x-7x+b1)(2x-7)

由題意，得

f

f(x2)=0,

2

即2(x2-l)+2(x2-7x2+bi)(2x2-7)=0.

又P2(X2,2)在G上

2—X2--7x2+bi,

解得X2=3,bi=14,

故G方程為y=x?—7x+14

(II)設點P(x,y)是C上任意一點，

則I4PU6二鏟萬

222

令g(x)=(x—xn)+(x+anx+bn),

2

則g'(x)=2(x—Xn)+2(x+anX+bn)(2x+an).

由題意，得

g'(Xn+1)=0

即2(Xn+LXn)+2(x"+anXMl+bn)(2Xn+l+an)=0

又?:2n=XnH2+anXntl+bn

A(x"H—Xn)+2"(2xn-i+an)=0(n^l).

f,

即(l+2"")Xm-Xn+2an=0(*)

下面用數學歸納法證明x?=2n-l

①當n=l時,xi=l,等式成立。

②假設當n二k時，等式成立,即Xk=2k—L

則當n=k+l時，

由(*)知(1+2.)Xk“一Xk+2kak=0

1

TJCT

又ak=-2—4k—Z,

凝—2"以E

2k+1

.?.X*1+2川

即當n=k+l時，等式成立,

由①②知，等式對n￡N*成立。

???極力是等差數列。

第61題（2005年普通高等學校夏季招生考試數學（理工農醫類）福建卷（新課程））

題目

22.已知數列｛&｝滿足所4我們知道當a取不同的值時,得到不同的數列,如當疔1時，得到

1,212，..;當。=-!時得到有窮數列：-±-1,0.

(1)求當a為何值時a,=0；

7—(?e2/+)

(II)設數列｛b“)滿足b尸一1,b?.,=^-1,求證a取數列｛b.｝中的任一個數，都可以得到一

個有窮數列｛a.｝；

3

—<%<2(%>4)

(III)若2,求a的取值范圍.

22.(I)解法一:

解法二:.1+,=0,..=T?

a3

va3=1+—,a2a2=1+―,0=一2.故當1=-2口寸4=0.

==

(1/)解法-1,^+1-^—，-'久=j+L

a取數列｛&｝中的任一個數不妨設a=，.

,,1,1,

■:a=b*,..=1■1=1+"j-=占*-「

七九

a3=\-\----..1+--=bn_2.

,1,1,,

.,.ax=1-1------=1-1-----=瓦=—1.

斯-1b2

??a”+i=

故a取數列｛b0｝中的任一個數，都可以得到一個有窮數列｛4｝

11

L_IL

解法二：??1尸一1,*二4一］，???bn=4+l+1

工

當a二bi時,@2=1+1=0.

1

當a=b?時，a2=l+"a=bb.*.a3=0.

111

22

當a=b3時a2=l+“3=b2,/.ai=H^=1+^=bi,ai=0.

,般地，當a二bn時，a*0,可得?個含有n+1項的有窮數列ai,a2,a%…，an+i.

下面用數學歸納法證明：

①當n=l時，a=b”顯然az=0.得到一個含有2項的有窮數列a)?a2.

②假設當n=k時，a=bk,得到一個含k+1項的有窮數列a?,a2,a3,―,加.

其中a*0.

則n=k+l時，a=bku,

1

.*.a2=l+^+1=bk.

由假設可知，可得到一個含有k+1項的有窮數列電…,a*%其中as=O.

當n=k+l時，可得到一個含有k+2項的有窮數列aha2,的…,ak.2,其中^=0.

由①②知，對一切nGN,命題都成立。

33J_

(III)要使2<a“<2,即2+<2,

Al?AMd<2.

3

要使2<a?<2,當且僅當它的前一項a,r滿足l<a〈Ai<2.

3

V(2,2)2(1,2),

33

只須當a,e(2,2)時，都有a.e(2,2)(n35).

3a+233a+2

由a*=2a+l,得2V2a+1<2.

33a+21

一<------<2>"2，

22a+1<

3a+2

<2,a>0或a2,

解不等式組12a+1得I

故a>0.

第62題(2005年普通高等學校夏季招生考試數學(理工農醫類)湖北卷(新課程))

題目

」+工+…+1>L[log/]，其中%

n

22.已知不等式23?2為大于2的整數,[log2卻表示不超過log2

的最大整數.設數列的各項為正，且滿足

網=毆>0),即<..-,n=2,3,4,…

加+%

2b,一

即<----------------=3,4,5,???

(I)證明2+6[log2?]；

(11)猜測數列S,是否有極限？如果有，寫出極限的值(不必證明)；

1

<一

(01)試確定一個正整數N,使得當附時，對任意b>0,都有5

答案

22.(I)證法1：

八11n+乙”,11

m之2時,0<a*<——...—>.........-=——+-

...當?+^_i%〃外.1%一1?

11111

于是有的—2'。3盯"3'，a*anA~n

所有不等式兩邊相加可得

11111

--——之一+一+…+—

aKna.123n

11lni

-->-[log2?],

由已知不等式知，當n>3時有，%的2

_,,11,1n2+況log?%]

al~b>-->￡+不[。

b2.182%]=-------27.70-------

2b

n

24-6[log2?]

111

—H----1-…+―

證法2：產=23?,首先利用數學歸納法證不等式

b

a*—n=3,4,5,???.

1+/(?)6

(i)當n=3時，

『物3-3b

a-is---------=----------<-------------------=--------------

3+。22_+1-3?出+11+/(2

由a22al

知不等式成立.

(ii)假設當n=k(kZ3)時，不等式成立，即1+1/3屹

依+D%=_______

行飛+1)+歿曰+J(fU畫+]

3+1屹_bb

痣+1)+伏+D/g)方+8=11的)?1*1+/的+1)8

Ar+l即當n=k+l時，不等式

也成立.

b

aK<----------=3,4,5,???.

由⑴、(ii)知，1+

乂由已知不等式得

a*<—/--------=——-——,M=3,4,5,….

1+31%