清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)課件第4講不定積分二匯報人：AA2024-01-25引言不定積分的計算方法特殊函數(shù)的不定積分不定積分的應(yīng)用舉例不定積分的計算技巧與注意事項課后習(xí)題與拓展思考目錄01引言本講內(nèi)容概述010203基本積分公式與積分法則不定積分的計算方法和技巧不定積分的定義與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的定義原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，不定積分的幾何意義不定積分的性質(zhì)線性性質(zhì)、積分區(qū)間可加性、積分常數(shù)性質(zhì)等學(xué)習(xí)目標(biāo)和要求01掌握不定積分的定義、性質(zhì)和基本積分公式02熟練掌握不定積分的計算方法和技巧，能夠解決一些實際問題培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，提高分析問題和解決問題的能力0302不定積分的計算方法湊微分法通過湊微分，將復(fù)合函數(shù)的微分法轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的微分法，從而求出原函數(shù)。三角代換法利用三角函數(shù)的性質(zhì)，將某些根式或復(fù)雜式子轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的微分法，簡化計算過程。倒代換法當(dāng)被積函數(shù)含有分式，且分子分母次數(shù)較高時，可采用倒代換法，降低計算難度。第一類換元法通過變量代換，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個較簡單的函數(shù)，從而求出原函數(shù)。變量代換法歐拉代換法是變量代換法的一種特殊情況，適用于被積函數(shù)含有根式的情況。歐拉代換法第二類換元法列表法將被積函數(shù)和微分函數(shù)分別列成表格，通過交叉相乘并相減的方式求出原函數(shù)。口訣法根據(jù)分部積分的口訣“反對冪指三”，確定被積函數(shù)和微分函數(shù)的順序，從而快速求出原函數(shù)。基本公式法根據(jù)分部積分的基本公式，將被積函數(shù)拆分為兩個函數(shù)的乘積，并分別求出兩個函數(shù)的原函數(shù)。分部積分法03特殊函數(shù)的不定積分有理函數(shù)不定積分的求解方法通過部分分式分解法將有理函數(shù)化為簡單分式的和，再對每個簡單分式進(jìn)行不定積分。典型例題解析例如求解$intfrac{x+1}{x^2+2x+1}dx$，可以先將分子進(jìn)行拆分，再對分母進(jìn)行因式分解，最后利用部分分式分解法求解。有理函數(shù)的不定積分三角函數(shù)的不定積分通過三角函數(shù)的和差化積、積化和差等公式，將復(fù)雜的三角函數(shù)表達(dá)式化為簡單的三角函數(shù)形式，再進(jìn)行不定積分。三角函數(shù)不定積分的求解方法例如求解$intsin^2xcosxdx$，可以先利用三角函數(shù)的倍角公式將$sin^2x$化為$frac{1-cos2x}{2}$，再進(jìn)行不定積分。典型例題解析指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)不定積分的求解方法通過換元法、分部積分法等方法，將指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的表達(dá)式化為可求解的形式，再進(jìn)行不定積分。典型例題解析例如求解$inte^{2x}sinxdx$，可以先利用分部積分法將原式化為$-e^{2x}cosx+2inte^{2x}cosxdx$，再進(jìn)行求解。指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的不定積分04不定積分的應(yīng)用舉例計算平面圖形的面積通過不定積分可以求解由曲線和直線所圍成的平面圖形的面積。求解曲線的弧長不定積分可用于計算平面或空間曲線的弧長。計算空間圖形的體積利用不定積分可以計算旋轉(zhuǎn)體、柱體等空間圖形的體積。在幾何學(xué)中的應(yīng)用計算變力做功在物理學(xué)中，變力做功可以通過不定積分進(jìn)行計算。計算液體的壓力利用不定積分可以求解液體在容器底部或側(cè)壁的壓力。求解物體的運(yùn)動軌跡通過不定積分可以求解物體在受到變力作用下的運(yùn)動軌跡。在物理學(xué)中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，總收益和總成本可以通過不定積分進(jìn)行計算。計算總收益和總成本利用不定積分可以求解邊際效益和邊際成本，進(jìn)而分析企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益。求解邊際效益和邊際成本通過不定積分可以分析市場需求和供給的變化趨勢，為企業(yè)決策提供參考。分析市場需求和供給在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用05不定積分的計算技巧與注意事項換元法將復(fù)雜的不定積分拆分為多個簡單的不定積分。分部積分法有理函數(shù)積分三角函數(shù)積分01020403利用三角函數(shù)的性質(zhì)及恒等式進(jìn)行積分。通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q簡化積分表達(dá)式。通過部分分式分解等方法處理有理函數(shù)的積分。計算技巧總結(jié)忽視定義域在換元時未注意新變量的定義域，導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確。計算失誤在復(fù)雜的計算過程中出錯，如代數(shù)運(yùn)算、求導(dǎo)等。錯誤使用公式對積分公式理解不透徹，誤用或錯用公式。常見錯誤分析熟練掌握基本公式對不定積分的基本公式和性質(zhì)要熟練掌握。多做練習(xí)通過大量的練習(xí)提高計算速度和準(zhǔn)確性。注意檢查在完成計算后，要仔細(xì)檢查每一步，確保沒有錯誤。尋求幫助遇到難以解決的問題時，可以向老師或同學(xué)請教。提高計算效率的建議06課后習(xí)題與拓展思考習(xí)題1求解不定積分∫(x^2+1)/(x^4+1)dx習(xí)題4求解不定積分∫(x^2-1)/(x^4+4)dx習(xí)題3求解不定積分∫sin(x)/cos^2(x)dx習(xí)題2求解不定積分∫x^2e^(x^3)dx課后習(xí)題選講思考題1探討不定積分∫e^(ax)sin(bx)dx的求解方法思考題3研究不定積分∫(sin^2(x))/(1+cos(x))dx的性質(zhì)與求解技巧思考題2討論不定積分∫(x^n)/(1+x^m)dx的求解思路，其中n,m為正整數(shù)思考題4嘗試求解不定積分∫(arctan(x))/(1+x^2)dx拓展思考題自學(xué)參考資料推薦《微積分學(xué)教程》（上