蘇科版數學八年級上學期

期末測試卷

學校班級姓名成績________

一、選擇題（本大題有8小題,每小題3分，共24分）

1.下列標志中，不是軸對稱圖形的是（）

A（H）BCC⑨

2.若等腰三角形的底邊長為6,底邊上的中線長為4,則它的腰長為（）

A.7B.6C.5D.4

3.點（2,-3）關于原點對稱點的坐標是（）

A.（-2,3）B.（2,3）C.（-3,-2）D.(2,-3)

4.在下列各數中，無理數有（）

4,34,弓,我,衿,0

A.I個B.2個C.3個D.4個

5.如果m是任意實數，則點P（m—4,m+1）一定不在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

I'TLX+72>KX+b

6.如圖，直線y=，nr+〃與丁="+。的圖像交于點（3,-1）,則不等式組1一八'的解集是（）

mx,+n<0

C.---WxW3D.以上都不對

mm

7.如圖，若8。是等邊AABC的一條中線，延長BC至點E,使CE=CD=x，連接力瓦則OE的長為（）

A.且xB.2GxC.@xD.瓜

23

8.如圖,正方形ABCD的邊長為10,AG=CH=S,BG=DH=6,連接GH,則線段GH的長為（）

A.2.8B.272C.2.4D.3.5

二、填空題（本大題有8小題,每小題4分，共32分）

9.已知一次函數弘=依+6與%=如+〃的函數圖像如圖所示,則關于％，V的二元一次方程組

kx-y+b=Q,

八的解是.

inx-y+n-0

10.已知4ABC中，AB=17,AC=10,BC邊上得高AD=8,則邊BC的長為

11.在△A8C中，已知AB=15,AC=11,則BC邊上的中線AO的取值范圍是__.

12.化筒：J（—3）2-西+而=

13.如圖，在ABC中，/A=60。,。是8c邊上的中點/ABC的平分線BF交OE于ABC內一點

P,連接PC,若NACP=〃2。，/ABP=〃。,則m,〃之間的關系為

14.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（1,3）,點B的坐標為（2,-1）,點C在同一坐標平面中,

且AA8C是以AB為底的等腰三角形，若點C的坐標是（x,y），則x、y之間的關系為產（用含有x

的代數式表示）.

15.如圖，已知直線小丫=履+4交x軸、），軸分別于點A（4,0）、點、B（0,4），點C為x軸負半軸上一點，過

點C的直線/2：y=〃經過AB的中點尸，點。（r,0）是X軸上一動點，過點Q作QMLx軸,分別交人、

，2于點M.N,當MN=2MQ時,t的值為.

16.如圖,已知點M（-1,0），點N（5肛3m+2）是直線AB：y=-x+4右側一點,且滿足NOBM=/ABN,則

點N的坐標是.

三、解答題（本大題有9小題，共84分）

17.⑴計算：（一卜一四P+病一（3%-9）。一（4+石”（4—6）;

(2)求x值：3(X+3)2=27.

18.如圖,M、N兩個村莊落在落在兩條相交公路A0、80內部,這兩條公路的交點是0,現在要建立一所中

學C,要求它到兩個村莊的距離相等,到兩條公路的距離也相等.試利用尺規找出中學的位置（保留作圖痕

跡,不寫作法）.

19.己知：如圖，點A是線段CB上一點,△A8。、ZkACE都是等邊三角形,與BE相交于點6,4￡與（7。

相交于點F.求證：AAGF是等邊三角形.

20.如圖，在△ABC中,4C=BC,/ACB=90。，點。在BC上，以A3,OC=1,點P是4B上的動點，當4PC￡）的周

長最小時,在圖中畫出點P的位置,并求點P的坐標.

21.證明：最長邊上中線等于最長邊的一半的三角形是直角三角形.

22.如圖，在等腰直角三角形4BC中，ZACB=90°,AC=BC,A。平分NBAC,SOLA。于點E是AB的中點,

連接CE交AD于點F,BD=3,求BF的長.

23.【閱讀?領會】

材料一：一般地，形如，?(。20)的式子叫做二次根式,其中“叫做被開方數.其中，被開方數相同的二次根

式叫做同類二次根式.像同類項一樣，同類二次根式也可以合并,合并方法類似合并同類項,是把幾個同類二

次根式前的系數相加，作為結果的系數,即mG+=(m+>0).利用這個式子可以化簡一些含

根式的代數式.

材料二：二次根式可以進行乘法運算,公式是Gx揚=J拓.(a>0,/>>0)

我們可以利用以下方法證明這個公式：一般地,當a20”20時，

根據積乘方運算法則,可得(右x聲>=(々)2x(揚了=詔，

(Va)2=a(a>0),(>[ab)2=ab.于是JZxJB、J拓都是ab的算術平方根，

???Gx振=4ab\a>0,/?>0)利用這個式子,可以進行一些二次根式的乘法運算.

將其反過來,得，益=&X?(a>0,Z?>0)它可以用來化簡一些二次根式.

材料三：一般地，化簡二次根式就是使二次根式：

(I)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；

(II)被開方數中不含分母；

(III)分母中不含有根號.這樣化簡完后的二次根式叫做最簡二次根式.

【積累?運用】

(1)仿照材料二中證明二次根式乘法公式那樣,試推導二次根式除法公式.

(2)化簡：J(—2)2。3比5320力20,C20)=.

_i_AIr)nh-I-/7~。=7,

(3)當0<a<b時,化簡土吆J”.并求當八時它的值.

a-b\a,3b，2+a2b3W=9

24.如圖,在平面直角坐標系中，已知4(4,0)、B(0,3).

(2)在坐標軸上是否存在點P,使AABP是等腰三角形?若存在，請直接寫出點P坐標；若不存在，請說明理

由.

25.【模型建立】

(1)如圖1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90,CB=C4,直線￡￡)經過點。，過人作于點

。，過8作8￡_1_石。于點￡.求證：△BECMAS4；

【模型應用】

4

(2)已知直線y=§x+4與坐標軸交于點A、B,將直線4繞點A逆時針旋轉45至直線4,如圖2,

求直線6的函數表達式；

(3)如圖3,長方形A8C0,。為坐標原點，點8的坐標為(8,-6),點A、C分別在坐標軸上，點P是線段

上的動點，點O是直線y=-2x+6上的動點且在第四象限.若是以點。為直角頂點的等腰直角

三角形,請耳掾寫出點。的坐標.

答案與解析

一、選擇題（本大題有8小題,每小題3分，共24分）

1.下列標志中，不是軸對稱圖形的是（）

A（S3）BQC?D

【答案】B

【解析】

【分析】

根據軸對稱圖形的性質對各項進行判斷即可.

【詳解】A.是軸對稱圖形；

B.不是軸對稱圖形；

C.是軸對稱圖形：

D.是軸對稱圖形；

故答案為：B.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的問題,掌握軸對稱圖形的性質是解題的關鍵.

2.若等腰三角形的底邊長為6,底邊上的中線長為4,則它的腰長為（）

A.7B.6C.5D.4

【答案】C

【解析】

【詳解】：等腰三角形ABC中,AB=ACAD是BC上的中線，

：.BD^CD=^-BC^3,

AO同時是BC上的高線，

-'-AB=ylAD2+BD2=5-

故它的腰長為5.

故選C.

A

3.點(2,-3)關于原點對稱的點的坐標是()

A.(-2,3)B.(2,3)C.(-3,-2)D.(2,-3)

【答案】A

【解析】

【分析】

根據關于原點對稱點的坐標特點：兩個點關于原點對稱時,它們的坐標符號相反可得答案.

【詳解】解：在平面直角坐標系中，關于原點對稱的兩點橫坐標和縱坐標均滿足互為相反數，

???點(2,-3)關于原點對稱的點的坐標是(-2,3).

故選A.

【點睛】本題考查了關于原點對稱點的坐標,熟練掌握坐標特征是解題的關鍵.

4.在下列各數中，無理數有()

y/4,37T,—,y/S,y/9,0

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】

先將能化簡的進行化簡，再根據無理數的定義進行解答即可.

【詳解】V74=2,圾=2,

這一組數中的無理數有：3人，強共2個.

故選:B.

【點睛】本題考查的是無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數,無限不循環小數為無理數.

5.如果m是任意實數，則點P(m—4,m+1)一定不在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

求出點P的縱坐標一定大于橫坐標,然后根據各象限的點的坐標特征解答.

【詳解】V（m+l）-（m-4）=m+l-m+4=5>0,

；?點P縱坐標一定大于橫坐標..

???第四象限的點的橫坐標是正數,縱坐標是負數，

第四象限的點的橫坐標一定大于縱坐標.

點P一定不在第四象限.

故選D.

1‘TLX+72>KX+b

6.如圖，直線y=+〃與y="+〃的圖像交于點（3,-1）,則不等式組《一,、’的解集是（）

mx+n<0

D.以上都不對

mm

【答案】C

【解析】

【分析】

h—n

首先根據交點得出--=3,判定m<0,k>0,然后即可解不等式組.

m-k

【詳解】?直線y=爾+〃與y=的圖像交于點（3,-1）

3m+〃=—1,3k+b=-1

h—n

3m+n=3k+b,即-----=3

m-k

由圖象，得

；?mx+n>kx+b,解得x43

幾

mr+?<0,解得---

m

n

，不等式組的解集為：一一<x<3

m

故選：C.

【點睛】此題主要考查根據函數圖象求不等式組的解集,利用交點是解題關鍵.

7.如圖,若BQ是等邊△ABC的一條中線,延長8c至點E,使CE=CD=x,連接DE,則OE的長為()

A.曲xB.2A/3XC.超xD.后

23

【答案】D

【解析】

【分析】

根據等腰三角形和三角形外角性質求出BD=DE,求出BC,在RtABDC中，由勾股定理求出BD即可.

【詳解】解：???△ABC為等邊三角形，

NABC=NACB=60°,AB=BC,

；BD為中線，

2

VCD=CE,

ZE=ZCDE,

,/ZE+ZCDE=ZACB,

.,./E=30°=/DBC,

；.BD=DE,

YBD是AC中線,CD=x,

/.AD=DC=x,

VAABC是等邊三角形，

.\BC=AC=2x,BD±AC,

在RtABDC中，由勾股定理得：BD=y/(2x)2-x2=V3x

DE=BD=y/3x

故選：D.

【點睛】本題考查了等邊三角形性質，勾股定理,等腰三角形性質,三角形的外角性質等知識點的應用，關鍵

是求出DE=BD和求出BD的長.

8.如圖，正方形A8CZ）的邊長為10,AG="=8,BG=￡）H=6,連接GH,則線段GH的長為（）

A.2.8B.2&C.2.4D.3.5

【答案】B

【解析】

【分析】

延長BG交CH于點E,根據正方形的性質證明4ABG絲4CDH絲/XBCE,可得

GE=BE-BG=2,HE=CH-CE=2,ZHEG=90°,從而由勾股定理可得GH的長.

【詳解】解：如圖，延長BG交CH于點E,

四邊形ABCD是正方形,

ZABC=90°,AB=CD=10,

VAG=8,BG=6,

AG2+BG2=AB2,

ZAGB=90°,

Zl+Z2=90°,

XVZ2+Z3=90°,

同理：Z4=Z6,

在AABG和ACDH中，

AB=CD=10

AG=CH=8

BG=DH=6

.?.△ABG^ACDH(SSS),

AZ1=Z5,Z2=Z6,

AZ2=Z4,

在AABG和ABCE中，

VZ1=Z3,AB=BC,Z2=Z4,

.,.△ABG^ABCE(ASA),

ABE=AG=8,CE=BG=6,ZBEC=ZAGB=90°,

AGE=BE-BG=8-6=2,

同理可得HE=2,

在Rt^GHE中，

GH=yjGE2+HE2=722+22=242

故選：B.

【點睛】本題主要考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理及其逆定理的綜合運用，通過證

三角形全等得出aGHE為直角三角形且能夠求出兩條直角邊的長是解題的關鍵.

二、填空題(本大題有8小題,每小題4分，共32分)

9.已知一次函數弘=履+6與%=如+〃的函數圖像如圖所示,則關于％，N的二元一次方程組

kx-y+b=Q,

的解是

inx-y+n-0

x=-X

【答案】1c

[y=2

【解析】

【分析】

根據函數圖象交點坐標為兩函數解析式組成的方程組的解,從而可得答案.

【詳解】解：I?一次函數X=履+人和一次函數必=機氏+〃的圖象交點的坐標為（一1，2）,

fx=-l

???方程組4kx-y+b=O八的解是：c.

nvc-y+n=O[y=2

故答案為：\x=-l.

b=2

【點睛】本題主要考查了函數解析式與圖象的關系，滿足解析式的點就在函數的圖象上，在函數的圖象上的

點，就一定滿足函數解析式.函數圖象交點坐標為兩函數解析式組成的方程組的解.掌握以上知識是解題的

關鍵.

10.已知4ABC中,AB=17,AC=10,BC邊上得高AD=8,則邊BC的長為

【答案】21或9

【解析】

【分析】

由題意得出NADB=NADC=90°,由勾股定理求出BD、CD,分兩種情況，容易得出BC的長.

①如圖1所示：

：AD是BC邊上的高，

Z.ZADB=ZADC=90°,

BD=y/AB2-AD2=>/172-82=15,CD=7AC2-AD2=V102-82=6

/.BC=BD+CD=15+6=21；

②如圖2所示:

同①得:BD=15,CD=6,

.".BC=BD-CD=15-6=9；

綜上所述：BC的長為21或9.

【點睛】本題考查了勾股定理、分類討論思想；熟練掌握勾股定理，并能進行推理計算是解決問題的關鍵.

11.在△A8C中，已知AB=15,AC=11,則BC邊上的中線的取值范圍是,

【答案】2VA￡><13

【解析】

【分析】

延長至E,使得DE=AD,連接CE,然后根據“邊角邊”證明△A8Q和△ECO全等,再根據全等三角形對

應邊相等可得然后利用三角形任意兩邊之和大于第三邊,兩邊之和小于第三邊求出AE的取值范圍,

從而得解.

【詳解】解：如圖，延長AD至E,使得DE=AD,連接CE,

：AD是AABC的中線,

BD=CD,

在4ABD和4ECD中,

VAD=DE,/ADB=/EDC,BD=CD

.".△ABD^AECD(SAS),

；.AB=CE,

,/AB=15,

；.CE=15,

VAC=11,

.?.在4ACE中，15—11=4,15+11=26,

.".4<AE<26,

.".2<AD<13；

故答案為：2VADV13.

A

【點睛】本題既考查了全等三角形的性質與判定，也考查了三角形的三邊的關系,解題的關鍵是將中線AD

延長得AD=DE,構造全等三角形,然后利用三角形的三邊的關系解決問題.

12.化簡：7（-3）2-V27+V16=.

【答案】4

【解析】

【分析】

根據算數平方根和立方根的運算法則計算即可;

【詳解】解：7（-3）2-V27+716=3-3+4=4

故答案為4.

【點睛】本題主要考查了算數平方根和立方根的計算,熟記運算法則是解題的關鍵.

13.如圖，在ABC中，乙4=60。,。是BC邊上的中點,OELBC,/ABC的平分線B尸交。E于ABC內一點

P,連接PC,若N—叫NA8P』。,則必n之間的關系為.

【解析】

【分析】

根據線段垂直平分線的性質，可得NPBC=NPCB,結合角平分線的定義,可得NPBC=/PCB=NABP,最后根

據三角形內角和定理，從而得到，"、〃之間的關系.

【詳解】解：；點D是BC邊的中點,DELBC,

；.PB=PC,

，NPBC=NPCB,

：BP平分/ABC,

ZPBC=ZABP,

ZPBC=ZPCB=ZABP=n°,

,/ZA=60°,NACP=m。，

ZA+ZABC+ZACB=\SO0,

：.ZPBC+ZPCB+ZABP=120o-m0,

.,.3ZABP=120°-m°,

，3n°+m°=120°,

故答案為：m+3n=120.

【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理以及線段垂直平分線的性質的運用，角平分線的定義,解題時注

意：線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等；三角形內角和等于180。.

14.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（1,3），點8的坐標為（2,-1）,點C在同一坐標平面中,

且AABC是以AB為底的等腰三角形，若點C的坐標是（x,y）,則x、y之間的關系為產（用含有x

設AB的中點為。，過。作AB的垂直平分線￡尸，通過待定系數法求出直線AB的函數表達式，根據

EFl.AB可以得到直線EF的左值，再求出AB中點坐標,用待定系數法求出直線EF的函數表達式即可.

【詳解】解：設A3的中點為。，過。作A3的垂直平分線EF

設直線AB的解析式為y=klx+bl,把點A和B代入得:

k+b=3匕=一4

解得:

2k+b=—1瓦=7

：.y=-4x+7

D為AB中點，即0(,—^―)

3

???0(-,1)

2

設直線EF的解析式為y=k2x+b2

?/EFLAB

=—1

把點D和k2代入y=+4可得:

,13,

1=-x—卜

42'

.?.點C(x,y)在直線y='x+*上

48

故答案為:X+}

48

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，中垂線的性質，待定系數法求一次函數的表達式，根據題意作出

中垂線，再用待定系數法求出一次函數的解析式是解題的關鍵.

15.如圖，已知直線八：丫=去+4交x軸、y軸分別于點A(4,0)、點8(0,4)，點C為x軸負半軸上一點，過

點C的直線/2：y=〃經過AB的中點尸，點。（r,0）是x軸上一動點，過點。作QMJ_x軸,分別交/1、

/2于點M、N,當MN=2MQ時,f的值為.

【答案】10或一

7

【解析】

【分析】

先求出后〃的值，確定。4的關系式,然后根據一次函數圖象上點的坐標特征求得點以A'的坐標，由兩點

間的距離公式求得，眥欣的代數式，由已知條件,列出方程，借助于方程求得t的值即可；

【詳解】解：把A（4,0）代入到丁=依+4中得：4左+4=0,解得：k=-l,

4的關系式為：y=-x+4,

為AB的中點，A（4,0）,B（0,4）

由中點坐標公式得：尸（2,2）,

把P（2,2）代入到y=；x+〃中得：；x2+〃=2,解得：〃=1,

的關系式為：y=—x+1,

-2

VQM1X軸,分別交直線4,4于點M、N,Q（r,o）,

/.M&T+4）,+

(—r+4)—g+1)=|f—3,MQ=\-t+4\=\t-4\,

?；MN=2MQ,

3

5,-3=2/-4|,

分情況討論得:

①當年4時,去絕對值得:

3

-r-3=2(r-4),

解得：r=10；

②當2wr<4時,去絕對值得:

3

-r-3=2(4-/),

22

解得：t=—；

7

③當t<2時,去絕對值得:

3

3-,=2(4-。,

解得：/=1()>2,故舍去;

22

綜上所述：，=10或/=一；

7

故答案為：10或三22.

7

【點睛】本題屬于一次函數綜合題,需要熟練掌握待定系數法確定函數關系式,一次函數圖象上點的坐標特

征,兩點間的距離公式等知識點，能夠表示出線段的長度表達式,合理的使用分類討論思想是解決本題的關

鍵，有一定的難度.

16.如圖，已知點M(-1,0)，點N(5皿3加+2)是直線A8：y=-x+4右側一點，且滿足則

點N的坐標是

【答案】停3)

【解析】

【分析】

在x軸上取一點P(1,0),連接BP,作PQ1PB交直線BN于Q,作QR±x軸于R,構造全等三角形

△OBP^ARPQ(AAS)；然后根據全等三角形的性質、坐標與圖形性質求得Q(5,1),易得直線BQ的解

析式,所以將點N代入該解析式來求m的值即可.

【詳解】解：在x軸上取一點P(1,0)，連接BP,

作PQ1PB交直線BN于Q,作QRLx軸于R,

ZBOP=ZBPQ=ZPRQ=90°,

JNBPO=NPQR,

VOA=OB=4,

JZOBA=ZOAB=45°,

VM(-1,0),

AOP=OM=1,

ABP=BM,

???ZOBP=ZOBM=ZABN,

.\ZPBQ=ZOBA=45°,

APB=PQ,

.?.△OBP^ARPQ(AAS),

.,.RQ=OP=1,PR=OB=4,

AOR=5,

???Q(5,1),

3

???直線BN的解析式為y=--x+4,

33

將N(5m,3m+2)代入y=--x+4,得3m+2=--x5m+4

解得m=:,

3

故答案為：件3)

【點睛】本題考查了一次函數綜合題,需要熟練掌握待定系數法確定函數關系式,一次函數圖象上點的坐標

特征,全等三角形的判定與性質，坐標與圖形性質,兩點間的距離公式等知識點,難度較大.

三、解答題(本大題有9小題，共84分)

17.(1)計算：(一卜一血,+源一(3乃一9)°一(4+6)x(4—6)；

(2)求x的值：3。+3y=27.

【答案】⑴-4-272：(2)玉=0,々=一6

【解析】

【分析】

(1)根據二次根式混合的運算、立方根、以及零指數基的法則計算即可

(2)利用直接開平方法解方程即可

【詳解】解：(1)原式=3-2夜+5-1-16+5=7-20；

(2)3(X+3)2=27.

*+3產=9.

彳+3=±3.

%]=0,%2=一6

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算和解一元二次方程,熟練掌握法則是解題的關鍵

18.如圖,N兩個村莊落在落在兩條相交公路AO、8。內部,這兩條公路的交點是O,現在要建立一所中

學C,要求它到兩個村莊的距離相等,到兩條公路的距離也相等.試利用尺規找出中學的位置（保留作圖痕

跡,不寫作法）.

【答案】作圖見解析.

【解析】

【分析】

先連接MN,根據線段垂直平分線的性質作出線段MN的垂直平分線DE,再作出NAOB的平分線OF,DE與

OF相交于C點,則點C即為所求.

【詳解】點C為線段MN的垂直平分線與/AOB的平分線的交點，則點C到點M、N的距離相等，到A0、

B0的距離也相等，作圖如下：

【點睛】此題考查作圖-應用與設計作圖，熟練地應用角平分線的作法以及線段垂直平分線作法是解決問題的

關鍵.

19.已知：如圖，點A是線段C8上一點,△AB。、AACE都是等邊三角形,與BE相交于點G,AE與

相交于點F.求證：AAGF是等邊三角形.

D.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

由等邊三角形可得AD=AB,AE=AC,NBAE=NDAC=120°,再由兩邊夾一角即可判定4BAE也△DAC,可

得N1=N2,進而可得出4BAG絲Z\DAF,AG=AF,則可得4AGF是等邊三角形.

【詳解】證明：:△ABD,Z\ACE都是等邊三角形，

；.AD=AB,AE=AC,

ZDAE=ZBAD=ZCAE=60°

，NBAE=/DAC=120°,

在ABAE和4DAC中

AD=AB,ZBAE=ZDAC,AE=AC,

.".△BAE^ADAC.

，N1=N2

在4BAG和4DAF中

Z1=Z2,AB=AD,ZBAD=ZDAE,

.,.△BAG^ADAF,

；.AG=AF,又NDAE=60°,

.,.△AGF是等邊三角形.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質，以及等邊三角形的性質和判定，解答本題的關鍵是明確

題意,利用數形結合的思想解答.

20.如圖,在△ABC中,AC=BC,/ACB=90。,點。在BC上,BD=3,DC=1,點P是AB上的動點，當4PCD的周

長最小時,在圖中畫出點P的位置,并求點P的坐標.

【分析】

過C作b_LAB于尸，延長CF到E,使CF=FE，連接OE,交AB于尸，連接

CP,。/5+。？=。/5+￡/?=及)的值最小，即可得到P點；通過A和3點的坐標，運用待定系數法求出直

線AB的函數表達式,再通過。和E點的坐標,運用待定系數法求出直線DE的函數表達式,聯合兩個表達

式解方程組求出交點坐標即可.

【詳解】解：如圖所示，過。作Cb_LAB于F,延長b到E,使CF=FE,連接。E,交A3于P,連接

△PCD的周長=CD+DP+CP

二。/5+€7?=。/5+￡/?=即時,可取最小值，圖中P點即為所求；

又?.?8￡>=3,￡>C=1

平面直角坐標系中每一個小方格的邊長為1,即：A(5,4),B(l,0),D(4,0),E(l,4)

設直線AB的解析式為以B=kABx+bAB，代入點A和B得：

5%+b=4L=1

解得:

kAB+h=0“B=一1

?*-=x-i

設直線DE的解析式為如E=kDEx+bDE，代入點。和石得:

r\k=--

曝DE

4￡+*DE=03

,,A解得：,；

[%+磯=4%=3

、3

416

?FL—

.?.聯合兩個一次函數可得：

,[19

fy=x-lx=—

7

???〈416解得＜s

y=——x+—12

【點睛】本題主要考查了軸對稱最短路徑畫法，待定系數法求一次函數解析式，兩直線的交點與二元一次

方程組的解，求出一次函數的解析式組建二元一次方程組是解題的關鍵.

21.證明：最長邊上的中線等于最長邊的一半的三角形是直角三角形.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

如圖,在AABC中,AB是最長邊,CD是邊AB的中線,可得3D=AD,再根據最長邊上的中線等于最長邊的

一半可得CD=BD=AD,根據等邊對等角以及三角形內角和定理即可得證.

【詳解】證明：如圖，在AABC中,AB是最長邊,CD是邊AB的中線

VCD是邊AB的中線

BD=AD

：最長邊上的中線等于最長邊的一半

CD=BD=AD

NA=ZACD,ZB=/BCD

???ZA+Z5+ZACB=180°

ZACB=ZACD+ZBCD=-xl80°=90°

2

.?.△ABC是直角三角形

，最長邊上的中線等于最長邊的一半的三角形是直角三角形.

【點睛】本題考查了直角三角形的證明問題，掌握直角三角形的性質、等邊對等角、三角形內角和定理、中

線的性質是解題的關鍵.

22.如圖,在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AC=BC,AD平分/BAC,BD±AD于點O,E是AB的中點,

連接CE交AD于點F,BD=3,求8尸的長.

【答案】BF的長為3夜

【解析】

【分析】

先連接BF,由E為中點及AC=BC,利用三線合一可得CE1AB,進而可證4AFE絲Z\BFE,再利用AD為角平

分線以及三角形外角定理,即可得到/BFD為45o,4BFD為等腰直角三角形,利用勾股定理即可解得BF.

【詳解】解：連接BF.

A

E

B

D

：CA=CB,E為AB中點

；.AE=BE,CE1AB,ZFEB=ZFEA=90°

在RtAFEB與RtAFEA中,

BE=AE

NBEF=ZAEF

FE=FE

ARtAFEB^RtAFEA

又：AD平分/BAC,在等腰直角三角形ABC中NCAB=45。

I

ZFBE=ZFAE=-ZCAB=22.5°

2

在4BFD中，ZBFD=ZFBE+ZFAE=45°

XVBD1AD,ZD=90°

ABFD為等腰直角三角形，BD=FD=3

BF=>JBD2+FD2=\l2BD?=3血

【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質及判定、三角形全等的性質及判定、三角形外角、角平分線,

解題關鍵在于熟練掌握等腰直角三角形的性質.

23.【閱讀?領會】

材料一：一般地,形如JZSNO)的式子叫做二次根式,其中〃叫做被開方數.其中，被開方數相同的二次根

式叫做同類二次根式.像同類項一樣，同類二次根式也可以合并，合并方法類似合并同類項，是把幾個同類二

次根式前的系數相加，作為結果的系數，即mG+nG=(〃z+〃)4(尤>0).利用這個式子可以化簡一些含

根式的代數式.

材料二：二次根式可以進行乘法運算,公式是&1義枇=%人a>0,b>0)

我們可以利用以下方法證明這個公式：一般地,當a20,匕20時,

根據積的乘方運算法則,可得（GX北）2=（G）2x（折）2="，

（Va）2=a（a>0）,（yfab）2=ab.于是J拓都是ab的算術平方根,

Gx折=J茄.（a>0,/?>0）利用這個式子,可以進行一些二次根式的乘法運算.

將其反過來，得1茄=&x〃.（a20120）它可以用來化簡一些二次根式.

材料三：一般地，化簡二次根式就是使二次根式：

（I）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；

（II）被開方數中不含分母：

（III）分母中不含有根號.這樣化簡完后的二次根式叫做最簡二次根式.

【積累?運用】

（1）仿照材料二中證明二次根式乘法公式那樣,試推導二次根式的除法公式.

（2）化簡：7（-2）2?Vc5（a>0,Z?>0,c>0）=.

〃-4-hI—0ah4-/Ja=7,

（3）當0<（<6時,化簡生2、一并求當Lc時它的值.

a-b\a3b2+a2b3〔。=9

【答案】（1）見解析；（2）2abc~\[ac;（3）---"十",——

ab63

【解析】

【分析】

（1）仿照材料二中證明二次根式乘法公式的方法,推導二次根式的除法公式

（2）根據二次根式乘法公式進行計算即可

（3）先根據二次根式除法公式進行化簡,再把a和b的值代入即可

【詳解】解：（1）二次根式的除法公式是密=、口（a20/>0）

證明如下：一般地，當aN0,b>0時,

_(Gf_a

根據商的乘方運算法則，可得

一(ClF

（7^）2=?（?>（））,：.（,1^）2=-.于是*、、口都是;的算術平方根,

bbbb

塔=聆(。>0,b>0)利用這個式子,可以進行一些二次根式的除法運算.

將其反過來，得J|=布(a>0,b>0)它可以用來化簡一些二次根式.

(2)yl(-2)2a3b2c5(a>0,/?>0,c>0)=V4x=2abc2y/ac

故答案為：2abe?

(3)當0<Q<Z?時,

a+bb2-2ab+a2_a+b/(b-a)2_a+hb-aI_1__yJa-^-b

a-b\//+a2b3a-bva2b2(a+b)a-b^ab\a+bab

a=7J]6

當《時，原式=_業1=4

b=96363

【點睛】本題考查二次根式的乘法和除法法則,，解題的關鍵是熟練運用公式以及二次根式的性質，本題屬于

中等題型.

24.如圖,在平面直角坐標系中，己知A(4,0)、B(0,3).

(2)在坐標軸上是否存在點P,使AABP是等腰三角形?若存在，請直接寫出點尸坐標；若不存在，請說明理

由.

【答案】(1)5；(2)(0,8),(0,-3),(0,-2)，(°，—：)，(9,0),(-1,0),(-4,0),I17,0l；理由見

8

解析

【解析】

【分析】

(1)根據A、B兩點坐標得出OA、OB的長，再根據勾股定理即可得出AB的長

(2)分三種情況,AB=AP,AB=BP,AP=BP,利用等腰三角形性質和兩點之間距離公式,求出點P坐標.

詳解［解：(1)VA(4,0)、B(0,3).

.".OA=3,OB=4,

AB=>/42+32=5

(2)當點P在y軸上時

當AB=BP時，此時OP=3+5=8或OP=5-3=2,

；.P點坐標為(0,8)或(0,-2)；

當AB=AP時，此;時OP=BO=3,

；.P點坐標;(0,-3)；

當AP=BP時，設P(0,x),VX2+42=7(X-3)2

：x=-';點坐標為

當點P在x軸上時

當AB=AP時，此時OP=4+5=9或OP=5-4=1,

；.P點坐標為(9,0)或(-1,0)；

當AB=BP時,此時OP=AO=4,

；.P點坐標為(-4,0)；

當AP=BP時，設P(x,0),；.VX2+32=J(X-4)2

：x=(；;.p點坐標為((,0)

綜上所述：符合條件的點的坐標為：(0,8),(0,-3),(0,-2)J。,一,,(9,0),(-1,0),(-4,0),R,0

【點睛】本題主要考查等腰三角形性質、兩點之間距離公式和勾股定理，學生只要掌握這些知識點，解決此問

題就會變得輕而易舉，需要注意的是,在解題過程中不要出現漏解現象.

25.【模型建立】

（1）如圖1,等腰直角三角形A3C中，ZACB=90,C8=C4,直線EO經過點C,過A作AD_LED于點

。，過B作ED于點E.求證：ABEC=ACZM；

【模型應用】

4

（2）已知直線4：）=§x+4與坐標軸交于點A、8,將直線乙繞點A逆時針旋轉45至直線如圖2,

求直線人的函數表達式；

（3）如圖3,長方形ABCO,0為坐標原點，點5的坐標為（8,-6）,點A、。分別在坐標軸上，點P是線段

8C上的動點，點。是直線y=-2x+6上的動點且在第四象