2024屆河北省藁城市第一中學高二數學第二學期期末學業水平測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設,則（）A．a<b〈c B．b<a<c C．c〈a〈b D．c<b〈a2．若函數在上單調遞增，則的取值范圍是()A． B． C． D．3．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c4．已知直線l過點P(1,0,－1)，平行于向量，平面過直線l與點M(1,2,3)，則平面的法向量不可能是（）A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)5．在黃陵中學舉行的數學知識競賽中，將高二兩個班參賽的學生成績(得分均為整數)進行整理后分成五組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右的第一、第三、第四、第五小組的頻率分別是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小組的頻數是1．這兩個班參賽的學生人數是（）A．80 B．90C．100 D．1206．函數在處的切線與雙曲線的一條漸近線平行，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．7．設，若函數，有大于零的極值點，則（）A． B． C． D．8．中，若，則該三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形9．有位同學按照身高由低到高站成一列，現在需要在該隊列中插入另外位同學，但是不能改變原來的位同學的順序，則所有排列的種數為（）A． B． C． D．10．一盒中裝有5張彩票，其中2張有獎，3張無獎，現從此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一張彩票．設第1次抽出的彩票有獎的事件為A，第2次抽出的彩票有獎的事件為B，則()A． B． C． D．11．在的展開式中，二項式系數最大的項的系數為（）A． B． C． D．12．z是z的共軛復數，若z+z=2,(z-zA．1+i B．-1-i C．-1+i D．1-i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定積分__________．14．復數滿足，則的最小值是___________．15．已知橢圓（a>b>0）的離心率為e，，分別為橢圓的兩個焦點，若橢圓上存在點P使得∠是鈍角，則滿足條件的一個e的值為____________16．駐馬店市某校高三年級學生一次數學診斷考試的成績(單位:分)服從正態分布,記為事件為事件,則__________.(結果用分數示)附：；；.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）用分析法證明：；（2）用數學歸納法證明：.18．（12分）已知函數，.（1）討論的單調性；（2）若，求證：當時，.19．（12分）證明下列不等式.（1）當時，求證：；（2）設，，若，求證：.20．（12分）平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.橢圓的左頂點為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作直線與橢圓交于另一點.若直線交軸于點，且，求直線的斜率.21．（12分）已知復數（a，），（c，）.（1）當，，，時，求，，；（2）根據（1）的計算結果猜想與的關系，并證明該關系的一般性22．（10分）在平面直角坐標系中，橢圓的參數方程為為參數)．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，直線經過橢圓的右焦點．（1）求實數的值；（2）設直線與橢圓相交于兩點，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：先對a,b,c,進行化簡，然后進行比較即可.詳解：，又故，故選D.點睛：考查對指數冪的化簡運算，定積分計算，比較大小則通常進行估算值的大小，屬于中檔題.2、C【解題分析】試題分析：對恒成立，故，即恒成立，即對恒成立，構造，開口向下的二次函數的最小值的可能值為端點值，故只需保證，解得．故選C．【考點】三角變換及導數的應用【名師點睛】本題把導數與三角函數結合在一起進行考查,有所創新,求解的關鍵是把函數單調性轉化為不等式恒成立,再進一步轉化為二次函數在閉區間上的最值問題,注意與三角函數值域或最值有關的問題,即注意正、余弦函數的有界性.3、A【解題分析】

利用指數函數、對數函數的單調性直接求解．【題目詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關系為b＞c＞a．故選：A．【題目點撥】本題考查三個數的大小的判斷，考查指數函數、對數函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．4、D【解題分析】試題分析：由題意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），選項A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0滿足垂直，故正確；選項B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0滿足垂直，故正確；選項C，（2，1，1）（-，1，?）=0，（0，2，4）（-，1，?）=0滿足垂直，故正確；選項D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故錯誤．考點：平面的法向量5、C【解題分析】

根據條件可求第二組的頻率，根據第二組的頻數即可計算兩個班的學生人數.【題目詳解】第二小組的頻率是：，則兩個班人數為：人.【題目點撥】本題考查頻率分布直方圖中，頻率、頻數與總數的關系，難度較易.6、D【解題分析】

計算函數在處的切線斜率，根據斜率計算離心率.【題目詳解】切線與一條漸近線平行故答案選D【題目點撥】本題考查了切線方程，漸近線，離心率，屬于常考題型.7、B【解題分析】試題分析：設，則，若函數在x∈R上有大于零的極值點．即有正根，當有成立時，顯然有，此時．由，得參數a的范圍為．故選B．考點：利用導數研究函數的極值．8、D【解題分析】

利用余弦定理角化邊后，經過因式分解變形化簡可得結論.【題目詳解】因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故選：D【題目點撥】本題考查了利用余弦定理角化邊，考查了利用余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎題.9、C【解題分析】

將問題轉化為將這個同學中新插入的個同學重新排序，再利用排列數的定義可得出答案．【題目詳解】問題等價于將這個同學中新插入的個同學重新排序，因此，所有排列的種數為，故選C.【題目點撥】本題考查排列問題，解題的關鍵就是將問題進行等價轉化，考查轉化與化歸數學思想的應用，屬于中等題．10、D【解題分析】

由題意，第1次抽出的彩票有獎，剩下4張彩票，其中1張有獎，3張無獎，即可求出．【題目詳解】由題意，第1次抽出的彩票有獎，剩下4張彩票，其中1張有獎，3張無獎，所以．故選：D．【題目點撥】本題考查條件概率，考查學生的計算能力，比較基礎．11、B【解題分析】

根據展開式中二項式系數最大的項是，由此求出它的系數．【題目詳解】的展開式中，二項式系數最大的項是其系數為-1．

故選B.．【題目點撥】本題考查了二項式展開式系數的應用問題，是基礎題．12、D【解題分析】試題分析：設z=a+bi,z=a-bi，依題意有2a=2,-2b=2，故考點：復數概念及運算．【易錯點晴】在復數的四則運算上,經常由于疏忽而導致計算結果出錯.除了加減乘除運算外,有時要結合共軛復數的特征性質和復數模的相關知識,綜合起來加以分析.在復數的四則運算中,只對加法和乘法法則給出規定,而把減法、除法定義為加法、乘法的逆運算.復數代數形式的運算類似多項式的運算,加法類似合并同類項;復數的加法滿足交換律和結合律,復數代數形式的乘法類似多項式乘以多項式,除法類似分母有理化;用類比的思想學習復數中的運算問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據定積分的幾何意義求出，再由微積分基本定理求出，進而可得出結果.【題目詳解】因為表示圓面積的，所以；又，所以.故答案為【題目點撥】本題主要考查求定積分的問題，熟記定積分的幾何意義，以及微積分基本定理即可，屬于常考題型.14、【解題分析】

點對應的點在以為圓心，1為半徑的圓上，要求的最小值，只要找出圓上的點到原點距離最小的點即可，求出圓心到原點的距離，最短距離要減去半徑即可得解.【題目詳解】解：復數滿足，點對應的點在以為圓心，1為半徑的圓上，要求的最小值，只要找出圓上的點到原點距離最小的點即可，連接圓心與原點，長度是，最短距離要減去半徑故答案為：【題目點撥】本題考查復數的幾何意義，本題解題的關鍵是看出復數對應的點在圓上，根據圓上到原點的最短距離得到要求的距離，屬于基礎題．15、（答案不唯一，<e<1）【解題分析】

當為短軸端點時，最大，因此滿足題意時，此角必為鈍角．【題目詳解】由題意當為短軸端點時，為鈍角，∴，∴，，，∴．答案可為．【題目點撥】本題考查橢圓的幾何性質．解題中注意性質：是橢圓上任意一點，是橢圓的兩個焦點，當為短軸端點時，最大．16、【解題分析】分析：利用條件概率公式，即可得出結論.詳解：由題意，，.故答案為：.點睛：本題考查條件概率，考查正態分布，考查計算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析.【解題分析】

（1）利用分析法逐步平方得出成立，可證明出原不等式成立；（2）先驗證時等式成立，然后假設當時等式成立，可得出，然后再等式兩邊同時加上，并在所得等式右邊提公因式，化簡后可得出所證等式在時成立，由歸納原理得知所證不等式成立.【題目詳解】（1）要證明成立，只需證明成立，即證明成立，只需證明成立，即證明成立，因為顯然成立，所以原不等式成立，即；（2）①當時，，等式左邊，右邊，等式成立；②設當時，等式成立，即，則當時，，即成立，綜上所述，．【題目點撥】本題考查分析法與數學歸納法證明不等式以及等式問題，證明時要熟悉這兩種方法證明的基本步驟與原理，考查邏輯推理能力，屬于中等題.18、（1）見解析（2）見解析【解題分析】分析：（1）依題意，的定義域為，，分類討論可求的單調性；（2）當時，要證明，即證明，只需證明.設，利用導數研究其性質，即可證明詳解：（1）依題意，的定義域為，，（1）當時，，在單調遞減；（2）當時，當時，；當時，；所以在單調遞減，在單調遞增；（3）當時，當時，；當時，；所以在單調遞增，在單調遞減；綜上，當時，在單調遞減；當時，在單調遞減，在單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減.（2）當時，要證明，即證明，因為，所以只需證明，只需證明.設，則，設，則，所以當時，；當時，；所以在單調遞減，在單調遞增；所以，所以當時，；當時，；所以在單調遞減，在單調遞增；所以，所以當時，.點睛：本小題考查導數與函數的單調性、不等式等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想，分類與整合思想等．19、（1）見解析；（2）見解析．【解題分析】分析：（1）利用分析法進行證明；（2）利用常數代換法應用基本不等式即可證明.詳解：證明：（1）要證；即證，只要證，只要證，只要證，由于，只要證，最后一個不等式顯然成立，所以；（2）因為，，，所以，，當且僅當，即時，等號成立，所以.點睛：利用分析法證明時應注意的問題(1)分析法采用逆向思維，當已知條件與結論之間的聯系不夠明顯、直接，或證明過程中所需要用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，從正面不易推導時，常考慮用分析法．(2)應用分析法的關鍵在于需保證分析過程的每一步都是可逆的，它的常用書面表達形式為“要證……只需證……”或用“?”．注意用分析法證明時，一定要嚴格按照格式書寫．20、（1）（2）【解題分析】

(1)由題意中橢圓離心率和點在橢圓上得到方程組即可求出橢圓方程(2)由題意設直線斜率，分別求出、的表達式，令其相等計算出直線斜率【題目詳解】解：（1）由題意知：解得：，所以，所求橢圓方程為.（2）由題意知直線的斜率存在，設為，過點，則的方程為：，聯立方程組，消去整理得：，令，由，得，將代入中，得到，所以，，由，得：，解得：，∴.所以直線的斜率為.【題目點撥】本題考查了求橢圓方程及直線與橢圓的位置關系，在解答過程中運用設而不求的方法，設出點坐標和斜率，聯立直線方程與橢圓方程，結合弦長公式計算出長度，從而計算出結果，需要掌握解題方法21、（1），，（2）猜想，見解析【解題分析】

（1）由復數模的定義計算模，對，可先求出，再計算模；（2）由（1）猜測，用復數的一般形式進行證明即可．【題目詳解】（1）由題知，，所以所以（2）猜想證明：因為，，所以因為，所以，所以猜想成立.【題目點撥】本題考查復數的簡單運算和合情推理，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，導向對發展數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養