2024屆湖南省邵陽市邵東縣創新實驗學校數學高二下期末經典試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，，則A． B．， C． D．，2．已知隨機變量服從二項分布，且，，則p等于A． B． C． D．3．《九章算術》中有這樣一個問題：今有竹九節，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節容四升，下三節容二升，中三節容幾何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升4．已知是拋物線上一點，則到拋物線焦點的距離是（）A．2 B．3 C．4 D．65．已知等差數列的前項和為，，且，則（）A．6 B．7 C．8 D．96．已知空間向量1，，，且，則A． B． C．1 D．27．如圖所示，給出了樣本容量均為7的A、B兩組樣本數據的散點圖，已知A組樣本數據的相關系數為r1，B組數據的相關系數為r2，則（）A．r1＝r2 B．r1<r2 C．r1>r2 D．無法判定8．已知點P的極坐標是，則過點P且平行極軸的直線方程是A． B． C． D．9．變量與相對應的一組數據為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量與相對應的一組數據為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．表示變量之間的線性相關系數，表示變量與之間的線性相關系數，則()A． B． C． D．10．過點的直線與函數的圖象交于，兩點，為坐標原點，則（）A． B． C．10 D．2011．若|x﹣1|≤x|x+1|，則（）A．x1 B．x≤1 C．x1 D．x12．設，則“”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知a=log0.35,?b=2314．下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是__________（填序號）．①某賓館每天入住的旅客數量是；②某水文站觀測到一天中珠江的水位；③西部影視城一日接待游客的數量；④閱海大橋一天經過的車輛數是.15．已知函數f(x)滿足：f(1)＝2，f(x＋1)＝，則f(2018)=________.16．在未來3天中，某氣象臺預報天氣的準確率為0.8，則在未來3天中，至少連續2天預報準確的概率是______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）近期，某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付，某線路公交車隊統計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動推出的天數，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），繪制了如圖所示的散點圖：（I）根據散點圖判斷在推廣期內，與（c，d為為大于零的常數）哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關于活動推出天數x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據（I）的判斷結果求y關于x的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次.參考數據：4621.54253550.121403.47其中，附：對于一組數據，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，。18．（12分）已知函數，.（1）討論的單調性；（2）若，求證：當時，.19．（12分）在直角坐標系中，是過點且傾斜角為的直線.以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的參數方程與曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于兩點，，求.20．（12分）已知橢圓：在左、右焦點分別為，，上頂點為點，若是面積為的等邊三角形.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，是橢圓上的兩點，且，求使的面積最大時直線的方程（為坐標原點）.21．（12分）已知函數，集合.（1）當時，解不等式；（2）若，且，求實數的取值范圍；（3）當時，若函數的定義域為，求函數的值域.22．（10分）如圖，點,,,分別為橢圓:的左、右頂點，下頂點和右焦點，直線過點，與橢圓交于點，已知當直線軸時，.(1)求橢圓的離心率;(2)若當點與重合時，點到橢圓的右準線的距離為上.①求橢圓的方程;②求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

利用一元二次不等式的解法以及對數函數的單調性，求出集合，，然后進行交集的運算即可?！绢}目詳解】，；，故選．【題目點撥】本題主要考查區間表示集合的定義，一元二次不等式的解法，對數函數的定義域及單調性，以及交集的運算．2、B【解題分析】分析：根據隨機變量符合二項分布，根據二項分布的期望和方差的公式和條件中所給的期望和方差的值，得到關于和的方程組，解方程組得到要求的兩個未知量．詳解：隨機變量服從二項分布，且，，則由，

可得故選B.點睛：本題主要考查二項分布的期望與方差的簡單應用，通過解方程組得到要求的變量，這與求變量的期望是一個相反的過程，但是兩者都要用到期望和方差的公式．3、B【解題分析】

由題意可得，上、中、下三節的容量成等差數列．再利用等差數列的性質，求出中三節容量，即可得到答案．【題目詳解】由題意，上、中、下三節的容量成等差數列，上三節容四升，下三節容二升，則中三節容量為，故選B．【題目點撥】本題主要考查了等差數列的性質的應用，其中解答中熟記等差數列的等差中項公式是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．4、B【解題分析】分析：直接利用拋物線的定義可得：點到拋物線焦點的距離．詳解：由拋物線方程可得拋物線中，則利用拋物線的定義可得點到拋物線焦點的距離．故選B.點睛：本題考查了拋物線的定義標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．5、D【解題分析】分析：設等差數列的公差為d，由且，可得，，解出即可得出.詳解：設等差數列的公差為d，由且，，，解得，則.故選：D.點睛：(1)等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了用方程的思想來解決問題．(2)數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．6、C【解題分析】

利用向量垂直的充要條件，利用向量的數量積公式列出關于x的方程，即可求解x的值．【題目詳解】由題意知，空間向量1，，，且，所以，所以，即，解得.故選C．【題目點撥】本題主要考查了向量垂直的充要條件，以及向量的數量積的運算，其中解答中熟記向量垂直的條件和數量積的運算公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.7、C【解題分析】

利用“散點圖越接近某一條直線線性相關性越強，相關系數的絕對值越大”判斷即可.【題目詳解】根據兩組樣本數據的散點圖知，組樣本數據幾乎在一條直線上，且成正相關，∴相關系數為應最接近1，組數據分散在一條直線附近，也成正相關，∴相關系數為，滿足，即，故選C．【題目點撥】本題主要考查散點圖與線性相關的的關系，屬于中檔題.判斷線性相關的主要方法：（1）散點圖（越接近直線，相關性越強）；（2）相關系數（絕對值越大，相關性越強）.8、D【解題分析】分析：把點的極坐標化為直角坐標，求出過點且平行極軸的直線直角坐標方程，再把它化為極坐標方程．詳解：把點的極坐標化為直角坐標為故過點且平行極軸的直線方程是，

化為極坐標方程為，

故選D．點睛：本題主要考查把點的極坐標化為直角坐標，把直角坐標方程化為即坐標方程的方法，屬于基礎題．9、C【解題分析】

求出，，進行比較即可得到結果【題目詳解】變量與相對應的一組數據為即變量與相對應的一組數據為這一組數據的相關系數則第一組數據的相關系數大于，第二組數據的相關系數小于則故選【題目點撥】本題主要考查的是變量的相關性，屬于基礎題．10、D【解題分析】

判斷函數的圖象關于點P對稱，得出過點的直線與函數的圖象交于A，B兩點時，得出A，B兩點關于點P對稱，則有，再計算的值．【題目詳解】，∴函數的圖象關于點對稱，∴過點的直線與函數的圖象交于A，B兩點，且A，B兩點關于點對稱，∴，則．故選D．【題目點撥】本題主要考查了函數的對稱性，以及平面向量的數量積運算問題，是中檔題．11、A【解題分析】

對按照，，進行分類討論，分別解不等式，然后取并集，得到答案.【題目詳解】①當時，，即，解得所以②當時，，即解得或所以③當時，，即解得所以綜上所述，故選A項.【題目點撥】本題考查分類討論解不含參的絕對值不等式，屬于簡單題.12、A【解題分析】分析：首先求解絕對值不等式，然后求解三次不等式即可確定兩者之間的關系.詳解：絕對值不等式，由.據此可知是的充分而不必要條件.本題選擇A選項.點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，充分不必要條件的判斷等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、a<c<b【解題分析】

將a,b,c分別判斷與0,1的大小關系得到答案.【題目詳解】a=b=0<c=故答案為a<c<b【題目點撥】本題考查了數值的大小比較，0，1分界是一個常用的方法.14、②【解題分析】

利用離散型隨機變量的定義直接求解．【題目詳解】①③④中的隨機變量的所有取值，我們都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機變量；②中隨機變量可以取某一區間內的一切值，但無法按一定次序一一列出，故不是離散型隨機變量．故答案為：②【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意離散型隨機變量的定義的合理運用，比較基礎．15、-1【解題分析】

由已知分析出函數f（x）的值以4為周期，呈周期性變化，可得答案．【題目詳解】∵函數f（x）滿足：f（1）=2，f（x+1）=，∴f（2）=﹣1，f（1）=﹣，f（4）=，f（5）=2，……即函數f（x）的值以4為周期，呈周期性變化，∵2018=504×4+2，故f（2018）=f（2）=﹣1，故答案為：﹣1．【題目點撥】本題考查的知識點是函數求值，函數的周期性，難度不大，屬于中檔題．16、0.768【解題分析】

至少連續2天預報準確包含3種情況：①三天都預報準確；②第一二天預報準確，第三天預報不準確；③第一天預報不準確，第二三天預報準確．分別求解后根據互斥事件的概率加法公式求解即可．【題目詳解】至少連續2天預報準確包含3種情況：①三天都預報準確，其概率為；②第一二天預報準確，第三天預報不準確，其概率為；③第一天預報不準確，第二三天預報準確，其概率為．∴在未來3天中，至少連續2天預報準確的概率是．即所求概率為．【題目點撥】本題考查獨立事件同時發生的概率的求法和互斥事件的概率，解答類似問題時首先要分清概率的類型，然后在選擇相應的公式求解．某些事件若含有較多的互斥事件，可考慮其對立事件的概率，這樣可減少運算量，提高準確率．要注意“至多”“至少”等題型的轉化．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）適合（Ⅱ），預測第8天人次347.【解題分析】

（I）通過散點圖，判斷適宜作為掃碼支付的人數y關于活動推出天數x的回歸方程類型（Ⅱ）通過對數運算法則，利用回歸直線方程相關系數，求出回歸直線方程，然后求解第8天使用掃碼支付的人次.【題目詳解】（I）根據散點圖判斷，適宜作為掃碼支付的人數y關于活動推出天數x的回歸方程類型.（Ⅱ）因為，兩邊取常用對數得：,設,，把樣本數據中心點代入得：，，則所以y關于x的回歸方程為，把代入上式得：，故活動推出第8天使用掃碼支付的人次為347.【題目點撥】本題主要考查了線性回歸方程的求法及應用，數學期望的應用，考查計算能力，是中檔題．18、（1）見解析（2）見解析【解題分析】分析：（1）依題意，的定義域為，，分類討論可求的單調性；（2）當時，要證明，即證明，只需證明.設，利用導數研究其性質，即可證明詳解：（1）依題意，的定義域為，，（1）當時，，在單調遞減；（2）當時，當時，；當時，；所以在單調遞減，在單調遞增；（3）當時，當時，；當時，；所以在單調遞增，在單調遞減；綜上，當時，在單調遞減；當時，在單調遞減，在單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減.（2）當時，要證明，即證明，因為，所以只需證明，只需證明.設，則，設，則，所以當時，；當時，；所以在單調遞減，在單調遞增；所以，所以當時，；當時，；所以在單調遞減，在單調遞增；所以，所以當時，.點睛：本小題考查導數與函數的單調性、不等式等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想，分類與整合思想等．19、（1）直線的參數方程為（為參數）;；（2）【解題分析】

分析：(1)先根據傾斜角寫直線的參數方程，根據，將曲線極坐標方程化為直角坐標方程，(2)將直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，根據參數幾何意義以及韋達定理得.詳解：（1）直線的參數方程為（為參數）.由曲線的極坐標方程，得，把，，代入得曲線的直角坐標方程為.（2）把代入圓的方程得，化簡得，設，兩點對應的參數分別為，，則，∴，，則.點睛：直線的參數方程的標準形式的應用過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數方程是.(t是參數，t可正、可負、可為0)若M1，M2是l上的兩點，其對應參數分別為t1，t2，則(1)M1，M2兩點的坐標分別是(x0＋t1cosα，y0＋t1sinα)，(x0＋t2cosα，y0＋t2sinα).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若線段M1M2的中點M所對應的參數為t，則t＝，中點M到定點M0的距離|MM0|＝|t|＝.(4)若M0為線段M1M2的中點，則t1＋t2＝0.20、解（1）；（2）或.【解題分析】

（1）由是面積為的等邊三角形，結合性質，列出關于、的方程組，求出、，即可得結果;（2）先證明直線的斜率存在，設直線的方程為，與橢圓方程聯立消去，利用弦長公式可得，化簡得.原點到直線的距離為，的面積，當最大時，的面積最大.由，利用二次函數的性質可得結果.【題目詳解】（1）由是面積為的等邊三角形，得，所以，，從而，所以橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，當軸時，，則為橢圓的短軸，故有，，三點共線，不合題意.所以直線的斜率存在，設直線的方程為，點，點，聯立方程組消去，得，所以有，，則，即，化簡得.因為，所以有且.原點到直線的距離為，的面積，所以當最大時，的面積最大.因為，而，所以當時，取最大值為3，面積的最大值.把代入，得，所以有，即直線的方程為或.【題目點撥】求橢圓標準方程的方法一般為待定系數法,根據條件確定關于的方程組，解出從而寫出橢圓的標準方程．解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規思路是先把直線方程與橢圓方程聯立，消元、化簡，然后應用根與系數的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單.21、（1）；（2）；（3）當時，的值域為；當時，的值域為；當時，的值域為．【解題分析】分析：（1）先根據一元二次方程解得ex＞3，再解對數不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根據，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用變量分離法得a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.最后根據二次函數性質求最值得結果,（3）先轉化為對勾函數，再根據拐點與定義區間位置關系，分類討論，結合單調性確定函數值域.詳解：（1）當a＝－3時，由f(x)＞1得ex－3e-x－1＞1，所以e2x－2ex－3＞0，即(ex－3)(ex＋1)＞0，所以ex＞3，故x＞ln3，所以不等式的解集為(ln3，+∞).（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.因為A∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，即f(x)≥2在0≤x≤1上有解，即ex＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，所以a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.由0≤x≤1得1≤ex≤e，所以3ex－e2x＝－(ex－)2＋∈[3e－e2，]，所以a≥3e－e2.（3）設t＝ex，由（2）知1≤t≤e，記g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，則，t(1，)(，＋∞)g′(t)－0＋g(