2024屆上海市十二校高二數學第二學期期末統考模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數的圖象上，有且只有三個不同的點，它們關于直線的對稱點落在直線上，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．2．的展開式中的系數是（）A．16 B．70 C．560 D．11203．某醫療機構通過抽樣調查(樣本容量n=1000)，利用2×2列聯表和統計量研究患肺病是否與吸煙有關.計算得，經查閱臨界值表知，下列結論正確的是()0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A．在100個吸煙的人中約有95個人患肺病 B．若某人吸煙，那么他有的可能性患肺病C．有的把握認為“患肺病與吸煙有關” D．只有的把握認為“患肺病與吸煙有關”4．由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是（）A． B． C． D．5．如圖是函數的導函數的圖象，則下面判斷正確的是（）A．在上是增函數B．在上是減函數C．在上是增函數D．在時，取極大值6．已知函數，則()A． B．e C． D．17．復數（為虛數單位）的虛部是（）．A． B． C． D．8．已知實數，滿足條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．將紅、黑、藍、黃4個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少放一個球，且紅球和藍球不能放在同一個盒子，則不同的放法的種數為（）A．18B．24C．30D．3610．若，則“復數的共軛復數在復平面內對應的點在第二象限”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，則△ABC的外接圓的直徑為（）A．5 B． C． D．12．已知函數是定義在上的偶函數，并且滿足，當時，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．駐馬店市某校高三年級學生一次數學診斷考試的成績(單位:分)服從正態分布,記為事件為事件,則__________.(結果用分數示)附：；；.14．設數列的前項和為，已知，，，則______.15．二項式的展開式中常數項為______用數字表示．16．定義在上的奇函數，當時，則函數的所有零點之和為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2018年雙11當天，某購物平臺的銷售業績高達2135億人民幣．與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系，現從評價系統中選出200次成功交易，并對其評價進行統計，對商品的好評率為0.9，對服務的好評率為0.75，其中對商品和服務都做出好評的交易為140次．（1）請完成下表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務好評有關？對服務好評對服務不滿意合計對商品好評140對商品不滿意10合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全好評的次數為X．①求隨機變量X的分布列；②求X的數學期望和方差．附：K2P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）如圖，在以為頂點的多面體中，面，，，，，（Ⅰ）請在圖中作出平面，使得平面，并說明理由；（Ⅱ）證明：平面.19．（12分）如圖是一個二次函數y=f（x）的圖象（1）寫出這個二次函數的零點（2）求這個二次函數的解析式（3）當實數k在何范圍內變化時，函數g（x）=f（x）-kx在區間[-2，2]上是單調函數？20．（12分）如圖，在棱長為的正方體中，，，分別是棱、和所在直線上的動點：（1）求的取值范圍：（2）若為面內的一點，且，，求的余弦值：（3）若、分別是所在正方形棱的中點，試問在棱上能否找到一點，使平面?若能，試確定點的位置，若不能，請說明理由.21．（12分）如圖，在三棱錐中，，在底面上的射影在上，于.（1）求證：平行平面，平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知函數.（1）求函數的最小值；（2）若恒成立，求實數的值；（3）設有兩個極值點，求實數的取值范圍，并證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

可先求關于的對稱直線，聯立對稱直線和可得關于x的函數方程，采用分離參數法以及數形結合的方式進行求解即可【題目詳解】設直線關于的對稱函數為，則，因為與有三個不同交點，聯立，可得，當時顯然為一解，當時，有，畫出的圖像，可知滿足與有兩交點需滿足綜上所述，實數的取值范圍是答案選D【題目點撥】本題考察了直線關于對稱直線的求法，函數零點中分離參數、數形結合、分類討論等基本知識，對數學思維轉化能力要求較高，特別是分離參數與數形結合求零點問題，是考察重點2、D【解題分析】

設含的為第，所以，故系數為：，選D．3、C【解題分析】

將計算出的與臨界值比較即可得答案。【題目詳解】由題得，且由臨界值表知，所以有的把握認為“患肺病與吸煙有關”，故選C.【題目點撥】本題考查獨立性檢驗，解題的關鍵是將估計值與臨界值比較，屬于簡單題。4、B【解題分析】分析：先求曲線交點，再確定被積上下限，最后根據定積分求面積.詳解：因為，所以所以由直線與曲線圍成的封閉圖形的面積是,選B.點睛：利用定積分求曲邊圖形面積時，一定要找準積分上限、下限及被積函數．當圖形的邊界不同時，要分不同情況討論．5、C【解題分析】分析：根據導函數圖象，判斷導數值的符號從而可得函數的單調性，進而可得結果.詳解：根據導函數圖象可知，在上先減后增，錯；在上先增后減，錯；在上是增函數，對；在時，取極小值，錯，故選C.點睛：本題考查函數的單調性與導函數的關系，意在考查對基本性質掌握的熟練程度以及數形結合思想的應用，屬于中檔題.6、C【解題分析】

先求導，再計算出，再求.【題目詳解】由題得，所以.故選：C.【題目點撥】本題主要考查導數的計算，意在考查學生對該知識的掌握水平和基本的計算能力，屬基礎題.7、A【解題分析】

利用復數的除法法則將復數表示為一般形式，可得出復數的虛部．【題目詳解】，因此，該復數的虛部為，故選A．【題目點撥】本題考查復數的除法，考查復數的虛部，對于復數問題的求解，一般利用復數的四則運算法則將復數表示為一般形式，明確復數的實部與虛部進行求解，考查計算能力，屬于基礎題．8、A【解題分析】

作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，進行平移，結合圖象得到的取值范圍.【題目詳解】解：由得，作出實數，滿足條件對應的平面區域，如下圖所示：平移直線，由圖象可知當直線經過點時，值最小.由，解得，，由，解得，..故選：A.【題目點撥】本題考查線性規劃的基本應用，利用數形結合的方法，屬于基礎題.9、C【解題分析】解：由題意知4個小球有2個放在一個盒子里的種數是C4把這兩個作為一個元素同另外兩個元素在三個位置排列，有A3而紅球和藍球恰好放在同一個盒子里有A3∴編號為紅球和藍球不放到同一個盒子里的種數是C4210、C【解題分析】

先將復數化簡成形式，得其共軛復數，通過對應的點在第二象限求出的取值范圍，即可判斷與的關系．【題目詳解】，所以共軛復數，因為共軛復數在復平面內對應的點在第二象限所以，解得所以“復數的共軛復數在復平面內對應的點在第二象限”是“”充要條件，故選C【題目點撥】本題考查復數的基本運算與充要關系，解題的關鍵是先通過條件求出的取值范圍，屬于一般題．11、C【解題分析】分析：由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，最后結合正弦定理即可得結果.詳解：根據三角形面積公式得，，得，則，即，，故正確答案為C.點睛：此題主要考三角形面積公式的應用，以及余弦定理、正弦定理在計算三角形外接圓半徑的應用等有關方面的知識與技能，屬于中低檔題型，也是常考考點.此類題的題型一般有：1.已知兩邊和任一邊，求其他兩邊和一角，此時三角形形狀唯一；2.已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，此時三角形形狀不一定唯一.12、D【解題分析】

先由題得出函數的周期，再將變量調節到范圍內進行求解．【題目詳解】因為，所令，則，所以可得，即，所以函數的周期為，則，又因為函數是定義在上的偶函數，且當時，所以故選D【題目點撥】本題考查函數的基本性質，包括周期性，奇偶性，解題的關鍵是先求出函數的周期，屬于一般題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：利用條件概率公式，即可得出結論.詳解：由題意，，.故答案為：.點睛：本題考查條件概率，考查正態分布，考查計算能力，屬于中檔題.14、【解題分析】

先計算，歸納猜想【題目詳解】由，，，可得，，歸納猜想：故答案為【題目點撥】本題考查了數列通項公式的歸納猜想，意在考查學生的歸納猜想能力.15、-160【解題分析】二項式的展開式的通項為，．令，可得，即展開式中常數項為．答案：16、【解題分析】

畫出奇函數的圖像，將題意轉化為函數的圖象與直線的交點的橫坐標的和【題目詳解】由，得，則的零點就是的圖象與直線的交點的橫坐標.由已知，可畫出的圖象與直線（如下圖），根據的對稱性可知：，同理可得，則從而，即與的交點的橫坐標.由，解得，即的所有零點之和為.【題目點撥】本題考查了函數零點和問題，解題關鍵是轉化為兩個函數的交點問題，需要畫出函數的圖像并結合函數的性質來解答，本題需要掌握解題方法，掌握數形結合思想解題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析（2）①詳見解析②E(X)=2110【解題分析】

(1)補充列聯表，根據公式計算卡方值，進行判斷；（2）（ⅰ）每次購物時，對商品和服務都好評的概率為710，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二項分布，按照二項分布的公式進行計算即可得到相應的概率值；（ⅱ）按照二項分布的期望和方差公式計算即可【題目詳解】（1）由題意可得關于商品和服務評價的2×2列聯表：對服務好評對服務不滿意合計對商品好評14040180對商品不滿意101020合計15050200則K2由于7.407＜7.879，則不可以在犯錯誤概率不超過0.5％的前提下，認為商品好評與服務好評有關．（2）（ⅰ）每次購物時，對商品和服務都好評的概率為710且X的取值可以是0，1，2，3，則P(X=0)=(310P(X=2)=C32故X的分布列為X0123P27189441343（ⅱ）由于X～B（3，710），則E(X)=3×710【題目點撥】求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）取中點，連接，則平面即為所求平面；根據長度關系和平行關系可知四邊形是平行四邊形，得；又，利用線面平行判定定理和面面平行判定定理可證得平面平面，根據面面平行性質可證得結論；（Ⅱ）易知是邊長為的正三角形，從而根據角度關系可求得，結合，可利用線面垂直判定定理證得結論.【題目詳解】（Ⅰ）如圖，取中點，連接，則平面即為所求平面理由如下：，且四邊形是平行四邊形平面，平面平面，平面，平面平面平面，平面，且平面平面平面平面（Ⅱ）由（Ⅰ）四邊形是平行四邊形，則，是邊長為的正三角形，，即平面，平面平面，平面，平面【題目點撥】本題考查線面平行和面面平行判定定理與性質定理的應用、線面垂直關系的證明問題，考查學生對于基礎定理的掌握情況，屬于常考題型.19、（1）零點是-3，1（2）y=-x2-2x+3（3）k≤-6或k≥2時，g（x）在[-2，2]上是單調函數【解題分析】

(1)根據圖象，找函數圖象與橫軸交點的橫坐標即可求得函數的零點；(2)由頂點是-1,4可設函數為y=ax+12+4，再代入-3,0即可求得函數的解析式；(3)先化簡函數gx=-x2-2x+3-kx=-【題目詳解】（1）由圖可知，此二次函數的零點是-3，1（2）∵頂點是（-1，4）∴設函數為：y=a（x+1）2+4，∵（-3，0）在圖象上∴a=-1∴函數為y=-x2-2x+3（3）∵g（x）=-x2-2x+3-kx=-x2-（k+2）x+3∴圖象開口向下，對稱軸為x當-k+22≤-2，即k≥2時，當-k+22≥2，即k≤-6時，綜上所述k≤-6或k≥2時，g（x）在[-2，2]上是單調函數【題目點撥】本題主要考查二次函數的零點、二次函數的解析式、二次函數的單調性，屬于中檔題.二次函數的單調性問題，主要依據二次函數圖象的開口方向、對稱軸的位置進行分析討論求解．20、（1）；（2）；（3）點M為的中點，理由見解析【解題分析】

（1）設，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范圍．

（2）設在，三邊上的投影分別是，轉化求出，即可得到它的余弦值．

（3）設與的交點為，連接，說明平面，過作于K，延長后交所在的直線于點M，則BM⊥平面．通過，求解即可．【題目詳解】解：（1）設，則，

所以，

的取值范圍為；

（2）解：設在，三邊上的投影分別是，，，

則由于，．

，

，即，它的余弦值為

（3）解：設與的交點為．連接，則由以及，知平面，

于是面面，在面內過作于K，延長后交所在的直線于點M，則BM⊥平面，

在平面內，由，

知，又，∴．

這說明點M為的中點．【題目點撥】本題考查空間點線面距離的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，余弦定理的應用，考查轉化思想以及計算能力．21、（1）詳見解析（2）【解題分析】

（1）證明EF∥BC，從而BC∥平面DEF，結合AB⊥DF，AB⊥DE，推