2024屆湖南省常寧一中高二數學第二學期期末學業水平測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在的展開式中，的系數為（）A．-10 B．20 C．-40 D．502．已知一袋中有標有號碼、、的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號碼后放回，當三種號碼的卡片全部取出時即停止，則恰好取次卡片時停止的概率為（）A． B． C． D．3．已知滿足，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．14．已知，，則=（）A．2 B．-2 C． D．35．已知回歸方程，而試驗得到一組數據是，，，則殘差平方和是（）A．0.01 B．0.02 C．0.03 D．0.046．觀察下列各式：，則的末尾兩位數字為（）A．49 B．43 C．07 D．017．已知滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C．3 D．-38．某公司在年的收入與支出情況如下表所示：收入（億元）支出y（億元）根據表中數據可得回歸直線方程為，依此名計，如果年該公司的收入為億元時，它的支出為（）A．億元 B．億元 C．億元 D．億元9．設，，則（）A． B．C． D．10．將函數的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變），則所得到的圖象的解析式為（）A． B．C． D．11．把18個人平均分成兩組，每組任意指定正副組長各1人，則甲被指定為正組長的概率為（）A． B． C． D．12．設集合A={1,3,5}，B={-3,1,5}，則A∩B=（A．{1} B．{3} C．{1,3} D．{1,5}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個正方體的個頂點可以組成__________個非等邊三角形.14．在中，角的對邊分別為，其外接圓的直徑為，且滿足，則______________.15．已知隨機變量，且，則__________．16．已知函數，，若方程有個不等實根，則實數的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表商店名稱ABCDE銷售額x(千萬元)35679利潤額y(百萬元)23345（1）畫出散點圖．觀察散點圖，說明兩個變量有怎樣的相關性.(2)用最小二乘法計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程．(3)當銷售額為4(千萬元)時，估計利潤額的大小.其中18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（2）設點在上，點在上，求的最小值及此時的直角坐標.19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標方程；（2）若直線與圓相切，求的值.20．（12分）已知數列的前n項和為，滿足，且，.（1）求，，的值；（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法予以證明.21．（12分）時下，租車自駕游已經比較流行了．某租車點的收費標準為：不超過天收費元，超過天的部分每天收費元（不足天按天計算）．甲、乙兩人要到該租車點租車自駕到某景區游覽，他們不超過天還車的概率分別為和，天以上且不超過天還車的概率分別為和，兩人租車都不會超過天．（1）求甲所付租車費比乙多的概率；（2）設甲、乙兩人所付的租車費之和為隨機變量,求的分布列和數學期望.22．（10分）某企業為了解下屬某部門對本企業職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計該企業的職工對該部門評分不低于80的概率；（3）從評分在的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：根據二項式展開式的通項求的系數.詳解：由題得的展開式的通項為令5-r=2,則r=3,所以的系數為故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查二項式展開式的系數的求法，意在考查學生對該基礎知識的掌握水平和基本計算能力.(2)二項式通項公式：（）.2、B【解題分析】分析：由題意結合排列組合知識和古典概型計算公式整理計算即可求得最終結果.詳解：根據題意可知，取5次卡片可能出現的情況有種；由于第5次停止抽取，所以前四次抽卡片中有且只有兩種編號，所以總的可能有種；所以恰好第5次停止取卡片的概率為.本題選擇B選項.點睛：有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數．(1)基本事件總數較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區分排列與組合，以及計數原理的正確使用.3、C【解題分析】

令，利用導數可求得單調性，確定，進而得到結果.【題目詳解】令，則.，由得：；由得：，在上單調遞減，在上單調遞增，，即的最小值為.故選：.【題目點撥】本題考查函數最值的求解問題，關鍵是能夠利用導數確定函數的單調性，進而確定最值點.4、C【解題分析】

首先根據題中所給的函數解析式，求得，之后根據，從而求得，得到結果.【題目詳解】根據題意，可知，所以，所以，故選C.【題目點撥】該題考查的是有關分段函數根據函數值求參數的問題，在解題的過程中，首先求得，利用內層函數的函數值等于外層函數的自變量，代入函數解析式求得結果.5、C【解題分析】

因為殘差，所以殘差的平方和為（5.1－5）2＋（6.9－7）2＋（9.1－9）2＝0.03.故選C.考點：殘差的有關計算.6、B【解題分析】

通過觀察前幾項，發現末尾兩位數分別為49、43、01、07，以4為周期重復出現，由此即可推出的末尾兩位數字。【題目詳解】根據題意，得，發現的末尾兩位數為49，的末尾兩位數為43，的末尾兩位數為01，的末尾兩位數為07，（）；由于，所以的末兩位數字為43；故答案選B【題目點撥】本題以求的末尾兩位數的規律為載體，考查數列的通項公式和歸納推理的一般方法的知識，屬于基礎題。7、B【解題分析】

畫出可行域，通過截距式可求得最大值.【題目詳解】作出可行域，求得，，,通過截距式可知在點C取得最大值，于是.【題目點撥】本題主要考查簡單線性規劃問題，意在考查學生的轉化能力和作圖能力.目標函數主要有三種類型：“截距型”，“斜率型”，“距離型”，通過幾何意義可得結果.8、B【解題分析】，，代入回歸直線方程，，解得：，所以回歸直線方程為：，當時，支出為億元，故選B.9、A【解題分析】

根據對數函數的單調性可得,,根據不等式的性質可知;通過比較與1的大小關系,即可判斷,從而可選出正確答案.【題目詳解】解:,,則,故選:A.【題目點撥】本題主要考查了對數的運算，對數函數的單調性.在比較對數的大小時,常常結合對數函數的單調性比較大小.對于,若,則(1)當時,;(2)當時,;(3)當時,;若,則(1)當時,;(2)當時,;(3)當時,.10、B【解題分析】試題分析：函數，的圖象上所有點向左平移個單位長度得，再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍，得，選B.考點：三角函數圖像變換11、B【解題分析】

把18個人平均分成2組，再從每組里任意指定正、副組長各1人，即從9人中選一個正組長，甲被選定為正組長的概率，與組里每個人被選中的概率相等．【題目詳解】由題意知，把18個人平均分成2組，再從每組里任意指定正、副組長各1人，即從9個人中選一個正組長，∴甲被選定為正組長的概率是．故選B．【題目點撥】本題考查了等可能事件的概率應用問題，是基礎題目．12、D【解題分析】

根據交集定義求解．【題目詳解】由題意A∩B={1,5}．故選D．【題目點撥】本題考查集合的交集運算，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、48【解題分析】分析：從正方體的個頂點中人取三個點共有種取法，其中等邊三角形共有個，作差即可得結果.詳解：從正方體的個頂點中人取三個點共有種取法，其中等邊三角形共有個，所以非等邊三角形共有個，故答案為.點睛：本題主要考查組合數的應用，屬于簡單題.14、【解題分析】

先利用余弦定理化簡已知得，所以，再利用正弦定理求解.【題目詳解】由及余弦定理，得，得，得，即，所以，所以.由正弦定理，得，則.故答案為【題目點撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.15、128【解題分析】分析：根據二項分布的期望公式，求得，再根據方差公式求得，再根據相應的方差公式求得結果.詳解：隨機變量，且，所以，且，解得，所以，所以，故答案是.點睛：該題考查的是有關二項分布的期望和方差的問題，在解題的過程中，注意對二項分布的期望和方差的公式要熟記，正確求解p的值是解題的關鍵.16、.【解題分析】

根據和的圖象，可得當且僅當有四解時，符合題意．令，此時，，，，根據判別式可列出關于的不等式，進而可求的取值范圍.【題目詳解】解：，，可得在遞增，在遞減，則的圖象如下：當時，圖象如圖，此時無解，不符合題意當時，圖象如圖，此時無解，不符合題意當時，函數的圖象如下：令，當時，方程只有一解，當且僅當有四解時，符合題意．此時四解，，，．則，解得.綜上，實數的取值范圍是.故答案為:.【題目點撥】本題考查了復合函數的零點問題，考查了數形結合的思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）（3）2.4(百萬元)【解題分析】

（1）根據所給的這一組數據，得到5個點的坐標，把這幾個點的坐標在直角坐標系中描出對于的點，即可得到散點圖，可判斷為正相關；（2）根據這組數據，利用最小二乘法求得的值，即可求解回歸直線的方程；（3）利用作出的回歸直線方程，把的值代入方程，估計出對應的的值.【題目詳解】（1）根據所給的這一組數據，得到5個點的坐標：，把這幾個點的坐標在直角坐標系中描出對應的點，得到如下的散點圖：（2）設回歸直線的方程是：，由表格中的數據，可得，又由，即∴y對銷售額x的回歸直線方程為（3）當銷售額為4(千萬元)時，利潤額為：＝2.4(百萬元).【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解及其應用，其中解答中正確求得線性回歸直線的方程的系數是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.18、（1）的普通方程為：，的直角坐標方程為：（2）的最小值為，此時的直角坐標為【解題分析】

（1）直接利用參數方程和極坐標方程公式得到答案.（2）最小值為點到直線的距離，,再根據三角函數求最值.【題目詳解】（1）：，化簡：.：，由，，化簡可得：.所以的普通方程為：，的直角坐標方程為：；（2）由題意，可設點的直角坐標為，因為是直線，所以的最小值，即為到的距離的最小值，利用三角函數性質求得最小值.，其中，，當且僅當，時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為.【題目點撥】本題考查了參數方程，極坐標方程，利用三角函數求最小值可以簡化運算.19、（1）,；（2）．【解題分析】

（1）根據參數方程化普通方程、極坐標方程化直角坐標方程的方法可直接得到結果；（2）利用直線與圓相切可得圓心到直線的距離等于半徑，從而構造方程求得.【題目詳解】（1）由題意得：直線的普通方程為：圓的極坐標方程可化為：圓的直角坐標方程為：，即：（2）由（1）知，圓圓心坐標為；半徑為與相切，解得：【題目點撥】本題考查參數方程化普通方程、極坐標方程化直角坐標方程、根據直線與圓的位置關系求解參數值的問題；關鍵是能夠明確直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，從而在直角坐標系中來求解問題.20、（1），，（2）猜想，證明見解析.【解題分析】

1利用代入計算，可得結論；2猜想，然后利用歸納法進行證明，檢驗時等式成立，假設時命題成立，證明當時命題也成立．【題目詳解】1，且，當時，，，當時，，，或舍，當時，，，或舍，，，；2由1猜想，下面用數學歸納法證明：①當時，，顯然成立，②假設時，結論成立，即，則當時，由，有，，，或舍，時結論成立，由①②知當，均成立．【題目點撥】本題考查了歸納法的證明，歸納法一般三個步驟：驗證成立；假設成立；利用已知條件證明也成立，從而求證，這是數列的通項一種常用求解的方法，屬中檔題．21、（1）；（2）見解析【解題分析】

（1）將情況分為甲租天以上，乙租不超過天；甲租天，乙租天兩種情況；分別在兩種情況下利用獨立事件概率公式可求得對應概率，加和得到結果；（2）首先確定所有可能的取值，再求得每個取值所對應的概率，從而得到分布列；利用數學期望計算公式求得期望.【題目詳解】（1）若甲所付租車費比乙多，則分為：甲租天以上，乙租不超過天；甲租天，乙租天兩種情況①甲租天以上，乙租不超過天的概率為：②甲租天，乙租天的概率為：甲所付租車費比乙多的概率為：（2）甲、乙兩人所付的租車費之和所有可能的取值為：則；；；；的分布列為：數學期望【題目點撥】本題考查獨立事件概率的求解、離散型隨機變量的分