2024屆云南省華寧一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)（其中）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．區(qū)間[0，5]上任意取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則滿足x[0，1]的概率為A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．4．已知實(shí)數(shù)滿足條件，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．《中國詩詞大會(huì)》（第二季）亮點(diǎn)頗多，十場(chǎng)比賽每場(chǎng)都有一首特別設(shè)計(jì)的開場(chǎng)詩詞在聲光舞美的配合下，百人團(tuán)齊聲朗誦，別有韻味．若《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場(chǎng)，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場(chǎng)的排法有（）A．288種 B．144種 C．720種 D．360種7．給出下列三個(gè)命題：①“若，則”為假命題；②若為真命題，則,均為真命題；③命題，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．38．分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)稱為單位分?jǐn)?shù)，1可以分拆為若干個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和：1=12+13+16，A．228 B．240 C．260 D．2739．已知函數(shù)，則的值為（）A． B．1 C． D．010．下面由火柴棒拼出的一列圖形中，第n個(gè)圖形由n個(gè)正方形組成．通過觀察可以發(fā)現(xiàn)第10個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)是（）A．30 B．31 C．32 D．3411．某次考試共有12個(gè)選擇題，每個(gè)選擇題的分值為5分，每個(gè)選擇題四個(gè)選項(xiàng)且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，學(xué)生對(duì)12個(gè)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選擇項(xiàng)都沒有把握，最后選擇題的得分為分，學(xué)生對(duì)12個(gè)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選項(xiàng)都能判斷其中有一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，對(duì)其它三個(gè)選項(xiàng)都沒有把握，選擇題的得分為分，則的值為()A． B． C． D．12．設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的參數(shù)方程是，（為參數(shù)），直線與圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，面積的最大值為__________.14．試寫出的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)_____．15．如圖是一算法的偽代碼,則輸出值為____________.16．若隨機(jī)變量，且，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某中學(xué)高中畢業(yè)班的三名同學(xué)甲、乙、丙參加某大學(xué)的自主招生考核，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次.若考核為合格，則給予分的降分資格；若考核為優(yōu)秀，則給予分的降分資格.假設(shè)甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等次相互獨(dú)立.（1）求在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；（2）記在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)所得降分之和為隨機(jī)變量，請(qǐng)寫出所有可能的取值，并求的值.18．（12分）已知函數(shù).（1）求的最大值；（2）若恒成立，求的值；（3）在（2）的條件下,設(shè)在上的最小值為求證：.19．（12分）如圖，在矩形中，為CD的中點(diǎn)，將沿AE折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.20．（12分）已知橢圓C：，點(diǎn)P（0，1）.（1）過P點(diǎn)作斜率為k（k＞0）的直線交橢圓C于A點(diǎn)，求弦長(zhǎng)｜PA｜（用k表示）；（2）過點(diǎn)P作兩條互相垂直的直線PA，PB，分別與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，試問：直線AB是否經(jīng)過一定點(diǎn)？若存在，則求出定點(diǎn)，若不存在，則說明理由？21．（12分）已知函數(shù)．（1）若在為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在的最小值為，求的值域．22．（10分）（1）用分析法證明：;（2）如果是不全相等的實(shí)數(shù)，若成等差數(shù)列，用反證法證明：不成等差數(shù)列.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)增減性與對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性來進(jìn)行判斷求解【題目詳解】，為減函數(shù)，若底數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，與題不符，舍去若底數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，的定義域滿足，，因在區(qū)間上單調(diào)遞減，故有，所以答案選D【題目點(diǎn)撥】復(fù)合函數(shù)的增減性滿足同增異減，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)中底數(shù)不能確定的情況，需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論，再進(jìn)行求解2、A【解題分析】

利用幾何概型求解即可.【題目詳解】由幾何概型的概率公式得滿足x[0，1]的概率為.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查幾何概型的概率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.3、C【解題分析】分析：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得首項(xiàng)和公差，然后可求出值。詳解：數(shù)列為等差數(shù)列，，，所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得，解方程組得所以所以選C點(diǎn)睛：本題考查了等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題。4、D【解題分析】

如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到答案.【題目詳解】如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，，則，表示直線軸截距的相反數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)直線過，即，時(shí)有最小值為；當(dāng)直線過，即時(shí)有最大值為，故.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.5、B【解題分析】

由函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，畫出與的大致圖象，根據(jù)使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，得到，即可求解.【題目詳解】由題意，函數(shù)（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)椋院瘮?shù)與函數(shù)唯一交點(diǎn)為，又因?yàn)椋遥裕春瘮?shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，又因?yàn)槭亲钚≌芷跒?，最大值為的正弦函數(shù)，所以可得與函數(shù)的大致圖象，如圖所示，所以要使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)焦點(diǎn)，則，因?yàn)椋瑒t，，所以，解得，又因?yàn)椋詫?shí)數(shù)的范圍為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，其中解答中把唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，結(jié)合圖象進(jìn)行分析研究是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.6、B【解題分析】

根據(jù)題意分步進(jìn)行分析：①用倍分法分析《將進(jìn)酒》，《望岳》和另外兩首詩詞的排法數(shù)目；②用插空法分析《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》的排法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案【題目詳解】根據(jù)題意分步進(jìn)行分析：①將《將進(jìn)酒》，《望岳》和另外兩首詩詞的首詩詞全排列，則有種順序《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，這首詩詞的排法有種②，這首詩詞排好后，不含最后，有個(gè)空位，在個(gè)空位中任選個(gè)，安排《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》，有種安排方法則后六場(chǎng)的排法有種故選【題目點(diǎn)撥】本題考查的是有關(guān)限制條件的排列數(shù)的問題，第一需要注意先把不相鄰的元素找出來，將剩下的排好，這里需要注意定序問題除階乘，第二需要將不相鄰的兩個(gè)元素進(jìn)行插空，利用分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果，注意特殊元素特殊對(duì)待。7、B【解題分析】試題分析：①若，則且，所以①正確；②若為真命題，則，應(yīng)至少有一個(gè)是真命題，所以②錯(cuò)；③正確．考點(diǎn)：1.四種命題；2.命題的否定．8、C【解題分析】

使用裂項(xiàng)法及m，n的范圍求出m，n的值，從而求出答案．【題目詳解】∵1=1∴1=1∴1∵m?n，m，n∈N∴m=13，n=20，所以mn=260.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理和裂項(xiàng)相消法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

求出的導(dǎo)函數(shù)，代入即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，所以，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)函的四則運(yùn)算，比較基礎(chǔ).10、B【解題分析】每個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)為4，公差為3.其數(shù)列依次為4,7,10,13,…,所以第10個(gè)圖形中火柴棒的根數(shù)為.11、A【解題分析】

依題意可知同學(xué)正確數(shù)量滿足二項(xiàng)分布，同學(xué)正確數(shù)量滿足二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的方差計(jì)算公式分別求得兩者的方差，相減得出正確結(jié)論.【題目詳解】設(shè)學(xué)生答對(duì)題的個(gè)數(shù)為，則得分（分），，，所以，同理設(shè)學(xué)生答對(duì)題的個(gè)數(shù)為，可知,，所以，所以.故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)分布的識(shí)別，考查方差的計(jì)算，考查閱讀理解能力，考查數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.已知隨機(jī)變量分布列的方差為，則分布列的方差為.12、B【解題分析】

分析：作圖，D為MO與球的交點(diǎn)，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得．詳解：如圖所示，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大此時(shí)，,點(diǎn)M為三角形ABC的中心中，有故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計(jì)算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

通過將面積轉(zhuǎn)化為以AB為底，P到AB的距離為高即可求解.【題目詳解】直線的直角坐標(biāo)方程為：，圓的直角坐標(biāo)方程為：，即圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1.因此圓心到直線的距離為，因此，設(shè)P到線段AB的高為h，則，因此.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，面積最值問題.意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度中等.14、【解題分析】

Tr+1＝（﹣1）rx7﹣2r，r必須為偶數(shù)，分別令r＝0，2，4，6，經(jīng)過比較即可得出【題目詳解】，r必須為偶數(shù)，分別令r＝0，2，4，6，其系數(shù)分別為：1，,,經(jīng)過比較可得：r＝4時(shí)滿足條件，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、4【解題分析】分析：按照循環(huán)體執(zhí)行，直到跳出循環(huán)詳解：第一次循環(huán)后：S=7，n=6；第二次循環(huán)后：S=13，n=5；第三次循環(huán)后：S=18，n=4；不成立，結(jié)束循環(huán)所以輸出值為4點(diǎn)睛：程序題目在分析的時(shí)候一定要注意結(jié)束條件，逐次執(zhí)行程序即可.16、【解題分析】

由條件求得，可得正態(tài)分布曲線的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．求得的值，根據(jù)對(duì)稱性，即可求得答案.【題目詳解】隨機(jī)變量，且，可得，正態(tài)分布曲線的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）所有可能的取值為、、、，.【解題分析】

（1）計(jì)算出三名同學(xué)考核均為合格的概率，利用對(duì)立事件的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率；（2）根據(jù)題意得出所有可能的取值為、、、，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率計(jì)算公式能求出．【題目詳解】（1）由題意知，三名同學(xué)考核均為合格的概率為，因此，甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率為；（2）由題意知，隨機(jī)變量的所有可能取值有、、、，則，，.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中等題．18、（1）；（2）2；（3）證明見解析.【解題分析】

（1），判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解最大值；（2）要使成立必須，，判斷單調(diào)性求解即可得解（3），得，令判斷其單調(diào)性進(jìn)而求得，得，再求的范圍進(jìn)而得證【題目詳解】（1）,由得；得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故，即；（2）要使成立必須.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以滿足條件的只有2，即.（3）由（2）知，所以.令，則，是上的增函數(shù)；又，所以存在滿足，即，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.所以，即.所以，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查了零點(diǎn)存在定理和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，在（3）的證明過程中，利用零點(diǎn)存在定理轉(zhuǎn)化是難點(diǎn)屬中檔題．19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）由題可得，即，由平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，從而證明平面平面；（2）結(jié)合（1），如圖建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，由二面角的余弦公式求出余弦值，從而可得到平面與平面所成二面角的正弦值．【題目詳解】（1）證明：設(shè)，在矩形中，由為的中點(diǎn)，易求得：，所以．所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫云矫妫制矫妫云矫嫫矫?（2）設(shè)，取中點(diǎn)，連接﹐由，得，所以．又平面平面，平面平面，故平面．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)檩S，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得：.，由（1）知平面，故可取平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即不妨取，得，設(shè)平面與平面所成二面角為θ，，則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查立體幾何中面面垂直的證明以及二面角的正弦值的求法，考查利用空間向量解決問題的能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）直線AB過定點(diǎn).【解題分析】

（1）先由題意得到直線PA的方程，聯(lián)立直線與橢圓，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，再由弦長(zhǎng)公式，即可求出結(jié)果；（2）先由題意，得到，直線的斜率必存在，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，再由，結(jié)合題意，求出，進(jìn)而可得出結(jié)果．【題目詳解】解：（1）把代入得：，所以（2）由題意可以，直線的斜率必存在，設(shè)直線為，有,所以，即直線AB過定點(diǎn)【題目點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的弦長(zhǎng)，以及橢圓中的定點(diǎn)問題，熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，即可求解，屬于常考題型.21、(1).(2).【解題分析】分析：（1）原問題等價(jià)于在上恒成立，據(jù)此可得實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）由函數(shù)的解析式二次求導(dǎo)可得在上是增函數(shù)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，據(jù)此可得的最小值構(gòu)造函數(shù)，討論可得其值域?yàn)?詳解：（1）在上恒成立，設(shè)則在為增函