4.1.1幾類簡單幾何體(1)教材要點要點一空間幾何體1．空間幾何體的定義如果我們只考慮物體的________和________，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形稱為空間幾何體．2．空間幾何體的分類多面體旋轉體定義由若干個____________(包括三角形)所圍成的封閉體．把平面上一條封閉曲線內的區(qū)域繞著該平面內的一條________旋轉而成的幾何體．圖形相關概念面：圍成多面體的各個多邊形；棱：兩個面的公共邊；頂點：棱和棱的交點．軸：定直線稱為旋轉軸．狀元隨筆(1)任意一個幾何體都是由點、線、面構成的．點、線、面是構成幾何體的基本元素．我們還可以從運動的觀點來理解空間基本圖形之間的關系．在幾何中，可以把線看成點運動的軌跡，如果點運動的方向始終不變，那么它的軌跡就是一條直線或線段；如果點運動的方向時刻在變化，則運動的軌跡是一條曲線或曲線的一段．同樣，一條線運動的軌跡可以是一個面，面運動的軌跡(經過的空間部分)可以形成一個幾何體．即點動成線，線動成面，面動成體．(2)多面體與旋轉體的異同相同點：兩者都是封閉的幾何體，包括表面及其內部的所有點．不同點：多面體的表面是平面多邊形，旋轉體的側面是曲面，底面為圓．要點二多面體多面體定義圖形及表示相關概念特殊幾何體棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是______________，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相________，由這些面所圍成的幾何體叫作棱柱．如圖可記作：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個互相________的面；側面：其余各面；側棱：相鄰兩個側面的公共邊；頂點：側棱與底面的公共點．直棱柱：側面都是________的棱柱；正棱柱：底面是________多邊形的直棱柱；長方體：底面和側面都是矩形的棱柱；正方體：所有棱長都相等的長方體；平行六面體：兩個底面是平行四邊形的棱柱．棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個________的三角形，這樣的幾何體叫作棱錐．如圖可記作：棱錐S-ABCD側面：具有一個________的三角形的面；頂點：這個公共點；側棱：相鄰兩個側面的公共邊；底面：除了側面外，剩下的那一個多邊形面．正棱錐：如果棱錐的底面是正多邊形，將底面放置后，它的頂點又在過正多邊形________的鉛垂線上．棱臺過棱錐任一側棱上不與側棱端點重合的一點，作一個與底面________的平面去截棱錐，截面和棱錐底面之間的這部分幾何體叫作棱臺．如圖可記作：棱臺ABCD-A′B′C′D′上底面：截面；下底面：原棱錐的底面；側面：其余各面；側棱：相鄰側面的公共邊．正棱臺：由正棱錐截得的棱臺．基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)棱柱的所有側棱都平行且相等．()(2)棱柱的兩個底面是全等的多邊形，側面是平行四邊形．()(3)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．()(4)正三棱錐也稱為正面體．()2．下面圖形中，為棱錐的是()A.①③B．①③④C．①②④D．①②3．下列圖形中，是棱臺的是()4．下面屬于多面體的是________(填序號)．①建筑用的方磚；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．題型1棱柱的結構特征例1(1)下面的幾何體中是棱柱的有()A.3個B．4個C．5個D．6個(2)(多選)下列關于棱柱的說法中正確的是()A．所有的面都是平行四邊形B．每一個面都不會是三角形C．兩底面平行，并且各側棱也平行D．被平面截成的兩部分可以都是棱柱方法歸納判斷棱柱的兩種方法1．扣定義：判定一個幾何體是否是棱柱的關鍵是棱柱的定義．①看“面”，即觀察這個多面體是否有兩個互相平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行．2．舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或實物模型、圖片等不吻合，給予排除.題型2棱錐、棱臺的結構特征例2(1)(多選)下列關于棱錐、棱臺的說法正確的是()A．棱臺的側面一定不會是平行四邊形B．棱錐的側面只能是三角形C．由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐D．棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐(2)如圖，在三棱臺A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，則剩余部分是()A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．三棱臺方法歸納判斷棱錐、棱臺形狀的兩種方法(1)舉反例法結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確．(2)直接法棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側棱相交于一點延長后相交于一點題型多面體的平面展開圖例3(1)某同學制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的平面展開圖應該為(對面是相同的圖案)()(2)如圖所示，長方體的長、寬、高分別為5cm，4cm，3cm.一只螞蟻從A點到C1點沿著表面爬行的最短路程是多少？方法歸納判斷棱柱的兩種方法1．繪制展開圖：繪制多面體的平面展開圖要結合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型．在解題過程中，常常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側面，便可得到其平面展開圖．2．由展開圖復原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個多面體展開的，則可把上述過程逆推，同一個幾何體的平面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個平面展開圖．跟蹤訓練1(多選)如圖所示，不是正四面體(各棱長都相等的三棱錐)的展開圖的是()易錯辨析憑直觀感覺判斷幾何體致誤例4對如圖所示的幾何體描述正確的是________(填序號)．①這是一個六面體；②這是一個四棱臺；③這是一個四棱柱；④此幾何體可由三棱柱截去一個小三棱柱而得到；⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱而得到．解析：因為該幾何體有六個面，屬于六面體，①正確．因為側棱的延長線不能交于一點，②錯誤．如果把幾何體正面或背面作為底面就會發(fā)現是一個四棱柱，③正確．④⑤都正確，如圖(1)(2)所示．答案：①③④⑤易錯警示易錯原因糾錯心得易直觀上感覺是棱臺，忽略此幾何體側棱的延長線不能相交于一點，錯選②.解答關于空間幾何體概念的判斷時，要注意緊扣定義，這就需要我們熟悉各種空間幾何體概念的內涵和外延，切記勿只憑圖形主觀臆斷．課堂十分鐘1．(多選)下列命題中，正確的命題是()A．棱柱的側面都是平行四邊形B．棱錐的側面為三角形，且所有側面都有一個公共頂點C．多面體至少有四個面D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺2．用一個平面去截一個三棱錐，截面形狀是()A．四邊形B．三角形C．三角形或四邊形D．不可能為四邊形3．在下列四個平面圖形中，每個小四邊形皆為正方形，其中可以沿相鄰正方形的公共邊折疊圍成一個正方體的圖形是()4．一個棱柱至少有________個面，頂點最少的一個棱臺有________條側棱．5.如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1.(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？如果不是，說明理由．4．1.1幾類簡單幾何體(1)新知初探·課前預習要點一1．形狀大小2．平面多邊形定直線要點二平行四邊形平行平行矩形正公共頂點公共頂點中心平行[基礎自測]1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．解析：根據棱錐的定義和結構特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐，④是棱錐．答案：C3．解析：由棱臺的定義知，A、D項的側棱延長線不交于一點，所以不是棱臺；B項中兩個面不平行，不是棱臺，只有C項符合棱臺的定義．答案：C4．解析：①②屬于多面體，③④屬于旋轉體．答案：①②題型探究·課堂解透例1解析：(1)棱柱有三個特征：1〉有兩個面相互平行；2〉其余各面是四邊形；3〉側棱相互平行．本題所給幾何體中⑥⑦不符合棱柱的三個特征，而①②③④⑤符合．(2)棱柱的底面不一定是平行四邊形，A錯誤；棱柱的底面可以是三角形，B錯誤；由棱柱的定義易知，C正確；棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個棱柱，D正確．所以正確說法的序號是CD.答案：(1)C(2)CD例2解析：(1)棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形，A項正確；由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形，B項正確；由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐，C項正確；如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐，D項錯誤．(2)由題圖知，在三棱臺A′B′C′-ABC中，截去三棱錐A′-ABC，剩下的部分如圖所示，故剩余部分是四棱錐A′-BB′C′C.答案：(1)ABC(2)B例3解析：(1)因為是對面圖案均相同的正方體禮品盒，所以當盒子展開后相同的圖案就不可能靠在一起，只有A中沒有相同的圖案靠在一起．(2)依題意，長方體ABCD-A1B1C1D1的表面可有如圖所示的三種展開圖．展開后，A，C1兩點間的距離分別為：3+42+52＝74(cm)，5+32+42＝45(cm)，5+42+答案：(1)A(2)見解析跟蹤訓練1解析：可選擇陰影三角形作為底面進行折疊，發(fā)現A、B可折成正四面體，C、D不論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成正四面體．答案：CD[課堂十分鐘]1．解析：根據各種幾何體的概念與結構特征判斷命題的真假．A、B項均為真命題；對于C項，一個圖形要成為空間幾何體，則它至少需有4個頂點，3個頂點只能構成平面圖形，當有4個頂點時，可圍成4個面，所以一個多面體至少應有4個面，而且這樣的面必是三角形，故C項也是真命題；對于D項，只有當截面與底面平行時才對．答案：ABC2．解析：按如圖①所示用一個平面去截三棱錐，截面是三角形；按如圖②所示用一個平面去截三棱錐，截面是四邊形．答案：C3．解析：動手將四個選項中的平面圖形折疊，看哪一個可以折疊圍成正方體即可．答案：C4．解析