7.3離散型隨機變量的數字特征7.3.1離散型隨機變量的均值A級必備知識基礎練1.若離散型隨機變量X的分布列為X01Paa則X的均值E(X)等于()A.2 B.2或12 C.12 D2.若隨機變量ξ的分布列如表所示,則E(ξ)的值為()ξ012345P2x3x7x2x3xxA.118 B.19 C.2093.若隨機變量X的分布列如下表,則E(5X+4)等于()X024P0.30.20.5A.16 B.11 C.2.2 D.2.34.口袋中有編號分別為1,2,3的三個大小和形狀相同的小球,從中任取2個,則取出的球的最大編號X的均值為()A.13 B.23 C.2 D5.甲、乙、丙三人各打靶一次,若甲打中的概率為13,乙、丙打中的概率均為t4(0<t<4),若甲、乙、丙都打中的概率是316,設ξ表示甲、乙兩人中中靶的人數,則ξ的均值是A.14 B.25 C.1 D6.某射手射擊所得環數ξ的分布列如下.ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)=8.9,則y的值為.

7.離散型隨機變量X的可能取值為1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,則a=,b=.

8.為了整頓道路交通秩序,某地考慮將對行人闖紅燈進行處罰.為了更好地了解市民的態度,在普通行人中隨機選取了200人進行調查,得到如下數據:處罰金額x/元05101520會闖紅燈的人數y8050402010(1)若用表中數據所得頻率代替概率,則處罰10元時與處罰20元時行人會闖紅燈的概率的差是多少?(2)若從這5種處罰金額中隨機抽取2種不同的金額進行處罰,在兩個路口進行試驗.①求這兩種金額之和不低于20元的概率;②若用X表示這兩種金額之和,求X的分布列和均值.B級關鍵能力提升練9.某船隊若出海后天氣好,可獲得5000元;若出海后天氣壞,將損失2000元;若不出海也要損失1000元.根據預測知天氣好的概率為0.6,則出海的期望效益是()A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2600元10.某城市有甲、乙、丙3個旅游景點,一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4,0.5,0.6,且此人是否游覽哪個景點互不影響,設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值,則E(ξ)等于()A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.111.(多選題)已知隨機變量ξ的分布列是ξ102Psinsincosα其中α∈0,π2,則下列表述正確的是()A.sinα4+sinαB.cosα=35,sinα=C.E(ξ)=1D.以上均不正確12.(多選題)設p為非負實數,隨機變量X的分布列為X012P12p1則下列說法正確的是()A.p∈0,12 B.E(X)最大值為32C.p∈0,14 D.E(X)最大值為5213.設l為平面上過點(0,1)的直線,l的斜率k等可能地取22,3,52,0,52,3,22,用ξ表示坐標原點到l的距離,則隨機變量ξ的均值E(ξ)14.(2022浙江金華模擬)袋中原有3個白球和2個黑球,每次從中任取2個球,然后放回2個黑球.設第一次取到白球的個數為ξ,則E(ξ)=,第二次取到1個白球1個黑球的概率為.

15.某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽,A中學推薦了3名男生、2名女生,B中學推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學生一起參加集訓.由于集訓后隊員水平相當,從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊.(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率;(2)某場比賽前,從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽.設X表示參賽的男生人數,求X的分布列和均值.16.某城市出租汽車的起步價為10元,行駛路程不超過4km時租車費為10元,若行駛路程超出4km,則按每超出1km加收2元計費(超出不足1km的部分按1km計).從這個城市的民航機場到某賓館的路程為15km.某司機經常駕車在機場與此賓館之間接送旅客,由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉換成行車路程(這個城市規定,每累計停車5分鐘按1km路程計費),這個司機一次接送旅客的行車路程ξ是一個隨機變量.設他所收租車費為η.(1)求租車費η關于行車路程ξ的關系式;(2)若隨機變量ξ的分布列為ξ15161718P0.10.50.30.1求所收租車費η的均值;(3)已知某旅客實付租車費38元,而出租汽車實際行駛了15km,問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘?C級學科素養創新練17.從一批含有13件正品、2件次品的產品中不放回地抽3次,每次抽取1件,設抽取的次品數為ξ,則E(5ξ+1)=()A.2 B.1 C.3 D.47.3.1離散型隨機變量的均值1.C由分布列的性質知,a2+a22=1,解得a=1或所以E(X)=0×12+2.C根據概率和為1,可得x=118E(ξ)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=203.A由題中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故選A.4.D依題意X=2,3,所以P(X=2)=1C32=13,P所以E(X)=2×13+5.D∵3∴t=3(t=3舍去).列出分布列,利用均值公式計算.記ξ的所有可能取值為0,1,2,ξ012P171∴E(ξ)=712+26.0.4由x解得y=0.4.7.1100易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3.又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1,②由①②,得a=110,b=08.解(1)由題意可知,處罰10元時行人會闖紅燈的概率與處罰20元時行人會闖紅燈的概率的差是40(2)①設“兩種金額之和不低于20元”的事件為A,從5種金額中隨機抽取2種,總的抽選方法共有C52=10種,滿足金額之和不低于20元的有6種,故所求概率P(A)②根據條件,X的可能取值為5,10,15,20,25,30,35,分布列為X5101520253035P1111111故E(X)=5×110+10×110+15×15+20×15+25×19.B出海的期望效益為5000×0.6+(10.6)×(2000)=3000800=2200(元).10.A隨機變量ξ的取值有1,3兩種情況,ξ=3表示三個景點都游覽了或都沒有游覽,所以P(ξ=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,P(ξ=1)=10.24=0.76,所以隨機變量ξ的分布列為ξ13P0.760.24E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48.11.ABC對于A,由隨機變量的分布列的性質,得sinα4+sinα4對于B,由sinα4+sinα4+cosα=1,得sinα聯立sin得5cos2α8cosα+3=0,解得cosα=35或cosα=1(舍去),又α∈0,π2,則sinα=45對于C,E(ξ)=sinα4+2cosα=14×4512.AB由表可得0≤12-p≤12,均值E(X)=0×12p+1×p+2×12=p+當且僅當p=12時,E(X)最大值=13.47當l的斜率k為±22時,直線l的方程為±22xy+1=0,此時坐標原點到l的距離ξ=當k為±3時,ξ=12;當k為±52時,ξ=當k為0時,ξ=1.由古典概型的概率公式可得ξ的分布列為ξ1121P2221故E(ξ)=13×214.652750P(ξ=0)=C2P(ξ=1)=C2P(ξ=2)=C3故E(ξ)=0×110+1×3第二次取到1個白球1個黑球的概率為P=115.解(1)由題意知,參加集訓的男生、女生各有6名.參賽學生全從B中學抽取(等價于A中學沒有學生入選代表隊)的概率為C因此,A中學至少有1名學生入選代表隊的概率為11(2)根據題意,X的可能取值為1,2,3.P(X=1)=C31C33C64P(X=3)=C所以X的分布列為X123P131E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×15+2×35+316.解(1)依題意得,η=2(ξ4)+10,即η=2ξ+2.(2)E(ξ)=15×0.1+16×0.5+17×0.3+18×0.1=16.4