第二節(jié)初等函數(shù)的導數(shù)一、按定義求導數(shù)三、反函數(shù)的求導法則四、復合函數(shù)的導數(shù)二、函數(shù)四則運算的求導法則五、隱函數(shù)的求導法則六、對數(shù)求導法七、初等函數(shù)的導數(shù)八、高階導數(shù)1一、按定義求導數(shù)１．常數(shù)的導數(shù)2．冪函數(shù)的導數(shù)所以23正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的導數(shù)即即同理34．對數(shù)函數(shù)的導數(shù)即特別地，時4二、函數(shù)四則運算的求導法則5證(1)6證(3)7推論8例2-5已知函數(shù),求例2-6已知函數(shù),求解解9解例2-7已知函數(shù),求同理可得即10解同理可得即例2-8已知函數(shù),求11例2-9已知函數(shù),求解12三、反函數(shù)的求導法則定理2-1即：反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù).13于是有證明即14例2-10解即特別地,當時,15解同理可得例2-11即16四、復合函數(shù)的導數(shù)定理2-2

即

因變量對自變量求導，等于因變量對中間變量求導，乘以中間變量對自變量求導.(鎖鏈法則)或證明則有17推廣則復合函數(shù)的導數(shù)為或18解解例2-12已知函數(shù),求例2-13已知函數(shù),求19例2-14已知函數(shù),求

比較熟練后,中間變量不必寫出來,直接按鎖鏈法則對復合函數(shù)求導.解20

例2-15

證明冪函數(shù)的求導公式對任意實數(shù)指數(shù)成立.證明將化為,則例如,21例2-16已知函數(shù),求解為冪指函數(shù),將其化為,則例2-17已知函數(shù),求解22例2-18放射性同位素碘廣泛用來研究甲狀腺的功能.現(xiàn)將含量為的碘通過靜脈推入病人的血液中,血液中時刻碘的含量為(其中為正常數(shù)),試求血液中碘的減少速率.解由上可知,這表明碘的減少速率與它當時所存在的量成正比.23解例2-1924五、隱函數(shù)的求導法則

如果聯(lián)系兩個變量和的函數(shù)式是由方程來確定的，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù).隱函數(shù)的顯化例如（顯化）（不能顯化）問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?

直接從方程兩邊來求導,稱為隱函數(shù)的求導法則.25

例2-20

已知函數(shù)是由橢圓方程所確定的,求解方程兩邊分別關(guān)于求導,由復合函數(shù)求導法則和四則運算法則有解得26

例2-21

已知函數(shù)是由方程確定的.求和解方程兩邊分別關(guān)于求導,由復合函數(shù)求導法則和四則運算法則有解得所以27

例2-22

設(shè)生物群體總數(shù)的生長規(guī)律為其中均為常數(shù),且.試求生長率解將寫成如下形式兩邊對求導得整理得28六、對數(shù)求導法

方法:

先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù).適用范圍:解兩邊取對數(shù)，得兩邊對求導，得例2-23已知函數(shù),求29所以解兩邊取對數(shù)，得例2-24已知函數(shù),求301.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式七、初等函數(shù)的導數(shù)312.函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設(shè))(),(xvvxuu==可導，則（1）vuvu￠￠=￠)(,（2）uccu￠=￠)(（3）vuvuuv￠+￠=￠)(,（4）)0()(21￠-￠=￠vvvuvuvu.(是常數(shù))或3.復合函數(shù)的導數(shù)32八、高階導數(shù)記作三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù),二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),33二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù).例2-25已知指數(shù)函數(shù)(為常數(shù)),求解例2-26已知次多項式求的各階導數(shù).解34例2-27