變量與函數教學設計

變量與函數教學設計1

教學目標

1、使學生會發覺、提出函數的實例，并能分清實例中的常量和變量、自變量與函數。

2、理解函數的定義，能應用方程思想列出實例中的等量關系。

3、培育學生用數學學問解決實際問題的力量。

教學重點：函數的定義與一一對應關系

教學難點：函數的定義與自變量的定義域

教學方法：啟發式教學、探究式教學

教學過程

一、由以下問題導入新課

問題l、右圖(一)是某日的氣溫的變化圖

看圖答復：

1．這天的6時、10時和14時的氣溫分別是多少?任意給出這天中的某一時刻，你能否說出這一時刻的氣溫是多少嗎?

2．這一天中，最高氣溫是多少?最低氣溫是多少?

3．這一天中，什么時段的氣溫在漸漸上升?什么時段的氣溫在漸漸降低?

總結：從圖中我們可以看出，隨著時間t(時)的變化，相應的氣溫T(℃)也隨之變化。

問題2一輛汽車以30千米／時的速度行駛，行駛的路程為s千米，行駛的時間為t小時，那么，s與t具有什么關系呢?

問題3設圓柱的底面直徑與高h相等，求圓柱體積V的底面半徑R的關系．

問題4收音機上的刻度盤的波長和頻率分別是用(m)和千赫茲(kHz)為單位標刻的．下面是一些對應的數：

波長l（m）

300

500

600

1000

1500

頻率f(kHz)

1000

600

500

300

200

同學們是否會從表格中找出波長l與頻率f的關系呢?

二、自主學習

1．常量和變量

在上述兩個問題中有幾個量?分別指出兩個問題中的各個量?

第1個問題中，有兩個變量，一個是時間，另一個是溫度，溫度隨著時間的變化而變化．

第2個問題中有路程s，時間t和速度v，這三個量中s和t可以取不同的數值是變量，而速度30千米/時，是保持不變的量是常量．路程隨著時間的變化而變化。

第3個問題中的體積V和R是變量，而π是常量，體積隨著底面半徑的變化而變化．

第4個問題中的l與頻率f是變量．而它們的積等于300000，是常量．

常量：在某一變化過程中始終保持不變的量，稱為常量．

變量：在某一變化過程中可以取不同數值的量叫做變量．

2．函數的概念

上面的各個問題中，都消失了兩個變量，它們相互依靠，親密相關，例如：

在上述的第1個問題中，一天內任意選擇一個時刻，都有惟一的溫度與之對應，t是自變量，T因變量(T是t的函數)．

在上述的2個問題中，s＝30t，給出變量t的一個值，就可以得到變量s惟一值與之對應，t是自變量，s因變量(s是t的函數)。

在上述的第3個問題中，V＝2πR2，給出變量R的一個值，就可以得到變量V惟一值與之對應，R是變量，V因變量(V是R的函數)．

在上述的第4個問題中，lf＝300000，即l＝，給出一個f的值，就可以得到變量l惟一值與之對應，f是自變量，l因變量(l是f的函數)。函數的概念：假如在

變量與函數教學設計2

一．內容和內容解析

【內容】變量與函數的概念

【內容解析】

“14.1變量與函數”是人教版義務教育課程標準試驗教科書八年級上冊第十四章第一單元，本設計是第1課時，引導學生從生活實例中抽象出常量、變量與函數等概念，其中函數的概念是本節核心內容．函數概念的核心是兩個變量間的特別對應關系：（1）由哪一個變量確定另一個變量；（2）唯一對應關系.假如直接討論某個量y有肯定困難，我們可以去討論另一個與之有關的量x，從而到達討論的目的.這也是一種化繁為簡的轉化思想．

本節課是函數入門課，首先必需精確熟悉變量與常量的特征，初步感受到現實世界各種變量之間聯系的簡單性，同時感受到討論主要從化繁就簡入手，在初中階段主要討論兩個變量之間的特別對應關系．本設計把重點放在熟悉“兩個變量間的特別對應關系：由哪一個變量確定另一變量；唯一確定的含義．”而函數圖象較為直觀形象，有助于學生理解函數的概念，因此把函數圖象中的局部內容提前到本課時學習．

二．目標和目標解析

【目標】理解常量、變量與函數的概念．

【目標解析】

（１）借助簡潔實例，學生初步感知用常量與變量來刻畫一些簡潔的數學問題，能指出詳細問題中的常量、變量．初步理解存在一類變量可以用函數方式來刻畫，能舉出涉及兩個變量的實例，并指出由哪一個變量確定另一個變量，這兩個變量是否具有函數關系．初步理解對應的思想，體會函數概念的核心是兩個變量之間的特別對應關系，能推斷兩個變量間是否具有函數關系．

（２）借助簡潔實例，引領學生參加變量的發覺和函數概念的形成過程,體會從生活實例抽象出數學學問的方法，感知現實世界中變量之間聯系的簡單性，數學討論從最簡潔的情形入手，化繁為簡.

（３）從學生熟識、感興趣的實例引入課題，引領學生參加變量的發覺和函數概念的形成過程,體驗“發覺、制造”數學學問的樂趣．學生初步感知實際生活隱藏著豐富的數學學問，感知數學是有用、好玩的學科.

三、教學問題診斷分析

變量與函數的概念把學生由常量數學的學習引入變量數學學習中．學生知道代數式中的字母可以表示數，方程中的未知數求出來后也是一個“已知數”，從“靜態”的角度理解字母所表示的數，另外，學生在日常生活中也接觸到函數圖象、兩個變量的關系等樸實的函數關系的生活實例．但是學生初次接觸函數的概念，難以理解定義中“唯一確定”的精確含義．

【教學重點】借助簡潔實例，從兩個變量間的特別對應關系抽象出函數的概念．

【教學難點】怎樣理解“唯一對應”．

四、教學過程設計

（一）導言：

1.《名偵探柯南》中有這樣一個情景：柯南依據案發覺場的腳印，鎖定疑犯的身高．你知道其中的道理嗎？

2.我們班中同學A與職業相撲運發動，誰的飯量大？你能說明理由嗎？

問題1中都涉及兩個量的關系，腳印確定，對應的身高有多個取值；問題2涉及多個量的關系．這一節課我們討論兩個量的關系，討論怎樣由一個量來確定另一個量．

【設計意圖】從學生的生活入手，開門見山，在極短的時間(一兩分鐘)內指明本節課的學習內容．現實世界中各種量之間的聯系紛繁簡單，應向學生說明我們數學的討論方法是化繁就簡，本節課只關注一類簡潔的問題．

（二）概念的引入

1.票房收入問題：每張電影票的售價為10元.

（1）若一場售出150張電影票，則該場的票房收入是元；若售出205張、310張呢？

（2）若一場售出x張電影票，則該場的票房收入y元，則y=.

思索：

（1）票房收入隨售出的電影票變化而變化，即y隨的變化而變化；

（2）當售出票數x取定一個確定的值時，對應的票房收入y的取值是否唯一確定？

2．成績問題：如圖是某班同學一次數學測試中的成績登記表：這一次數學測試中，13號的成績為______；15號的成績為______；16號的成績為______；23號的成績為______．

思索：

（1）測試成績隨________的變化而變化；

（2）任意確定一個學號x，對應的成績f的取值是否唯一確定？

3.氣溫問題：圖一是撫順春季某一天的氣溫Ｔ隨時間t變化的圖象，看圖答復：

（1）這天的8時的氣溫是℃，14時的氣溫是℃，最高氣溫是℃，最低氣溫是℃；

（3）這一天中，在4時~12時，氣溫（），在16時~24時，氣溫（）.

A.持續上升B.持續降低C.持續不變

思索：

（1）天氣溫度隨的變化而變化，即T隨的變化而變化；

（2）當時間t取定一個確定的值時，對應的溫度T的取值是否唯一確定？

【設計意圖】這三個問題中都含有變量之間的單值對應關系，通過討論這些問題引出常量、變量、函數等概念，通過這種從實際問題動身開頭爭論的方式，使學生體驗從詳細到抽象地熟悉過程.問題的形式有填空、列表、求值、寫解析式、讀圖等，隱含著在函數關系中表示兩個變量的對應關系有解析法、列表法、圖象法.

（三）概念的界定

思索：上述三個問題中，分別涉及哪些量的關系？通過哪一個量可以確定另一個量？

在上面的三個問題中，其中一個量的變化引起另一個量的變化（根據某種規律變化），變化的量叫做變量；有些量的值始終不變（例如電影票的單價10元……）．并且當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就隨之確定，且它的對應值只有一個．

教師依據學生的答復，在黑板上板書：

師生對上述三個問題進展分析，找出它們的共性，歸納出函數的概念．

【設計意圖】(1)如何把詳細的實例進展抽象，形式化為數學學問是本課的關鍵．這里提出的問題“上述三個問題中，分別涉及哪些量的關系？通過哪一個量可以確定另一個量？”是一個關鍵的“腳手架”，借助“腳手架”，學生經受數學概念的形成過程，引導學生熟悉為什么要引進變量、常量、函數的概念，逐步了解如何給數學概念下定義．(2)此處板書是“腳手架”的重要組成局部，提醒“兩個量的對應關系”．

問題回憶：指出前面三個問題中涉及到的量，并指出其中的變量、常量、自變量與函數.

【設計意圖】穩固常量、變量、自變量、函數的概念．

例1一個三角形的底邊為5，這一邊上的高h可以任意伸縮．

（１）高h的變化會引起三角形中哪些量發生變化？這些變量是高h的函數嗎？

（２）試求面積s隨h變化的關系式，并指出其中的”常量、變量與自變量。

例2假如用r表示圓的半徑，半徑r的變化會引起圓中哪些量發生變化？這些變量是半徑r的函數嗎？

【設計意圖】例1、例2的引入用幾何畫板做動態演示．此兩例引導學生體會幾何問題中兩個變量在動態變化過程中的依存關系．

例３問題1中，售出票數是票房的函數嗎？問題２中，學號x是成績f的函數嗎？

【設計意圖】（１）引導學生從逆向思維的角度進展思索，更全面地理解函數的概念．（２）培育學生逆向思維的習慣．（３）讓學生對這三個問題留下更深刻的印象，特殊是“成績問題，”它將在函數這一章書的教學中反復被引用，幫忙學生深入理解函數的概念．

（四）概念穩固

1．購置一些簽字筆，單價3元，總價為y元，簽字筆為x支，依據題意填表：

（1）y隨x變化的關系式y=，是自變量，是的函數；

（2）當購置8支簽字筆時，總價為元.

2.周末，小李8時騎自行車從家里動身，到野外郊游，16時回到家里.他離開家后的距離s（千米）與時間t（時）的關系如下圖.

（1）當t=12時，s=________；當t=14時，s=________；

（2）小李從______時開頭第一次休息，休息時間為____小時，此時離家______千米.

（3）距離s是時間t的函數嗎？時間t是距離s的函數嗎？

變量與函數教學設計3

教學目標

①從學生熟識的情境動身，經受從圖中分析變量之間關系的過程，理解函數圖象的意義。會對實際生活中的例子用兩變量之間關系的圖象進展描述表達，初步熟悉函數與圖象的對應關系。

②學會觀看圖象、識別圖象及理解圖象所表示的含義。了解圖象的意義及其與實際軌道之間的關系和區分。

③滲透數形結合思想，體會到數學來源于生活，又應用于生活。培育學生的團結協作精神、探究精神和合作溝通的力量。

教學重點與難點

把實際問題轉化為函數圖象，再依據圖象來討論實際問題。

教學預備

三角尺、CAI課件。

教學設計

提出問題

下列圖是自動測溫儀記錄的圖象，它反映了北京春季某天氣溫T如何隨時間t的變化而變化。你從下列圖中得到哪些信息？

注：挖掘和利用現實生活中與函數圖象有關的背景，讓學生在觀看背景中熟悉、理解函數的圖象。

“做一做”解決生活中的數學問題，為的是進一步理解函數圖象的意義。引導學生主動參加學習過程，從而培育合作溝通力量。

解決問題

下面的圖象反映的過程是：小明從家里動身去菜地澆水，又去玉米地鋤草，然后回家。其中x表示時間，y表示小明離他家的距離。

依據圖象答復以下問題：

1、菜地離小明家多遠？小明走到菜地用了多少時間？

2、小明給菜地澆水用了多少時間？

3、菜地離玉米地多遠？小明從菜地走到玉米地用了多少時間？

4、小明給玉米地鋤草用了多少時間？

5、玉米地離小明家多遠？小明從玉米地走回家的平均速