第06講平面向量的概念【學習目標】1、了解向量的實際背景和概念．2、清楚向量的幾何表示．3、區分相等向量與共線向量．【考點目錄】考點一：向量的基本概念考點二：向量的表示方法考點三：利用向量相等或共線進行證明考點四：向量知識在實際問題中的簡單應用【基礎知識】知識點一：向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2、數量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質量等），稱為數量．知識點詮釋：（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．（3）向量與數量的區別：數量與數量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．知識點二：向量的表示法1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．2、向量的表示方法：（1）字母表示法：如等．（2）幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量． 知識點詮釋：（1）用字母表示向量便于向量運算；（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．知識點三：向量的有關概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用來表示向量的有向線段的長度）．知識點詮釋：（1）向量的模．（2）向量不能比較大小，但是實數，可以比較大小．2、零向量：長度為零的向量叫零向量．記作，它的方向是任意的．3、單位向量：長度等于1個單位的向量．知識點詮釋：（1）在畫單位向量時，長度1可以根據需要任意設定；（2）將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．4、相等向量：長度相等且方向相同的向量．知識點詮釋：在平面內，相等的向量有無數多個，它們的方向相同且長度相等．知識點四：向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱為平行向量）．規定：與任一向量共線．知識點詮釋：1、零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區別．2、平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行，要區別于在同一直線上的線段的位置關系．3、共線向量與相等向量的關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．【考點剖析】考點一：向量的基本概念例1．給出如下命題：①向量的長度與向量的長度相等；②向量與平行，則與的方向相同或相反；③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；④兩個公共終點的向量，一定是共線向量；⑤向量與向量是共線向量，則點，，，必在同一條直線上．其中正確的命題個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①，向量與向量，長度相等，方向相反，故①正確；對于②，向量與平行時，或為零向量時，不滿足條件，故②錯誤；對于③，兩個有共同起點且相等的向量，其終點也相同，故③正確；對于④，兩個有公共終點的向量，不一定是共線向量，故④錯誤；對于⑤，向量與是共線向量，點，，，不一定在同一條直線上，故⑤錯誤．綜上，正確的命題是①③．故選：B．例2．給出下列四個命題：①若，則；②若，則或；③若，則；④有向線段就是向量，向量就是有向線段；其中，正確的命題有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解析】①若，則，故錯誤；②若，即向量的長度相等，但方向不一定相同或相反，故錯誤；③若，即向量共線，它們的模長不一定相等，故錯誤；④有向線段是幾何圖形，而向量是數學概念，可以用有向線段表示，故錯誤；故選：A例3．給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】解：因為，則向量互為相反向量，所以，故①正確；因為向量不能比較大小，故②錯誤；若，則向量方向相同，故③正確；當時，向量的方向不能確定，故④錯誤.所以正確命題的個數是2個.故選：C.考點二：向量的表示方法例4．如圖，和是在各邊的三等分點處相交的兩個全等的正三角形，設的邊長為a，寫出圖中給出的長度為的所有向量中，（1）與向量相等的向量；（2）與向量共線的向量；（3）與向量平行的向量.【解析】（1）與向量相等的向量，即與向量大小相等，方向相同的向量，有，；（2）與向量共線的向量，即與向量方向相同或相反的向量，有，，，，；（3）與向量平行的向量，即與向量方向相同或相反的向量，有，，，，.例5．在如圖的方格紙(每個小方格的邊長為1)上，已知向量．（1）試以B為起點畫一個向量，使；（2）畫一個以C為起點的向量，使||＝2，并說出的終點的軌跡是什么．【解析】（1）根據相等向量的定義，所作向量b應與a同向，且長度相等，如下圖所示．（2）由平面幾何知識可作滿足條件的向量c，所有這樣的向量c的終點的軌跡是以點C為圓心，2為半徑的圓，如下圖所示．考點三：利用向量相等或共線進行證明例6．如圖，四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且，．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【解析】因為四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且，．所以四邊形ABCD的對角線AC、BD互相平分，所以四邊形ABCD是平行四邊形．即證.例7．在平行四邊形中，E，F分別是，的中點，如圖所示.（1）寫出與向量共線的向量；（2）求證:.【解析】（1）根據題意，與向量共線的向量為：，，.（2）∵ABCD是平行四邊形，，，且E，F分別為邊CD，AB的中點，∴BF＝ED，且BF∥ED，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BE＝FD，且BE∥FD，∴．考點四：向量知識在實際問題中的簡單應用例8．一艘軍艦從基地A出發向東航行了200海里到達基地B，然后改變航線向東偏北航行了400海里到達C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達D島．（1）試作出向量；（2）求．【解析】（1）建立如圖所示的直角坐標系，向量即為所求．（2）根據題意，向量與方向相反，故向量，又，∴在中，，故為平行四邊形，∴，則（海里）．例9．一艘海上巡邏艇從港口向北航行了，這時接到求救信號，在巡邏艇的正東方向處有一艘漁船拋錨需救助.試求：（1）巡邏艇從港口出發到漁船出事點所航行的路程；（2）巡邏艇從港口出發到漁船出事點的位移.【解析】（1）畫出示意圖，如圖所示，易得所求路程為巡邏艇兩次路程的和，即.（2）巡邏艇從港口出發到漁船出事點的位移是向量，既有大小又有方向，其大小為.由于，故方向約為北偏東53°.【真題演練】1．（2023·黑龍江·齊齊哈爾三立高級中學有限公司高一階段練習）下列物理量中哪個是向量（

）A．質量 B．功 C．溫度 D．力【答案】D【解析】質量、功、溫度只有大小沒有方向不是向量，故ABC錯誤，力既有大小又有方向，是向量，故D正確，故選：D．2．（2023·江蘇·濱海縣五汛中學高一階段練習）下列命題中正確的是（

）A．單位向量都相等 B．相等向量一定是共線向量C．若，則 D．任意向量的模都是正數【答案】B【解析】對于A，單位向量的模長相等，方向不一定相同，故A錯誤；對于B，相等向量一定是共線向量，故B正確；對于C，若，，而與不一定平行，故C錯誤；對于D，零向量的模長是，故D錯誤．故選：B.3．（2023·山東東營·高一期中）設點是正三角形的中心，則向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共起點的向量 D．共線向量【答案】B【解析】如圖：因為是正的中心，所以為外接圓的半徑，所以向量，，是模相等的向量，但方向不同.故選：B.4．（2023·內蒙古大學滿洲里學院附屬中學高一期末）給出下列命題：①兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；②若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若與同向，且，則>；④λ，μ為實數，若λ＝μ，則與共線．其中假命題的個數為（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】①不正確．當起點不在同一直線上時，雖然終點相同，但向量不共線；②正確．∵＝，∴||＝||且；又∵是不共線的四點，∴四邊形是平行四邊形．反之，若四邊形是平行四邊形，則且與方向相同，因此＝；③不正確．兩向量不能比較大小．④不正確．當時，與可以為任意向量，滿足λ＝μ，但與不一定共線．故選：.5．（多選題）（2023·吉林·延邊第一中學高一期中）下列說法正確的是（

）A．與是非零向量，則與同向是的必要不充分條件B．是互不重合的三點，若與共線，則三點在同一條直線上C．與是非零向量，若與同向，則與反向D．設為實數，若，則與共線【答案】ABC【解析】與同向，但不一定與相等，，若，則與同向，且有=，與同向是的必要不充分條件，A正確.與共線，則有=，故一定有三點在同一條直線上，B正確.與同向，則與反向，C正確.時，與不一定共線，D錯誤.故選：ABC6．（2023·全國·高一課時練習）下列各量中，是向量的是___________.（填序號）①密度；②體積；③重力；④質量.【答案】③【解析】向量指具有大小和方向的量.①②④僅有大小，沒有方向；③既有大小又有方向.故答案為：③.7．（2023·全國·高一課時練習）如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.(1)寫出與向量共線的向量；(2)求證：.【答案】(1)，，；(2)證明見解析.【分析】根據條件，可得四邊形為平行四邊形，即可寫出與向量共線的向量；根據題意可得出四邊形是平行四邊形，從而得出，，進而得出結論.（1）因為在平行四邊形中，，分別是，的中點，，，所以四邊形為平行四邊形，所以.所以與向量共線的向量為：，，.（2）證明：在平行四邊形中，，.因為，分別是，的中點，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，，故.8．（2023·全國·高一課時練習）在如圖的方格紙上，已知向量，每個小正方形的邊長為1.(1)試以B為終點畫一個向量，使；(2)在圖中畫一個以A為起點的向量，使，并說出向量的終點的軌跡是什么？【解析】（1）根據相等向量的定義，所作向量與向量平行，且長度相等．圖如下所示：（2）由平面幾何知識可知所有這樣的向量的終點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓．【過關檢測】一、單選題1．（2023·陜西·渭南高級中學高一階段練習）下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則存在唯一實數使得C．若，，則D．與非零向量共線的單位向量為【答案】D【解析】若，則或，所以選項A錯誤；若，此時不存在，選項B錯誤；若，由，，不一定得到，選項C不正確；由向量為非零向量，根據單位向量的定義，選項D正確.故選：D.2．（2023·陜西師大附中高一期中）下列命題正確的是（

）A．單位向量都相等 B．任一向量與它的相反向量不相等C．平行向量不一定是共線向量 D．模為0的向量與任意向量共線【答案】D【解析】對于A：模為的向量叫做單位向量，但是單位向量不一定相等，因為方向不一定相同，故A錯誤；對于B：零向量的相反向量依然是零向量，零向量相等，故B錯誤；對于C：平行向量即共線向量，故C錯誤；對于D：模為的向量叫零向量，零向量和任意向量共線，故D正確；故選：D3．（2023·全國·高一課時練習）給出下列說法：①零向量是沒有方向的；②零向量的長度為0；③零向量的方向是任意的；④單位向量的模都相等.其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】對①：零向量的方向是任意的，故①錯誤；對②：零向量的長度為0，故②正確；對③：零向量的方向是任意的，故③正確；對④：單位向量的模都等于1，故④正確.故選：C.4．（2023·全國·高一課時練習）若為任一非零向量，的模為1，給出下列各式：①；②﹔③；④.其中正確的是（

）A．①④ B．③ C．①②③ D．②③【答案】B【解析】對于①，的大小不能確定；對于②，兩個非零向量的方向不確定；對于④，向量的模是一個非負實數，只有③正確．故選：B．5．（2023·全國·高一課時練習）如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，則下列關系中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，四邊形ABCD是等腰梯形得，且，，所以選項A錯誤，選項B正確，又向量不能比較大小，所以選項C、D錯誤，故選：B.6．（2023·全國·高一課時練習）下列命題中正確的是（

）A．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同B．兩個有公共終點的向量，一定是共線向量C．兩個有共同起點且共線的向量，其終點必相同D．若與是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上【答案】A【解析】兩個相等的向量方向相同且長度相等，因此起點相同時終點必相同，故A正確；兩個有公共終點的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯誤；兩個有共同起點且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點未必相同，故C錯誤；與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯誤.故選：A7．（2023·全國·高一課時練習）下列結論中，正確的是（

）A．長的有向線段不可能表示單位向量B．若O是直線l上的一點，單位長度已選定，則l上有且只有兩個點A，B，使得，是單位向量C．方向為北偏西30°的向量與南偏東30°的向量不可能是共線向量D．一人從A點向東走500米到達B點，則向量不能表示這個人從A點到B點的位移【答案】B【解析】一個單位長度取時，長的有向線段剛好表示單位向量，故A錯誤；根據單位向量的知識可知，B選項正確；方向為北偏西30°的向量與南偏東30°的向量是一對方向相反的向量，因此是平行向量，所以兩向量為共線向量，故C錯誤；根據位移的定義可知，向量表示這個人從A點到B點的位移，所以D錯誤.故選：B8．（2023·陜西渭南·高一期末）設是單位向量，，，，則四邊形是（

）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【解析】因為，，所以，即，，所以四邊形是平行四邊形，因為，即，所以四邊形是菱形.故選：B二、多選題9．（2023·廣西賀州·高一期末）以下選項中，能使成立的條件有（

）A． B．或C． D．與都是單位向量【答案】BC【解析】對于A、D：不妨取分別為x、y軸上的單位向量，滿足“”，滿足“與都是單位向量”，但是不成立.故A、D錯誤；對于B：由零向量與任何向量平行，可知或時，.故B正確；對于C：因為，所以.故C正確.故選：BC10．（2023·全國·高一課時練習）下面的命題正確的有（

）A．方向相反的兩個非零向量一定共線B．單位向量都相等C．若，滿足且與同向，則D．“若A、B、C、D是不共線的四點，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”【答案】AD【解析】對于A，由相反向量的概念可知A正確；對于B，任意兩個單位向量的模相等，其方向未必相同，故B錯誤；對于C，向量之間不能比較大小，只能比較向量的模，故C錯誤；對于D，若A、B、C、D是不共線的四點，且，可得，且，故四邊形ABCD是平行四邊形；若四邊形ABCD是平行四邊形，可知，且，此時A、B、C、D是不共線的四點，且，故D正確.故選：AD.11．（2023·黑龍江·大慶中學高一階段練習）下列敘述中錯誤的是（

）A．若，則B．若，則與方的方向相同或相反C．若且，，則D．對任一向量，是一個單位向量【答案】ABD【解析】對于A，向量不能比較大小，A錯誤；對于B，零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，故B錯誤；對于C，因為不為零向量，所以與是共線向量，故C正確；對于D，當時，無意義，故D錯誤.故選：ABD12．（2023·全國·高一單元測試）下列說法中正確的是（

）A．若為單位向量，則 B．若與共線，則或C．若，則 D．是與非零向量共線的單位向量【答案】CD【解析】對于A中，向量的方向不一定相同，所以A錯誤；對于B中，向量與的長度不一定相等，所以B錯誤；對于C中，由，根據零向量的定義，可得，所以C正確；對于D中，由，可得與向量同向，又由的模等于，所以是與非零向量共線的單位向量，所以D正確.故選：CD.三、填空題13．（2023·陜西渭南·高一期末）若為任一非零向量，為單位向量，給出下列說法：①；

②；③；

④；⑤若是與同向的單位向量，則.其中正確的說法有______個.【答案】1【解析】由題意知，，對①，當時，，不一定有，故①錯誤；對②，與方向不一定相同或相反，所以與不一定平行，故②錯誤；對③，非零向量的模必大于0，即，故③正確；對④，向量的模非負，故④錯誤；對⑤，與方向不一定相同，所以與方向不一定相同，故⑤錯誤.綜上可知，只有③正確，正確的說法只有1個.故答案為：114．（2023·全國·高一專題練習）下列說法正確的是__________（寫序號）．①若與共線，則點A、B、C、D共線；②四邊形為平行四邊形，則；③若，則；④四邊形中，，則四邊形為正方形．【答案】③【解析】①若與共線，則點，，，共線，不正確，比如平行四邊形的對邊；②若四邊形為平行四邊形，則，不正確；③若，，則，正確；④在四邊形中，，且，則四邊形為正方形或菱形，不正確；故答案為：③.15．（2023·全國·高一課時練習）已知圓O的周長是，是圓O的直徑，C是圓周上一點，于點D，則___________.【答案】【解析】由題設，圓O的半徑為1，又，如下圖示：在中，，，所以.故答案為：16．（2023·全國·高一課時練習）“”是“A，B，C，D四點共線”的________條件．【答案】必要不充分【解析】當時，直線AB與CD的位置關系有可能是平行或共線，當二者平行時A，B，C，D四個點分別位于兩條平行線上而不是四點共線，則“”無法推出“A，B，C，D四點共線”；當A，B，C，D四點共線時，直線AB與CD的位置關系為重合，此時，，則“A，B，C，D四點共線”可以推出“”，因此“”是“A，B，C，D四點共線”的必要不充分條件．故答案為：必要不充分.四、解答題17．（20