焦作十一中12月月考

數學試題（理科）

本試卷分第I卷（選擇題）和第∏卷（非選擇題）兩部分，其中第H卷第（22）-（24）

題為選做題，其它題為必做題.考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效,

考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回，

注意事項：

1.答題前，考生務必先將自己的姓名，準考證號填寫在答題卡上，認真核對條形碼上

的姓名、準考證號，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上；

2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案的標

號，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清晰;

3.請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效;

4.保持卷面清潔，不折疊，不破損；

5.做選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的

題號涂黑，

第I卷（共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的

1.已知集合〃={—2,—l,0,l,2},P={xlg<3'<9,xeR},則〃CP=

A.{0,l）B.{-1,0}C.{-l,0,l}D.{-2,-1,0,1,2）

2.復數——產（（為虛數單位）等于

l-√3z

A.1B.-1C.iD.-Z

3.某幾何體的三視圖如下,則該幾何體的體積是

A.124B.144斗三

C.192D.25668

正（主網圖例（左）》圖

TT忸

4.utanx=-w是"X==2^+-(?∈Z),,成立的

3

A.充分不必要條件B.必要不充分條件俯視圖

（第3題圖）

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

TTTT

5.已知函數y=sin（6x+—）的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍，再向右平移一個單

48

位，所得函數的一個對稱中心是

A.（―,0）B.（―,0）C.（―,0）D.（］,0）

6.已知{α,,}是首項為1的等比數列，S“是{4,J的前n項和，且9S3=Se,則數列{」-}的前

5項和為

A.一或5C31TUC.??15

B.—或5D.—

816168

%≥1,

二匕?的取值范圍是

7.實數X,y滿足不等式組Vy>0,則W=

X

χ-y>O,

A.[―1,1)B.L1,2)C.(-1,2)D.[―1,1|

8.已知函數/(X)==X3+ax1-2ax+3a2,且在f(x)圖象上點(1,/(1))處的切線在y軸上

的截距小于0,則4的取值范圍是

222

A.(-1,1)B.(-,1)C.(--,1)D.(-1,-)

9.已知{〃〃}的前n項和S“二〃2一6九則當時>3,1%1+121+…+∣%I的值是

n"—6〃+182，/-6〃+18

A.n2-6n-18B.----------------C.n^—6〃+18D.----------------

22

10.甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中想一個數字，記為4,再由乙猜甲剛才所想的數

字，把乙猜的數字記為b,其口α,b€{0,l,2,3},若I4->l≤1,則稱甲乙''心有靈犀現

任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為

3511

A.-B.-C.-D.一

8829

rr

11.偶函數/(X)滿足用珀耐=∕(x+2),x∈[0,2]J(X)=2C0S—X,則關于X的

4

方程/(X)=(3)*,在X∈[—2,6]上解的個數是

A.?B.2C.3D.4

TT

12.設函數f(X)=2x—cosX,{a}是公差為一的等差數列，/(q)+/(ɑ?+…+f(a)=5π

n85

貝1」"(生)]2—%%=()

1213

A.OB.—π1C.-π^D.—π

16816

第口卷

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卷中的簽橫線上)

13.已知向量不=(1,2),3=(2,3),若向量荷+6與向量m=(4,7)共線,則/1=.

14.已知CoS(Jl→ɑ)=*且.α∈,貝IJtanO—α)三

ax-l(x>O),?

15.已知函數/(x)=1OgI(X+l)(7<x≤0)且/"(—∕]=3,在各項為正的數列{%,}

.2

中，%=2,4+]=/(.“+；),{%,}的前n項和為S“，若S”=126,則〃=.

16.已知函數/(X)=Mlnx-〃,(α>0),其中"=?(2sin；cos；)df.若函數/(x)在定

義域內有零點，則。的取值范圍是O

三、解答題(本大題有8小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分12分)

數列｛q｝的前n項和為S“，若%=21.5,,=S?_,+2n(n≥2,n∈N*).

(1)求S“；

(2)是否存在等比數列也,｝滿足4=%,%=%，4=4?若存在，則求出數列出｝的

通項公式；若不存在，則說明理由。

18.(本小題滿分12分)

在ΔA8C中，〃、》<?分別為角48、C的對邊，且滿足。2+。2—/=be.

(I)求角A的值;

(Il)若α=√J,設角8的大小為X,ΔABC的周長為y,求y=∕(x)的最大值.

19.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正

方形，PDJ_平面ABCD,且PD=AB=2,E是

PB的中點，F是AD的中點.

(I)求證：EFl5FiSPBC;

(∏)求二面角F-PC-B的平面角的余弦值.

20.(本小題滿分12分)

如圖，在直三棱柱ABC-G中，底面ΔABC為等腰直角

三角形，ZB=90°,。為棱8片上一點，且平面D4∣CJ.平

面AA1C1C.

(I)求證：。點為棱的中點；

AA

(II)若二面角A-AD-C的平面角為60',求器的值.

21.(本小題滿分12分)

Y4-1

己知函數/(X)=」.

ex

(1)求函數/(x)的單調區間；

(2)設函數g(x)=0?(x)+(T(X)+e-jt(f∈R),是否存在實數a、b、c∈[0,1],

使得g(a)+gS)<g(c)?若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說明理由.

請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作

答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題目題號后的方框涂黑.

22.(本小題滿分10分)選修4-1:凡何證明選講

如圖，G)C)內切于AABC的邊于D,E,F,AB=AC,連接

AD交。O于點H,直線HF交BC的延長線于點G.

(I)求證：圓心O在直線AD上；

(IJ)求證：點C是線段GD的中點；

23.(本小題滿分10分)選修4一4：坐標系與參數方程選講

1

X=-t

2

已知直線/的參數方程為V(，為參數)，若以直角坐標系xθy的O點為極點,

6

y=—+

2

Ox方向為極軸，選擇相同的長度單位建立極坐標系，得曲線C的極坐標方程為

Tl

p-2cos(^--).

(I)求直線/的傾斜角；

(II)若直線/與曲線C交于A,B兩點，求IABI.

24.(本小題滿分10分)選修4一5：不等式選講

已知不等式2Iχ-3I+Iχ-4I<24.

(I)若α=l,求不等式的解集；

(II)若已知不等式的解集不是空集，求實數4的取值范圍.

20.1)過點。作于E點，取AC的中點尸，連BF,EF.?.?面D4∣C，面

A4CC且相交于A0,而D4∣C內的直線。Ed.4。，?'?OE?L面ΛAGC0……3分

又?.?面A4C，面AAGC且相交于AC,且ΔA8C為等腰三角形，易知6尸_LAe,

BF，面44℃。由此知：DEHBF,從而有O,E,R8共面,又易知8月〃面A4∣C∣C,

故有DB//EF,從而有EF//AA1又點尸是AC的中點，所以。5=Eb=gAA∣=；8g,

所以。點為棱84的中點....................................................6分

(2)(法一)???面AAIB]>J_面ABC,面48Cn面AaBIB=A8,6C_LA8,,8。_1_面

AaQ8,岷4。交AB的延長線于點M,過8作8"，AQ交AQ于點H,端CH,

則CWL4。，??,NCHB

為二面角A-AO-。的平面角，且/CHB=60",9分

設AiA=2b,AB=BC=a,由①易知BD—b,BM—a,

AA1=2b,AB=BC=a,則

￡)(0,0,?),?(Λ,0,2?),C(θ,α,θ)，所以DA1=(a,0,?),DC=(0,α,-?),.................8分

QX+Oy+bZ=O

設面D41C的法向量為〃=(x,y,z)，則＜

Ox+ay-bz=O

可取n=^-b-a)又可取平面AA1DB的法向量m=BC=^a,θ)

,---、nmbO-/?a-aOb

cos(n,m)=,.,∣=]-T==一一/10分

?n?m?]lh2+6f2y[a^y∣2b2-Fa2

b_I

據題意有

:41b2+a2=2

..hV∑S[AA2brτ

解lz得h：——----所以-----=—=<212分

a2ABa

,2221

18.(I)在ΔA8C中，由"+M-Y=A及余弦定理得COSA="-+c-Q=L…2分

Ihc2

TT

而0<4<乃，則A=—；................4分

3

(II)由a=J],A=2及正弦定理得一?一=」一=，一=g=2............6分

3sinBsinCsinA√3

T

同理C="?sinC=sin(--x)................8分

sinA3

nf

y2sinx+2^(~~-?)+?/?=2√3sin(x+^?)+?/?....................10分

??A兀/、2〃*.7T.τc5ττ、

?A——,?=0<x<—??xH—∈(—,—),

33666

.?.χ+工=2即X=C時，％χ=3√L.......................12分

623max

19解：(I)取Pc的中點G,連結EG,

GO則GE〃BC,且GE=LBC,

2

又?：DF//BC,且=LBC,

2

.?.GEHDF良GE=DF,

：.四邊形GEFD為平行四邊形，

.,.GD//EF.................................3分

由于POL平面ABCD,ΛPDlBC,

又BCLCZ),.?.BCL平面PCZ),

又Gz)U平面PCZ),.?.BCLGD,

在等腰直角三角形PCo中，由G為尸C中點，.?.G￡)J_PC,

BC∏PC=C,.?.GOJ_平面PC'O,.............................................................5

；GO//EP,二EPJ_平面PCZ)..................................................................6分

(II)連結/G,；8CLPC,GE//BC,

.?.EGIPC,

"：EPJ_平面PCD,.?.EFIPC,GEnGR=G,

：.PC1平面GEF,

：.FG1PC,

/.ZFGE是二面角F-PC-B的平面角.9分

在放AFEG中，EG=^8C=1,EF=GD=6,GF=dEF?+EG?=G,

2

./…EG1√3

..cos/FGE--—尸——,

FG63

所以二面角尸-PC-B的平面角的余弦值為走

3

21.(1)/(X)=三，當x≥()時，∕,(χ)≤0,F(X)在區間(O,+oo)上為減函數.

當x<0時，∕,(x)>O,/(x)在區間(—8,0)上為增函數.

???/(均的單調增區間為(一8,0),/(X)的單調減區間為(0,+8)3

分

(2)假設存在a、bc∈［O,1J,使得g(α)+g(b)<g(c),

則2(g(x))mιn<(g(x))maχ?……?

分

Qg(X)=『也？)四,.?.g,(χ)=Ti(I)……6

ee

分

①當，21時，g'(x)≤O,g(?:)在上單調遞減，

.?.2g(l)<g(0),即得t>3—……7

e2

分

②當∕≤0時，g'(x)≥O,g(x)在［0,1］上單調遞增，

.?.2g(0)<g⑴，即2<±ΞL得t<3-2e<0.……8

e

分

③當0<∕<l時在x∈［0j)上，g'(x)<O,g(x)在［0/)上單調遞減，在X∈(兀1］上,

g?x)>O,g(x)在?/］上單調遞增，.?.2g(t)<max{g(0),g⑴}……9

分

即2χ二^<max{l,—(*)由(1)知/■?)=牛在一。1］上單調遞減,

e

，+1、4.3—，3

故2χ----->—,而——<-,不等式(*)無解.11

eteee

分

綜上所述，存在「€(-8,3-26)1](3-5，+8)，使得命題成立.

所以/(x)的遞增區間為(0,l),(c.+8)t遞減區間為(Lc)......................5分

(H)①若c<O,則/(x)在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，

/(X)=O恰有兩解.則/(l)<0,ap→?<O,所以-J<c<O∣.....................7分

②若0<c<1,則/<￡x)=/(C)=ClnC+$2+be,∕8H,(X)=/(I)=→h,

因為b=-l-c,則幾入(X)=ClnC+^?+c(T-c)=elne-e-/vθ,

九小(X)=-g-c,從而/(x)=0只有一解，...........9分

2

cC?I

③若,則?H<x)=clnc+5+c(-l-c)=clnc-c-?yvθ,啟大(X)=-]-c,

則/(x)=0只有一解.

綜上，使/(x)=0恰有兩解的C的范圍為-；vc<0......................12分

22.(1)證明：???/5=4C,/斤=/￡,

.?.CD=BE.

又?；CF=CD,BD=BE,X

??CD=BD.....................3分

又A48C是等腰三角形，/LX

AD是KAB的角平分線，Jr??

圓心。在直線力。上............5分°?

(II)連接。尸，由(I)知，OH是。。的直徑，//

GCDB

??.ZDHF=90*.

NFDH+NFHD=90".

又??,ZG+NFHD=90',

."FDH=4G......................7分

???0O與XC相切于點尸，

..AAFH=ZGFC=ZFDH.

.?.ZGFC=ZG.

..CG=CF=CD.

.點C是線段G。的中點............10分

X=∕cos60°

23.解：(I)直線參數方程可以化,√2

y=——+/si

Γ2

根據直線參數方程的意義，這條經過點(0,等)，傾斜角為60°的直線............4分

高二理科數學答案第7頁(共12頁)

(??)/的直角坐標方程為y=寂+等，...........6分

0=2cos(6-?)的直角坐標方程為(X-*)'+(>-￥)2=1......................8分

所以圓心(等到直線/的距離d=?^,」?必冏=1?......................10分

24.解析⑴由/(x)43得∣x-α∣≤3,解得α-3≤x≤x+3,.....................2分

又已知不等式/(x)43的解集為｛xI-1VX45｝,

fα3一I

所以「一「二'解得α=2.