第38講數列的綜合應用學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·遼寧·沈陽二中模擬預測）我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創業的大學生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設張華第個月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．2．（2022·山東泰安·一模）已知數列是首項為，公差為1的等差數列，數列滿足．若對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（

）A．， B． C．， D．3．（2022·全國·高三專題練習）已知數列的前項和為，且，，若，則稱項為“和諧項"，則數列的所有“和諧項”的平方和為（

）A． B． C． D．4．（2022·北京朝陽·一模）已知數列，若存在一個正整數使得對任意，都有，則稱為數列的周期.若四個數列分別滿足：①，；②，；③，，；④，.則上述數列中，8為其周期的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·全國·高三專題練習）朱世杰是元代著名數學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數列以及數列的求和問題.現有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們全部堆放成縱斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．86．（2022·江蘇·鹽城中學高三開學考試）已知數列的前項和為，且().記，為數列的前項和，則使成立的最小正整數為（

）A．5 B．6 C．7 D．87．（2022·山東·聊城二中高三開學考試）在正整數數列中，由1開始依次按如下規則取該數列的項：第一次取1；第二次取2個連續的偶數2，4；第三次取3個連續奇數5，7，9；第四次取4個連續的偶數10，12，14，16；第五次取5個連續的奇數17，19，21，23，25；按此規律取下去，得到一個數列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，則這個數列中第2022個數是（

）A．3974 B．3976 C．3978 D．39808．（2022·江蘇·高三專題練習）若數列的前項和為，，則稱數列是數列的“均值數列”.已知數列是數列的“均值數列”且通項公式為，設數列的前項和為，若對一切恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．9．（多選）（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知正項數列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．是等比數列 B．對任意的，C．對任意都成立 D．10．（多選）（2022·江蘇·蘇州市第六中學校三模）在數列中，若（為非零常數），則稱為“等方差數列”，稱為“公方差”，下列對“等方差數列”的判斷正確的是（

）A．是等方差數列B．若正項等方差數列的首項，且是等比數列，則C．等比數列不可能為等方差數列D．存在數列既是等方差數列，又是等差數列11．（2022·浙江·高三專題練習）已知桶中盛有2升水，桶中盛有1升水．現將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；然后將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；若如此繼續操作下去，則桶中的水比桶中的水多_______升．12．（2022·江蘇·金陵中學高三階段練習）數列通項公式.若等差數列滿足：，都有，則數列的通項公式___________.13．（2022·湖南·雅禮中學高三階段練習）數列滿足：，，，.若，對，不等式恒成立，則實數的最大值為___________.14．（2022·江蘇省響水中學高三階段練習）已知數列的前項和，對任意，且恒成立，則實數的取值范圍是__________.15．（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）已知數列對任意的，都有，且．①當時，_________．②若存在，當且為奇數時，恒為常數P，則P＝_________．16．（2022·江蘇省江陰高級中學高三開學考試）已知是公差為1的等差數列，且，，成等比數列．（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）求數列的前n項和．17．（2022·山東日照·高三開學考試）已知數列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數列{bn}為等比數列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；（Ⅱ）若數列{bn}為等差數列，且公差，證明：．18．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）已知數列滿足，．(1)證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；(2)記，，．證明：當時，．【素養提升】1．（2022·全國·高三專題練習）已知成等比數列，且．若，則A． B． C． D．2．（2022·湖北·天門市教育科學研究院模擬預測）已知數列的首項是，前項和為，且，設，若存在常數，使不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·紹興一中高三期末）已知數列滿足（），，則當時，下列判斷不一定正確的是（

）A． B．C． D．存在正整數k，當時，恒成立4．（2022·全國·高三專題練習）已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構成一個數列．記為數列的前n項和，則使得成立的n的最小值為________．5．（2022·福建廈門·模擬預測）已知數列與數列的前n項和分別為，則_________；若對于恒成立，則實數的取值范圍是___________．6．（2022·上海·華東師范大學附屬東昌中學高三階段練習）設函數，.（1）若，求實數的取值范圍；（2）若為正整數，設的解集為，求及數列的前項和；（3）對于（2）中的數列，設，求數列的前項和的最大值.第38講數列的綜合應用學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·遼寧·沈陽二中模擬預測）我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創業的大學生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設張華第個月的還款金額為元，則（

）A．2192 B． C． D．【答案】D【分析】計算出每月應還的本金數，再計算第n個月已還多少本金，由此可計算出個月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設張華第個月的還款金額為元，則，故選：D2．（2022·山東泰安·一模）已知數列是首項為，公差為1的等差數列，數列滿足．若對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（

）A．， B． C．， D．【答案】D【分析】由等差數列通項公式得，再結合題意得數列單調遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據題意：數列是首項為，公差為1的等差數列，所以，由于數列滿足，所以對任意的都成立，故數列單調遞增，且滿足，，所以，解得．故選：．3．（2022·全國·高三專題練習）已知數列的前項和為，且，，若，則稱項為“和諧項"，則數列的所有“和諧項”的平方和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據，得到，兩式相減得到，從而得到數列的通項公式，根據“和諧項"的定義可得，再利用等比數列的前項和可得答案.【詳解】①，②，①-②得，即，，，故，，所以數列的所有“和諧項”的平方和為.故選：D.4．（2022·北京朝陽·一模）已知數列，若存在一個正整數使得對任意，都有，則稱為數列的周期.若四個數列分別滿足：①，；②，；③，，；④，.則上述數列中，8為其周期的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用數列的周期的定義逐項分析即得.【詳解】①∵，∴數列的周期為，故8也是數列的周期；②由，，可得故數列的周期為；③由，，可得，，故數列的周期為；④由，可得，，故數列的周期為，所以8也是數列的周期.故8為其周期的數列個數為2.故選：B.5．（2022·全國·高三專題練習）朱世杰是元代著名數學家，他所著的《算學啟蒙》是一部在中國乃至世界最早的科學普及著作.《算學啟蒙》中涉及一些“堆垛”問題，主要利用“堆垛”研究數列以及數列的求和問題.現有132根相同的圓形鉛筆，小明模仿“堆垛”問題，將它們全部堆放成縱斷面為等腰梯形的“垛”，要求層數不小于2，且從最下面一層開始，每一層比上一層多1根，則該“等腰梯形垛”應堆放的層數可以是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】把各層的鉛筆數看出等差數列，利用求和公式得到，由n為264的因數，且為偶數，把四個選項一一代入驗證即可.【詳解】設最上面一層放根，一共放n（n≥2）層，則最下一層放根，由等差數列前n項和公式得：，∴，∵,∴n為264的因數，且為偶數，把各個選項分別代入，驗證，可得：n=8滿足題意.故選：D6．（2022·江蘇·鹽城中學高三開學考試）已知數列的前項和為，且().記，為數列的前項和，則使成立的最小正整數為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】根據之間的關系證明為等比數列，然后再證明也是等比數列，由此求解出.根據不等式結合指數函數單調性求解出的取值范圍，從而確定出的最小整數值.【詳解】解析：由，可知，∴，即.時，，∴，∴，∴，∴數列是以1為首項，以為公比的等比數列.∴.又，∴數列是以為首項，以為公比的等比數列.∴.又，∴，即，∴.又，∴的最小值為7.故選：C.7．（2022·山東·聊城二中高三開學考試）在正整數數列中，由1開始依次按如下規則取該數列的項：第一次取1；第二次取2個連續的偶數2，4；第三次取3個連續奇數5，7，9；第四次取4個連續的偶數10，12，14，16；第五次取5個連續的奇數17，19，21，23，25；按此規律取下去，得到一個數列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，則這個數列中第2022個數是（

）A．3974 B．3976 C．3978 D．3980【答案】D【分析】由題意可得，找出取數的規律為：奇數次取奇數個奇數，偶數次取偶數個偶數，前次總共取的數各數量可以通過等差數列求和得到，且第次的最后一個數為，據此即可求解.【詳解】由題意可得，奇數次取奇數個奇數，偶數次取偶數個偶數，前次共取了個數，且第次的最后一個數為，當時，，故到第63次取時取了63個奇數，且前63次共取了2016個數，即第2016個數為，∴時，依次為3970，3972，3974，3976，3978，3980，...，∴第2022個數為3980.故選：D.8．（2022·江蘇·高三專題練習）若數列的前項和為，，則稱數列是數列的“均值數列”.已知數列是數列的“均值數列”且通項公式為，設數列的前項和為，若對一切恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據題意，求得，進而求得數列的通項公式為，結合裂項法求得數列的前和，得出不等式，即可求得實數的取值范圍.【詳解】由題意，數列的前項和為，由“均值數列”的定義可得，所以，當時，；當時，，也滿足，所以，所以，所以，又對一切恒成立，所以，整理得，解得或.即實數的取值范圍為.故選：D.9．（多選）（2022·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知正項數列滿足，，則下列說法正確的是（

）A．是等比數列 B．對任意的，C．對任意都成立 D．【答案】BCD【分析】根據所給數列性質利用判斷A，由函數不等式推導出可判斷B,利用B中結論遞推可判斷C，由對數運算及數列求和后放縮可判斷D.【詳解】由，顯然，則不是等比數列，A；由當且僅當時等號成立，由為正項數列，得，故，故B正確；由B知，故C正確；則，故D正確.故選：BCD10．（多選）（2022·江蘇·蘇州市第六中學校三模）在數列中，若（為非零常數），則稱為“等方差數列”，稱為“公方差”，下列對“等方差數列”的判斷正確的是（

）A．是等方差數列B．若正項等方差數列的首項，且是等比數列，則C．等比數列不可能為等方差數列D．存在數列既是等方差數列，又是等差數列【答案】BC【分析】根據等方差數列定義判斷A，由等方差數列定義及等比數列求判斷B，根據等方差數列定義及等比數列的通項公式判斷C，由等差數列及等方差數列定義，利用反證法判斷D.【詳解】設，則，不滿足為非零常數，所以不是等方差數列，故A錯誤；由題意，則，即，解得或（舍去），當時，滿足題意，故B正確；設數列為等比數列，不妨設，則，所以，若為常數，則，但此時，不滿足題意，故C正確；若數列既是等方差數列，又是等差數列，不妨設，（為非零常數），，所以，即，所以，即，所以為常數列，這與，矛盾，故D錯誤.故選：BC11．（2022·浙江·高三專題練習）已知桶中盛有2升水，桶中盛有1升水．現將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；然后將桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再將桶與桶中剩余的水倒入桶中；若如此繼續操作下去，則桶中的水比桶中的水多_______升．【答案】．【分析】根據題意，得到，之間的關系，然后用數列知識求解．【詳解】根據題意可得，，，，即數列是以為首項，為公比的等比數列，，，．故答案為：12．（2022·江蘇·金陵中學高三階段練習）數列通項公式.若等差數列滿足：，都有，則數列的通項公式___________.【答案】【分析】根據題意求出，進而求出；當時設，根據列出關于的不等式，進而得出，利用不等式的性質求得，結合等差數列的通項公式即可得出結果.【詳解】當時，，當時，，由，當時，，又，所以，故；當時，，即，整理，得，又為等差數列，設，即，整理，得，對恒成立由，知，則，所以，即是以2為公差，以1為首項的等差數列，故.故答案為：.13．（2022·湖南·雅禮中學高三階段練習）數列滿足：，，，.若，對，不等式恒成立，則實數的最大值為___________.【答案】【分析】應用構造法求的通項公式，即得通項公式，進而討論、研究題設不等式恒成立，在時構造并研究單調性，即可求的最大值.【詳解】由，可得，∴數列是首項，公差的等差數列，則，∴，由已知有：，當時，顯然符合題意，當時，由已知得：.設，則，∴數列遞增，則的最小值為，故只需.故答案為：.14．（2022·江蘇省響水中學高三階段練習）已知數列的前項和，對任意，且恒成立，則實數的取值范圍是__________.【答案】【詳解】試題分析：由，得；當時，，若為偶數，則，∴（為正奇數）；若為奇數，則，∴（為正偶數）．函數（為正奇數）為減函數，最大值為，函數（為正偶數）為增函數，最小值為．若恒成立，則，即．故答案為．15．（2022·湖南·長郡中學高三階段練習）已知數列對任意的，都有，且．①當時，_________．②若存在，當且為奇數時，恒為常數P，則P＝_________．【答案】

2

1【分析】根據通項公式確定的周期性即可求，由題設可得，討論的奇偶性確定后續數列出現奇數項與相等，列方程求P的值.【詳解】由題設通項公式，可得，故從第二項開始形成周期為3的數列，而，故．當時，為奇數時為偶數，故；若為奇數，由，故，不滿足；若為偶數，則直到為奇教，有，故，當時滿足條件，此時，即，故答案為：2，116．（2022·江蘇省江陰高級中學高三開學考試）已知是公差為1的等差數列，且，，成等比數列．（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）求數列的前n項和．【解】（1）由題意得，，故，所以的通項公式為．（2）設數列的前項和為，則，，兩式相減得，

所以．17．（2022·山東日照·高三開學考試）已知數列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數列{bn}為等比數列，且公比，且，求q與{an}的通項公式；（Ⅱ）若數列{bn}為等差數列，且公差，證明：．【解】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以.所以（）.所以，又，符合，故.（II）依題意設，由于，所以，故.又，而，故所以.由于，所以，所以.即，.18．（2022·湖南·長沙一中高三階段練習）已知數列滿足，．(1)證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；(2)記，，．證明：當時，．【解】(1)當時，，當時，；相除得整理為：，即，為等差數列，公差，首項為；所以，整理為：，經檢驗，符合要求.(2)由（1）得：．，，，所以，當時，．【素養提升】1．（2022·全國·高三專題練習）已知成等比數列，且．若，則A． B． C． D．【答案】B【分析】先證不等式，再確定公比的取值范圍，進而作出判斷.【詳解】令則，令得，所以當時，，當時，，因此，若公比，則，不合題意；若公比，則但，即，不合題意；因此，，選B.2．（2022·湖北·天門市教育科學研究院模擬預測）已知數列的首項是，前項和為，且，設，若存在常數，使不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由數列通項與前項和的關系得到數列的遞推關系，再構造等比數列，求數列的通項公式，進一步求出數列的通項公式，從而可求數列通項公式，代入所求式子，分子、分母同除以構造基本不等式即可求出的最大值，從而求出的范圍.【詳解】由，則當時，得，兩式相減得，變形可得：，又，，所以，，∴數列是以為首項、為公比的等比數列，故，所以，所以，當且僅當時等號成立，故.故選：C.3．（2022·浙江·紹興一中高三期末）已知數列滿足（），，則當時，下列判斷不一定正確的是（

）A． B．C． D．存在正整數k，當時，恒成立【答案】C