海南省2025年春季學期九年級第一次模擬考試數學（考試時間：100分鐘滿分：120分）注意事項：1．本試卷分選擇題、填空題和解答題三部分．2．將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．一、選擇題（本大題滿分36分，每小題3分）在下列各題的四個備選答案中，有且只有一個是正確的，請在答題卡上把你認為正確的答案的字母代號按要求用2B鉛筆涂黑．1.如圖，數軸上點到原點的距離是（）A3 B.－2 C.2 D.12.海南日報全媒體記者從國家稅務總局海南省稅務局了解到，2024年，海南省現行支持科技創新和制造業發展的主要政策減稅降費及退稅億元，有力推動全省新質生產力加速培育、制造業高質量發展．數據“億”用科學記數法表示為（）A. B. C. D.3.已知，，則代數式的值為（）A. B.3 C. D.44.如圖是某包裝盒的簡易圖，由一個正方體和一個三棱柱組成，則它的俯視圖為（）A B. C. D.5.下列計算中，正確是（）A. B. C. D.6.分式方程的解為（）A. B. C. D.7.如圖，將一塊含角的三角板按圖中所示方式放置，使點落在直線上，若直線，，則的度數為（）A. B. C. D.8.細胞的相對表面積是一個關鍵概念，指細胞的表面積與其體積的比率．它與細胞的大小和生理功能緊密相關．生物學中，細胞的相對表面積與細胞的半徑成反比例函數關系，如圖所示．下列說法錯誤的是（）A.細胞的相對表面積與細胞的半徑之間的函數關系式為B.若細胞的相對表面積為，則細胞的半徑為C.細胞的半徑每增大，相對表面積的減少量相同D.細胞的相對表面積隨著細胞半徑的增大而減小9.如圖，在正方形中，，連接．以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作射線交的延長線于點，則的長為（）A.3 B. C.4 D.10.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，連接，將線段向右平移到，若四邊形為菱形，則點的坐標為（）A B. C. D.11.如圖，在中，，，，點在邊上（不與點，重合）．將線段繞點順時針旋轉到，連接，若是等腰直角三角形，則長為（）A. B. C. D.12.如圖，是矩形的邊上一動點，是的中點，連接，將沿所在直線折疊，點的對應點是點，連接．已知，當線段的最小值為1時，邊的長為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題滿分12分，每小題3分）13.因式分解：______．14.某工廠工人的基本工資為4000元／月，完成規定任務后，每多加工一個零件工資增加5元．設小王月工資收入為元，每月多加工的零件數為個，則與之間的函數關系式為______．15.如圖，是的直徑，且，，則的度數為______．16.如圖，在中，為對角線，于點，點是延長線上一點，且，射線交線段的延長線于點．若，，，則的長為______；若點為的中點，連接，則的長為______．三、解答題（本大題滿分72分）17.（1）計算：．（2）解不等式組：18.五指山革命根據地紀念園，是全國三十條紅色旅游經典線路之一．為了帶領學生感受歷史的厚重與革命的激情，某校準備組織七年級學生去五指山革命根據地紀念園進行研學活動．請依據以下對話，求每輛大客車和每輛小客車可分別載學生多少人．19.某市為了解九年級學生身體素質的情況，組織了全體學生進行跑步測試（男生米，女生米），并從中抽取名男生和名女生的成績進行整理（滿分均為分），信息如下．．成績頻數分布表：組別成績（分）頻數男生女生．男生在組中的成績分別是（單位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．女生成績扇形統計圖根據以上信息解答下列問題：（1）填空：______，______；扇形統計圖中，組所對應扇形的圓心角______度．（2）抽取的名男生成績中，中位數為______分．（3）從所有的樣本中，隨機抽取一名學生的成績，該成績恰好在組的概率為______．（4）本次測試規定：成績不低于分為合格．若該市九年級共有名學生，請你估計該市九年級有多少名學生在這次跑步測試中成績達到合格．20.儋州市革命英雄紀念碑是海南省革命烈士紀念物保護單位，其建在一定高度的底座（矩形）上，橫截面如圖所示．某數學小組利用無人機測量紀念碑的高度，測量者在距離底座處的點（，在同一水平線上）垂直升起無人機，當無人機升至處，在點測得紀念碑頂端點的仰角為，測得底座點的俯角為．已知底座的高度為，長為．（1）填空：______，______．（2）求紀念碑碑身的高度．（精確到，參考數據：，）21.如圖1，拋物線經過點和點，與軸交于點，是拋物線上一動點．（1）求該拋物線的函數表達式．（2）當點的坐標為時，求的面積．（3）如圖2，連接，當是以為直角邊的直角三角形時，求點的坐標．22.在矩形中，，是射線上的動點，連接，，是的中點，連接．（1）如圖1，當為的中點時，求證：．（2）在（1）的條件下，若，求線段的長．（3）如圖2，當點在延長線上時，設交于點，且．①連接，若時，判斷的形狀；②過點作交于點，當時，猜想與的數量關系，并證明．

海南省2025年春季學期九年級第一次模擬考試數學（考試時間：100分鐘滿分：120分）注意事項：1．本試卷分選擇題、填空題和解答題三部分．2．將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．一、選擇題（本大題滿分36分，每小題3分）在下列各題的四個備選答案中，有且只有一個是正確的，請在答題卡上把你認為正確的答案的字母代號按要求用2B鉛筆涂黑．1.如圖，數軸上點到原點的距離是（）A.3 B.－2 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】本題考查了數軸上兩點間的距離，絕對值的意義，由數軸可知，點表示的數是，根據絕對值的意義即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：由數軸可知，點表示的數是，∴點到原點的距離為：，故選：C．2.海南日報全媒體記者從國家稅務總局海南省稅務局了解到，2024年，海南省現行支持科技創新和制造業發展的主要政策減稅降費及退稅億元，有力推動全省新質生產力加速培育、制造業高質量發展．數據“億”用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了科學記數法的表示方法，根據科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數即可求解，解題的關鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：億,∴，故選：．3.已知，，則代數式的值為（）A. B.3 C. D.4【答案】D【解析】【分析】本題考查了代數式求值，把，代入求解即可，掌握相關知識是解題關鍵．【詳解】解：∵，，∴，故選：D．4.如圖是某包裝盒的簡易圖，由一個正方體和一個三棱柱組成，則它的俯視圖為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了幾何體的三視圖，根據幾何體的三視圖的定義即可得出答案，掌握幾何體的三視圖的定義是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可知，該組合體的俯視圖為：，故選：B．5.下列計算中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了合并同類項、同底數冪的乘法和除法、冪的乘方，利用相應的運算法則進行準確計算，再判斷，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：A、，計算正確，故選項符合題意；B、，故選項不符合題意；C、，故選項不符合題意；D、，故選項不符合題意；故選：A．6.分式方程的解為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查解分式方程，先去分母，解整式方程，檢驗的步驟解分式方程即可，掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．【詳解】解：左右兩邊同時乘以，得，解得：，經檢驗，是原分式方程的解，故選：．7.如圖，將一塊含角的三角板按圖中所示方式放置，使點落在直線上，若直線，，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了平行線的性質，平角定義，三角板的有關計算，掌握知識點的應用是解題的關鍵．由，則，又，求出即可．【詳解】解：如圖，由題意得，∵，∴，∵，，，∴，∴，故選：．8.細胞的相對表面積是一個關鍵概念，指細胞的表面積與其體積的比率．它與細胞的大小和生理功能緊密相關．生物學中，細胞的相對表面積與細胞的半徑成反比例函數關系，如圖所示．下列說法錯誤的是（）A.細胞的相對表面積與細胞的半徑之間的函數關系式為B.若細胞的相對表面積為，則細胞的半徑為C.細胞的半徑每增大，相對表面積的減少量相同D.細胞的相對表面積隨著細胞半徑的增大而減小【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數的實際應用，根據反比例函數的性質逐一排除即可，熟練掌握反比例函數的性質是關鍵．【詳解】解：、設細胞的相對表面積與細胞的半徑之間的函數關系式為，當，，∴，∴函數關系式為，原選項正確，不符合題意；、若細胞的相對表面積為，則細胞的半徑為，原選項正確，不符合題意；、細胞的半徑每增大，相對表面積的減少量不相同，原選項錯誤，符合題意；、細胞的相對表面積隨著細胞半徑的增大而減小，原選項正確，不符合題意；故選：．9.如圖，在正方形中，，連接．以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作射線交的延長線于點，則的長為（）A.3 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了正方形的性質，角平分線的性質，勾股定理等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．由正方形的性質和勾股定理求出的長，再根據平行線的性質和角平分線的性質求出，得到，即可求解．【詳解】解：由作圖可知，平分，∵四邊形是正方形，∴，，，在中，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．10.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，連接，將線段向右平移到，若四邊形為菱形，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了菱形的性質，勾股定理，坐標與圖形的性質，掌握知識點的應用是解題的關鍵．設與軸交于點，由，則，，，再通過菱形的性質可得，最后由線段和差即可求解．【詳解】解：如圖，設與軸交于點，∵，∴，，∴，∵四邊形為菱形，∴，，∴，∴點的坐標為，故選：．11.如圖，在中，，，，點在邊上（不與點，重合）．將線段繞點順時針旋轉到，連接，若是等腰直角三角形，則的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，直角三角形的性質等知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵．由，，則，則，所以，由勾股定理可得，再由等腰直角三角形的性質和勾股定理求出，最后由線段和差即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，由旋轉性質可知：，∴，故選：．12.如圖，是矩形的邊上一動點，是的中點，連接，將沿所在直線折疊，點的對應點是點，連接．已知，當線段的最小值為1時，邊的長為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由矩形的性質可得，，，通過折疊性質可知：，，則有點在以點為圓心，為半徑的圓上運動，連接，由，從而可知當點三點共線時，有最小值，然后設，則，，最后通過勾股定理，解一元二次方程即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，由折疊性質可知：，，∴點在以點為圓心，為半徑的圓上運動，連接，如圖，∵，∴當點三點共線時，有最小值，即此時，如圖，∵是的中點，∴，設，則，，由勾股定理得：，∴，整理得：，解得：（舍去），，∴，故選：．【點睛】本題主要考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，兩點之間線段最短，解一元二次方程，圓的性質的綜合運用，掌握知識點的應用是解題的關鍵．二、填空題（本大題滿分12分，每小題3分）13.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】本題考查了因式分解，根據平方差公式即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：，故答案：．14.某工廠工人的基本工資為4000元／月，完成規定任務后，每多加工一個零件工資增加5元．設小王月工資收入為元，每月多加工的零件數為個，則與之間的函數關系式為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了一次函數的應用，根據題意列出與之間的函數關系式即可，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：依題意可得，與之間的函數關系式為：，故答案為：．15.如圖，是的直徑，且，，則的度數為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了弧、弦、圓心角的關系，等邊對等角，圓周角定理，掌握知識點的應用是解題的關鍵．由弧、弦、圓心角的關系得，則通過等邊對等角得出，由圓周角定理得，則有，最后由等邊對等角和角度和差即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．16.如圖，在中，為對角線，于點，點是延長線上一點，且，射線交線段的延長線于點．若，，，則的長為______；若點為的中點，連接，則的長為______．【答案】①.②.【解析】【分析】由，則，則，從而求出，，通過平行四邊形的性質，，，通過勾股定理得，通過等腰三角形的性質得出，延長交于點，然后證明，故有，求出，，最后由中位線定理和線段和差即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，如圖，延長交于點，∵，∴，∴，∴，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，，，∵點為的中點，，∴，故答案為：，．【點睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形判定與性質，勾股定理，中位線定理，平行四邊形的性質等知識，掌握知識點的應用是解題的關鍵．三、解答題（本大題滿分72分）17.（1）計算：．（2）解不等式組：【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組，實數的運算，負整數指數冪等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）先化簡各式，然后再進行計算即可解答；（2）按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答．【詳解】解：（1）；（2），解不等式得：，解不等式得：，∴不等式組的解集為：．18.五指山革命根據地紀念園，是全國三十條紅色旅游經典線路之一．為了帶領學生感受歷史的厚重與革命的激情，某校準備組織七年級學生去五指山革命根據地紀念園進行研學活動．請依據以下對話，求每輛大客車和每輛小客車可分別載學生多少人．【答案】每輛大客車可載學生人，每輛小客車可載學生人．【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，設每輛大客車可載學生人，每輛小客車可載學生人，依題意列出方程組，求解即可，掌握二元一次方程組的應用是解題的關鍵．【詳解】解：設每輛大客車可載學生人，每輛小客車可載學生人，依題意得：，解得：，答：每輛大客車可載學生人，每輛小客車可載學生人．19.某市為了解九年級學生身體素質的情況，組織了全體學生進行跑步測試（男生米，女生米），并從中抽取名男生和名女生的成績進行整理（滿分均為分），信息如下．．成績頻數分布表：組別成績（分）頻數男生女生．男生在組中的成績分別是（單位：分）：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．女生成績扇形統計圖根據以上信息解答下列問題：（1）填空：______，______；扇形統計圖中，組所對應扇形的圓心角______度．（2）抽取的名男生成績中，中位數為______分．（3）從所有的樣本中，隨機抽取一名學生的成績，該成績恰好在組的概率為______．（4）本次測試規定：成績不低于分為合格．若該市九年級共有名學生，請你估計該市九年級有多少名學生在這次跑步測試中成績達到合格．【答案】（1），，；（2）；（3）；（4）估計該市九年級有名學生在這次跑步測試中成績達到合格．【解析】【分析】本題考查了扇形統計圖和頻數分布表綜合運用，中位數，概率，樣本估算總體，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解題的關鍵．（）利用組人數除以所占比即可求出的值，用的值乘以組人數所占比即可求出的值，用乘以組人數所占比即可求出；（）根據中位數的定義可得中位數為第位男生成績，即落在組中的第位男生成績，然后算平均數即可；（）根據概率公式即可求解；（）利用樣本估算總體即可求解．小問1詳解】解：根據扇形統計圖可知：（人），∴（人），組所對應扇形的圓心角，故答案為：，，；【小問2詳解】解：∵抽取了名男生，∴中位數為第位男生成績，即落在組中的第位男生成績，∴中位數為，故答案為：；【小問3詳解】解：從所有的樣本中，隨機抽取一名學生的成績，該成績恰好在組的概率為，故答案為：；【小問4詳解】解：（人），∴估計該市九年級有名學生在這次跑步測試中成績達到合格．20.儋州市革命英雄紀念碑是海南省革命烈士紀念物保護單位，其建在一定高度底座（矩形）上，橫截面如圖所示．某數學小組利用無人機測量紀念碑的高度，測量者在距離底座處的點（，在同一水平線上）垂直升起無人機，當無人機升至處，在點測得紀念碑頂端點的仰角為，測得底座點的俯角為．已知底座的高度為，長為．（1）填空：______，______．（2）求紀念碑碑身的高度．（精確到，參考數據：，）【答案】（1），；（2）紀念碑碑身的高度約為．【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，矩形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）過點作于點，過點作于點，由題意可知，四邊形、為矩形，，，，，求出，根據解直角三角形求出，即可求解；（2）由四邊形為矩形，得到，，根據等腰直角三角形的性質得到，即可求解．【小問1詳解】解：過點作于點，過點作于點，如圖：由題意可知，四邊形、為矩形，，，，，∴，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：，；【小問2詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．21.如圖1，拋物線經過點和點，與軸交于點，是拋物線上一動點．（1）求該拋物線的函數表達式．（2）當點的坐標為時，求的面積．（3）如圖2，連接，當是以為直角邊的直角三角形時，求點的坐標．【答案】（1）；（2）；（3）點的坐標為或．【解析】【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，求函數解析式，三角形面積公式等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）直接利用待定系數法求解即可；（2）求出直線的解析式，得到的長，再利用三角形面積公式即可求解；（3）分兩種情況：①點為直角頂點，②點為直角頂點，分別求解即可．【小問1詳解】解：把點和點代入，得：，解得：，∴拋物線的表達式為：；【小問2詳解】解：設交軸于點，如圖：當時，，∴，∴，設直線的解析式為：，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為：