專題11平面解析幾何解答題

歷年考題細目表題型年份考點試題位置解答題2019橢圓2019年北京文科19解答題2018橢圓2018年北京文科20解答題2017橢圓2017年北京文科19解答題2016橢圓2016年北京文科19解答題2015橢圓2015年北京文科20解答題2014橢圓2014年北京文科19解答題2013橢圓2013年北京文科19解答題2012橢圓2012年北京文科19解答題2011橢圓2011年北京文科19解答題2010橢圓2010年北京文科19

歷年高考真題匯編1．【2019年北京文科19】已知橢圓C：1的右焦點為（1，0），且經過點A（0，1）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設O為原點，直線l：y＝kx+t（t≠±1）與橢圓C交于兩個不同點P、Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N．若|OM|?|ON|＝2，求證：直線l經過定點．【解答】解：（Ⅰ）橢圓C：1的右焦點為（1，0），且經過點A（0，1）．可得b＝c＝1，a，則橢圓方程為y2＝1；（Ⅱ）證明：y＝kx+t與橢圓方程x2+2y2＝2聯立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2＝0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），△＝16k2t2﹣4（1+2k2）（2t2﹣2）＞0，x1+x2，x1x2，AP的方程為yx+1，令y＝0，可得y，即M（，0）；AQ的方程為yx+1，令y＝0，可得y．即N（，0）．（1﹣y1）（1﹣y2）＝1+y1y2﹣（y1+y2）＝1+（kx1+t）（kx2+t）﹣（kx1+kx2+2t）＝（1+t2﹣2t）+k2?（kt﹣k）?（），|OM|?|ON|＝2，即為|?|＝2，即有|t2﹣1|＝（t﹣1）2，由t≠±1，解得t＝0，滿足△＞0，即有直線l方程為y＝kx，恒過原點（0，0）．

2．【2018年北京文科20】已知橢圓M：1（a＞b＞0）的離心率為，焦距為2．斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A，B．（Ⅰ）求橢圓M的方程；（Ⅱ）若k＝1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）設P（﹣2，0），直線PA與橢圓M的另一個交點為C，直線PB與橢圓M的另一個交點為D．若C，D和點Q（，）共線，求k．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知：2c＝2，則c，橢圓的離心率e，則a，b2＝a2﹣c2＝1，∴橢圓的標準方程：；（Ⅱ）設直線AB的方程為：y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯立，整理得：4x2+6mx+3m2﹣3＝0，△＝（6m）2﹣4×4×3（m2﹣1）＞0，整理得：m2＜4，x1+x2，x1x2，∴|AB|，∴當m＝0時，|AB|取最大值，最大值為；（Ⅲ）設直線PA的斜率kPA，直線PA的方程為：y（x+2），聯立，消去y整理得：（x12+4x1+4+3y12）x2+12y12x+（12y12﹣3x12﹣12x1﹣12）＝0，由代入上式得，整理得：（4x1+7）x2+（12﹣4x12）x﹣（7x12+12x1）＝0，x1?xC，xC，則yC（2），則C（，），同理可得：D（，），由Q（，），則（，），（，），由與共線，則，整理得：y2﹣x2＝y1﹣x1，則直線AB的斜率k1，∴k的值為1．

3．【2017年北京文科19】已知橢圓C的兩個頂點分別為A（﹣2，0），B（2，0），焦點在x軸上，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于點E．求證：△BDE與△BDN的面積之比為4：5．【解答】解：（Ⅰ）由橢圓的焦點在x軸上，設橢圓方程：（a＞b＞0），則a＝2，e，則c，b2＝a2﹣c2＝1，∴橢圓C的方程；（Ⅱ）證明：設D（x0，0），（﹣2＜x0＜2），M（x0，y0），N（x0，﹣y0），y0＞0，則直線AM的斜率kAM，直線DE的斜率kDE，直線DE的方程：y（x﹣x0），直線BN的斜率kBN，直線BN的方程y（x﹣2），，解得：，過E做EH⊥x軸，△BHE∽△BDN，則|EH|，則，∴：△BDE與△BDN的面積之比為4：5．

4．【2016年北京文科19】已知橢圓C：1過點A（2，0），B（0，1）兩點．（1）求橢圓C的方程及離心率；（2）設P為第三象限內一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．【解答】（1）解：∵橢圓C：1過點A（2，0），B（0，1）兩點，∴a＝2，b＝1，則，∴橢圓C的方程為，離心率為e；（2）證明：如圖，設P（x0，y0），則，PA所在直線方程為y，取x＝0，得；，PB所在直線方程為，取y＝0，得．∴|AN|，|BM|＝1．∴．∴四邊形ABNM的面積為定值2．

5．【2015年北京文科20】已知橢圓C：x2+3y2＝3，過點D（1，0）且不過點E（2，1）的直線與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x＝3交于點M．（1）求橢圓C的離心率；（2）若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；（3）試判斷直線BM與直線DE的位置關系，并說明理由．【解答】解：（1）∵橢圓C：x2+3y2＝3，∴橢圓C的標準方程為：y2＝1，∴a，b＝1，c，∴橢圓C的離心率e；（2）∵AB過點D（1，0）且垂直于x軸，∴可設A（1，y1），B（1，﹣y1），∵E（2，1），∴直線AE的方程為：y﹣1＝（1﹣y1）（x﹣2），令x＝3，得M（3，2﹣y1），∴直線BM的斜率kBM1；（3）結論：直線BM與直線DE平行．證明如下：當直線AB的斜率不存在時，由（2）知kBM＝1，又∵直線DE的斜率kDE1，∴BM∥DE；當直線AB的斜率存在時，設其方程為y＝k（x﹣1）（k≠1），設A（x1，y1），B（x2，y2），則直線AE的方程為y﹣1（x﹣2），令x＝3，則點M（3，），∴直線BM的斜率kBM，聯立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3＝0，由韋達定理，得x1+x2，x1x2，∵kBM﹣1＝0，∴kBM＝1＝kDE，即BM∥DE；綜上所述，直線BM與直線DE平行．

6．【2014年北京文科19】已知橢圓C：x2+2y2＝4．（Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）設O為原點，若點A在直線y＝2上，點B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）橢圓C：x2+2y2＝4化為標準方程為，∴a＝2，b，c，∴橢圓C的離心率e；（Ⅱ）設A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，則∵OA⊥OB，∴0，∴tx0+2y0＝0，∴t，∵，∴|AB|2＝（x0﹣t）2+（y0﹣2）2＝（x0）2+（y0﹣2）2＝x02+y024＝x0244（0＜x02≤4），因為4（0＜x02≤4），當且僅當，即x02＝4時等號成立，所以|AB|2≥8．∴線段AB長度的最小值為2．

7．【2013年北京文科19】直線y＝kx+m（m≠0）與橢圓相交于A，C兩點，O是坐標原點．（Ⅰ）當點B的坐標為（0，1），且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；（Ⅱ）當點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形．【解答】解：（I）∵點B的坐標為（0，1），當四邊形OABC為菱形時，AC⊥OB，而B（0，1），O（0，0），∴線段OB的垂直平分線為y，將y代入橢圓方程得x＝±，因此A、C的坐標為（，），如圖，于是AC＝2．（II）欲證明四邊形OABC不可能為菱形，利用反證法，假設四邊形OABC為菱形，則有OA＝OC，設OA＝OC＝r，則A、C為圓x2+y2＝r2與橢圓的交點，故，x2（r2﹣1），則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數．從而得到點B是W的頂點．這與題設矛盾．于是結論得證．

8．【2012年北京文科19】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的一個長軸頂點為A（2，0），離心率為，直線y＝k（x﹣1）與橢圓C交于不同的兩點M，N，（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當△AMN的面積為時，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓一個頂點為A（2，0），離心率為，∴∴b∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）直線y＝k（x﹣1）與橢圓C聯立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2，∴|MN|∵A（2，0）到直線y＝k（x﹣1）的距離為∴△AMN的面積S∵△AMN的面積為，∴∴k＝±1．

9．【2011年北京文科19】已知橢圓G：1（a＞b＞0）的離心率為，右焦點為（2，0），斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（﹣3，2）．（Ⅰ）求橢圓G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面積．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c，，解得a，又b2＝a2﹣c2＝4，所以橢圓G的方程為．（Ⅱ）設直線l的方程為y＝x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12＝0．①設A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中點為E（x0，y0），則x0，y0＝x0+m，因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k，解得m＝2．此時方程①為4x2+12x＝0．解得x1＝﹣3，x2＝0，所以y1＝﹣1，y2＝2，所以|AB|＝3，此時，點P（﹣3，2）．到直線AB：y＝x+2距離d，所以△PAB的面積s|AB|d．

10．【2010年北京文科19】已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是，，離心率是，直線y＝t橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段為直徑作圓P，圓心為P．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；（Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當t變化時，求y的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因為，且，所以所以橢圓C的方程為（Ⅱ）由題意知p（0，t）（﹣1＜t＜1）由得所以圓P的半徑為，則有t2＝3（1﹣t2），解得所以點P的坐標是（0，）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圓P的方程x2+（y﹣t）2＝3（1﹣t2）．因為點Q（x，y）在圓P上．所以設t＝cosθ，θ∈（0，π），則當，即，且x＝0，y取最大值2．

考題分析與復習建議本專題考查的知識點為：直線方程、圓的方程，直線與圓、圓與圓的位置關系，橢圓、雙曲線、拋物線及其性質，直線與圓錐曲線，曲線與方程等.歷年考題主要以解答題題型出現，重點考查的知識點為：直線與圓、圓與圓的位置關系，橢圓、雙曲線、拋物線及其性質，直線與圓錐曲線等，預測明年本考點題目會比較穩定，備考方向以知識點直線與圓、圓與圓的位置關系，橢圓、雙曲線、拋物線及其性質，直線與圓錐曲線等為重點較佳.最新高考模擬試題

1．已知橢圓的離心率為，橢圓經過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設點是橢圓上的任意一點，射線與橢圓交于點，過點的直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與橢圓交于兩個相異點，證明：面積為定值.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】（1）解：因為的離心率為，所以，解得.①將點代入，整理得.②聯立①②，得，，故橢圓的標準方程為.（2）證明：①當直線的斜率不存在時，點為或，由對稱性不妨取，由（1）知橢圓的方程為，所以有.將代入橢圓的方程得，所以.②當直線的斜率存在時，設其方程為，將代入橢圓的方程得，由題意得，整理得.將代入橢圓的方程，得.設，，則，，所以.設，，，則可得，.因為，所以，解得（舍去），所以，從而.又因為點到直線的距離為，所以點到直線的距離為，所以，綜上，的面積為定值.2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：(a＞b＞0)經過點(0，)，點F是橢圓的右焦點，點F到左頂點的距離和到右準線的距離相等．過點F的直線交橢圓于M，N兩點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）當MF＝2FN時，求直線的方程；（3）若直線上存在點P滿足PM·PN＝PF2，且點P在橢圓外，證明：點P在定直線上．【答案】（1）；（2）；（3）見解析.【解析】（1）設橢圓的截距為2c，由題意，b＝，由點F到左頂點的距離和到右準線的距離相等，得a+c＝，又a2＝b2+c2，聯立解得a＝2，c＝1．∴橢圓C的標準方程為；（2）當直線l與x軸重合時，M（﹣2，0），N（2，0），此時MF＝3NF，不合題意；當直線l與x軸不重合時，設直線l的方程為x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），聯立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．△＝36m2+36（m2+4）＞0．①，②，由MF＝2FN，得y1＝﹣2y2③，聯立①③得，，代入②得，，解得．∴直線方程為；（3）當直線l的斜率為0時，則M（2，0），N（﹣2，0），設P（x0，y0），則PM?PN＝|（x0﹣2）（x0+2）|，∵點P在橢圓外，∴x0﹣2，x0+2同號，又，解得．當直線l的斜率不為0時，由（2）知，，．∵點P在橢圓外，∴y1﹣y0，y2﹣y0同號，∴PM?PN＝（1+m2）（y1﹣y0）（y2﹣y0）＝，整理得，代入直線方程得．∴點P在定直線上．3．已知拋物線：的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，是坐標原點．（1）若直線過點且，求直線的方程；（2）已知點，若直線不與坐標軸垂直，且，證明：直線過定點．【答案】（1）或；（2）.【解析】解：（1）法一：焦點，當直線斜率不存在時，方程為，與拋物線的交點坐標分別為，，此時，不符合題意，故直線的斜率存在．設直線方程為與聯立得，當時，方程只有一根，不符合題意，故.，拋物線的準線方程為，由拋物線的定義得，解得，所以方程為或.法二：焦點，顯然直線不垂直于軸，設直線方程為,與聯立得，設，，，.，由，解得，所以方程為或.（2）設，，設直線方程為與聯立得：，可得，.由得，即.整理得，即，整理得，即，即.故直線方程為過定點.4．已知橢圓，是長軸的一個端點，弦過橢圓的中心，點在第一象限，且，．（1）求橢圓的標準方程；（2）設、為橢圓上不重合的兩點且異于、，若的平分線總是垂直于軸，問是否存在實數，使得？若不存在，請說明理由；若存在，求取得最大值時的的長．【答案】(1)(2)【解析】（1）∵，∴，∵．即，∴是等腰直角三角形，∵，∴，而點在橢圓上，∴，，∴，∴所求橢圓方程為．（2）對于橢圓上兩點，，∵的平分線總是垂直于軸，∴與所在直線關于對稱，，則，∵，∴的直線方程為，①的直線方程為，②將①代入，得，③∵在橢圓上，∴是方程③的一個根，∴，以替換，得到．∴，∵，，，弦過橢圓的中心，∴，，∴，∴，∴，∴存在實數，使得，，當時，即時取等號，，又，，∴取得最大值時的的長為．5．已知拋物線，過拋物線焦點的直線分別交拋物線與圓于（自上而下順次）四點.（1）求證：為定值；（2）求的最小值.【答案】(1)見證明；(2)108【解析】（1）有題意可知，可設直線的方程為，聯立直線和拋物線方程，消可得，所以，，由拋物線的定義可知，，又，所以，所以為定值16.（2）由（1）可知，，，，由，可得，所以（其中），令，，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以.所以的最小值為.6．已知為坐標原點，點，，過點作的平行線交于點.設點的軌跡為.（Ⅰ）求曲線的方程；（Ⅱ）已知直線與圓相切于點，且與曲線相交于，兩點，的中點為，求三角形面積的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因為，故，所以，故，由題設得，由橢圓定義可得點的軌跡方程為：.（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為，因為直線與圓相切，所以，∴，由消去得.設，由韋達定理知：.所以中點的坐標為，所以弦的垂直平分線方程為，即.所以.將代入得（當且僅當，即時，取等號）.所以三角形的面積為，綜上所述，三角形的面積為.7．已知橢圓的離心率為，是橢圓的一個焦點．點，直線的斜率為．（1）求橢圓的方程；（2）若過點的直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，且．求的方程．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意，可得，解得，則，故橢圓的方程為．（2）當的斜率不存在時，，不合題意，故的斜率存在．設的方程為，聯立，得，設，則，即，設，則，則，即整理得．故，的方程為．8．已知橢圓過點，右焦點是拋物線的焦點.（1）求橢圓的方程；（2）已知動直線過右焦點，且與橢圓分別交于，兩點.試問軸上是否存在定點，使得恒成立?若存在求出點的坐標:若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)見解析【解析】（1）因為橢圓過點，所以，又拋物線的焦點為，所以.所以，解得（舍去）或.所以橢圓的方程為.（2）假設在軸上存在定點，使得.①當直線的斜率不存在時，則，，，，由，解得或；②當直線的斜率為0時，則，，，，由，解得或.由①②可得，即點的坐標為.下面證明當時，恒成立.當直線的斜率不存在或斜率為0時，由①②知結論成立.當直線的斜率存在且不為0時，設其方程為，，.直線與橢圓聯立得，直線經過橢圓內一點，一定與橢圓有兩個交點，且，.，所以恒成立綜上所述，在軸上存在點，使得恒成立.9．關于橢圓的切線由下列結論：若是橢圓上的一點，則過點的橢圓的切線方程為.已知橢圓.(1)利用上述結論，求過橢圓上的點的切線方程；(2)若是直線上任一點，過點作橢圓的兩條切線，（，為切點），設橢圓的右焦點為，求證：.【答案】（1）（2）見證明【解析】(1)由題意，將代入橢圓方程，得，所以，所以過橢圓上的點的切線方程為，即.(2)設，，，則過，兩點的橢圓的切線，的方程分別為，，因為在兩條切線上，，，所以，兩點均在直線上，即直線的方程為，當時，，又，，，所以，若，點在軸上，，兩點關于軸對稱，顯然.10．已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，為橢圓上一動點（異于左右頂點），若面積的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線過點交橢圓于兩點，問在軸上是否存在一點，使得為定值？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）由題意，當在上或下頂點時，的面積取值最大值，即最大值為，又，且，解得，，故橢圓的方程為．（2）易知，設直線的方程為，，聯立方程組，整理得，則，，，∵，，∴，，∴，要使為定值，則，解得，所以在軸上存在點，使得為定值．11．已知點，直線，為平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為，且.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設直線與軌跡交于兩點，、，且(，且為常數)，過弦的中點作平行于軸的直線交軌跡于點，連接、.試判斷的面積是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由【答案】(1)(2)見解析【解析】（1）設，則，，，即，即，所以動點的軌跡的方程.（2）聯立方程組消去，得，依題意，，且，，由得，即，整理得：，所以，①因為的中點，所以點，依題意，，由方程中的判別式，得，所以，由①知，所以，又為常數，故的面積為定值.12．已知點P在拋物線上，且點P的橫坐標為2，以P為圓心，為半徑的圓（O為原點），與拋物線C的準線交于M，