上海市松江區2023-2024學年高一上學期期末質量監控數學試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.已知全集，集合，則______________.【答案】【解析】因為全集，集合，所以.故答案為：.2.用反證法證明命題“已知x、，且，求證：或”時，應首先假設“___________”.【答案】且【解析】根據反證法的原理可知，求證或時，應首先假設且.故答案為：且.3.已知方程的兩個根為，則_________.【答案】6【解析】由，得，所以.故答案為：6.4.函數的定義域是___________．【答案】【解析】要使函數有意義，需滿足，所以函數定義域為.故答案為：.5.將化簡為有理數指數冪的形式_______________.【答案】【解析】.故答案為：.6.已知冪函數的圖象過點，則______.【答案】【解析】為冪函數，可設，，解得：，，.

故答案為：.7.設，為正數，且，則最小值是__________.【答案】2【解析】，當且僅當時取等號，則最小值是.故答案為：.8.已知，用、的代數式表示_________.【答案】【解析】由可得，所以.故答案為：.9.設為常數且，在上是嚴格增函數，則實數的取值范圍是_________.【答案】【解析】因為在上是嚴格增函數，所以，因為，所以在單調遞減，所以，又因為，所以，即實數的取值范圍是.故答案為：.10.已知關于的不等式有實數解，則實數的取值范圍是_________________.【答案】【解析】因為關于的不等式有實數解，所以，當時，，當時，，當時，，所以，即，解得或，所以實數的取值范圍是.故答案為：.11.已知函數是奇函數.其定義域為，且滿足，當時，，則_________.【答案】【解析】由題意，所以是周期為4的周期函數，又函數是上的奇函數，且當時，，所以.故答案：.12.已知函數的表達式為，若方程有四個不相等的實根，且，則值范圍是______________.【答案】【解析】當時，，函數關于直線對稱，畫出函數的圖象，如圖所示：，方程有四個不相等的實根，函數與有4個交點，由函數的圖象可知，即的取值范圍為：，由函數的圖象可知：，，且，，，，，，，令，，，設，則，，根據對勾函數單調性其單調遞增，則，又，設，，對稱軸為，則，即，即范圍為.故答案為：．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.已知:整數能被2整除，：整數能被6整除，則是的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】B【解析】充分性：因為：整數能被2整除，所以設此數為，則不一定為整數，即不一定能被6整除，故充分性不成立；必要性：因為：整數能被6整除，所以設此數為，則一定為整數，即一定能被2整除，故必要性成立，綜上所述，是的必要非充分條件.故選：B.14.已知，設，則與的值的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以，當且僅當時等號成立，故.故選：D.15.若函數的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，其參考數據如下：那么方程的一個近似根(精確度為)可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由表格可得，函數的零點在之間，結合選項可知，方程的一個近似根(精確度為0.05)可以是1.42.故選：C.16.設，用表示不超過的最大整數，則稱為“取整函數”，如：，.現有關于“取整函數”的兩個命題：①集合是單元素集：②對于任意，成立，則以下說法正確的是（）A.①②都是真命題 B.①是真命題②是假命題C.①是假命題②是真命題 D.①②都是假命題【答案】A【解析】對于①：當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，則，不符合題意；當時，，則，不符合題意；當時，；則符合題意，不符合題意；綜上，是單元素集，故①正確；對于②：當為整數時，成立；當不為整數時，設（為整數，），當時，，，此時，成立；當時，，則，，此時，成立；當時，，，此時，成立；綜上，對于任意，成立，故②正確.故選：A.三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.17.已知集合.（1）若，求和；（2）若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍.解：（1）因為，所以，所以，.（2）因為“”是“”的充分條件，所以，又因為，所以，所以，所以實數的取值范圍為.18.解下列不等式：（1）；（2）.解：（1）由，得，所以，解得或，所以不等式的解集為.（2）當，即時，，得，此時，，當，即時，，得，此時，，綜上所述，，即不等式的解集為.19.已知函數的表達式.（1）判斷函數在其定義域上的單調性，并說明理由.（2）是否存在實數，使得函數是奇函數？并說明理由.解：（1）在單調遞減，理由如下：任取，且，則，因為，，所以，所以，所以在單調遞減.（2）存在實數，使得函數是奇函數，理由如下：定義域關于原點對稱，由，則，則，即存在實數滿足題意，.20.近來，國內多個城市紛紛加碼布局“夜經濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業、帶動創業，進而提升區域經濟發展活力，某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調查發現：該工藝品在過去的一個月內（以30天計），每件的銷售價格（單位：元/件）關于第天的函數關系近似滿足（為常數，且），日銷售量（單位：件）關于第天的部分數據如下表所示：101520253090951009590已知第10天的日銷售收入為459元.（1）求的值；（2）給出以下四種函數模型：①;②；③；④.請你根據上表中的數據，從中選擇你認為最合適的一種函數模型來描述日銷售量關于第天的變化關系，并求出該函數的解析式：（3）設該工藝品的日銷售收入為函數（單位：元），求該函數的最小值.解：（1）因為第10天的日銷售收入為459元，所以，解得.（2）由表可知，隨的增加先增加后減小，模型①③④均為單調函數，所以②模型符合題意，所以代入，解得，所以.（2）由（1）知，，由（2）知，，所以，所以，當時，，當且僅當，即時取等號，當時，在單調遞減，所以，因為，所以函數的最小值為441.21.對于定義域為的函數，若存在區間(其中，使得函數同時滿足：①函數在上是嚴格增函數或嚴格減函數；②當定義域是時，函數的值域也是,則稱是函數的“等域區間”（1）若區間是函數的“等域區間”，求實數的值；（2）判斷函數是否存在“等域區間”，并說明理由；（3）若區間是函數的一個“等域區間”，求的最大值.解：（1）函數是R上的增函數，由區間是函數的“等域區間”，得，解得，所以.（2）函數在和上都單調遞增，假設是函數的“等域區間”，則在上單調，于是或，因此在