寧夏吳忠市2023屆高三模擬聯考試卷數學(文)試題

學校:姓名:班級：考號：

一、單選題

1-7

1.在復平面內，復數z=—對應的點位于()

I

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.設集合A=8=卜仁>1},則AB=()

A.{x|O<x<ljB.|x|-l<x<ljC.{x[-l<x<0}D?1x|0<x<21

2

3.已知雙曲線/一4=1(〃>0)的一條漸近線的方程為y=4x,則力=()

b-

A.2B.3C.4D.5

4.在學生人數比例為2：3：5的A,B,C三所學校中，用分層抽樣方法招募"名志愿

者，若在4學校恰好選出了6名志愿者，那么”=()

A.9B.15C.24D.30

5.設x,yeR,則“D+l=x+y”是“犬=1”的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.已知各項均為正數的等比數列{%}的前4項和為15,且%=3%+4q,則%=()

A.16B.8C.4D.2

7.某城新冠疫情封城前，某商品的市場需求量》(萬件)，市場供應量”(萬件)與市

場價格X(百元/件)分別近似地滿足下列關系：y=-X+50,力=2x70,當y=必時

的需求量稱為平衡需求量，解封后，政府為盡快恢復經濟，刺激消費，若要使平衡需求

量增加6萬件，政府對每件商品應給予消費者發放的消費券補貼金額是()

A.6百元B.8百元C.9百元D.18百元

8.已知a和夕都是銳角，向量a=(cosa,sina),b=(sin/?,cosp),則()

A.存在a和夕，使得=2B.存在a和夕，使得。〃力

C.存在a和夕，使得D,存在a和夕，使得卜一0=應

9.已知函數“幻=4411(2》+5〉1的定義域為，值域為「5,1],則機的最大值

是)

已知a=ln*,

h<c<aB.a<h<cC.h<a<cD.c<a<h

11.已知定義在R上的函數滿足=/(I)=4,且對任意的4/￡(YO,0],

當時，都有<(%2)-〃石)>2(%2-/),則滿足不等式—2)>2(x—1)的x的取值

范圍是()

A.(-3,+oo)B.(3,+oo)C.S3)D.(-co,-3)

12.設f(x)=r)，右函數“X)的瑯小值為。(acZ),人是從0,1,2,3,4,5k

x-tzlnx,x>0

個數中任取一個，那么。</4亙成立的概率是()

A.-B.-C.|D.-

5436

二、填空題

13.在ABC中，已知AB=5,AC=7,BC=9,則cosA=.

14.已知直線〉="與曲線y=e'-l相切，則4.

15.已知點A(4,0),點尸在拋物線「V=8x上運動，尸是拋物線「的焦點，連接PF

并延長與圓C:(x-2)2+/=1交于點&則一的最小值是.

\PB\

16.已知表面積為54的正方體ABCO-AEGR的頂點都在球。上，過球心O的平面

截正方體所得的截面過正方體相對兩棱BB-的中點F,E,設該截面與AA及CC,的

交點分別為M，N,點P是正方體表面上一點，則以截面EMFN為底面，以點P為頂點

的四棱錐的體積的最大值為.

試卷第2頁，共4頁

三、解答題

17.某企業為了擴大產能規模并提高生產效率，對生產設備進行升級換代，為了對比生

產設備升級后的效果，采集了生產設備升級前后各20次連續正常運行的時間(單位：

天)，得到以下數據：

升級前：21,32,25,24,33,19,28,26,39,36,22.18,28,26,31,

17,24,21,22,26；

升級后：33,28,40,23,27,38,41,35,44,39,33,25,40,35,41,

27,38,33,46,34.

(1)完成下面列聯表；

生產設備連續正常運行超過生產設備連續正常運行不超過

30天30天計

生產設備升級

前

生產設備升級

后

合計

(2)是否有99%的把握說明生產設備升級與設備連續正常運行的時間有關?

n^ad-bcy

參考公式：壽二(a+6)(c+d)(a+c)e+d)，其中參考數據：〃=a+b+c+d.

0.100.050.0100.005

%2.7063.8416.6357.879

18.已知數列｛4｝各項均為正數，且4=1,a^-2an^=a；+2a?.

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵設%二,求4+4+”3++匕30.

anan+l

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PC。，底面ABC。，且PC=P￡>=5,ABCD,

CD=6,DA=AB=BC=3

A'B

⑴求證：BDA.PA；

(2)求點A到平面PBO的距離.

20.已知函數/。)=丁-(2a-l)x-“lnx.

⑴當“=1時，求函數/(x)在點(1,/(1))處的切線方程；

⑵若〃>0且/*)20恒成立，求。的取值范圍.

21.已知橢圓「的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A(-2,0),《1,目兩點.

⑴求橢圓「的方程；

(2)設過點尸(-2⑶的直線交橢圓于C,。兩點，過。作平行于y軸的直線與直線AB交于

點M,與直線AC交于點N.證明：S&AND=2SAANM-

x=2-t—產

22.在直角坐標系X。)，中，曲線C1的參數方程為｛c.2(f為參數且fwl),G與

y=2-3f+產

坐標軸交于A,B兩點.

⑴求|A8|；

fx=cos0

(2)曲線C2的參數方程為(。為參數)，求G上的點到直線距離的最小值.

[y=4sin。

23.已知關于x的不等式|x+3|+|x-Qa.

(1)當a=6時，解不等式；

(2)如果不等式的解集為R,求實數a的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【解析】利用復數的乘除運算法則化簡復數，即可得到結論.

【詳解】由題意，z=——J,

所以，復數對應的點為(-1,-1)，即為第三象限的點.

故選：C.

【點睛】本題考查了復數與復平面對應點之間的關系，屬于基礎題.

2.A

【分析】先化簡集合B,再利用集合的交集運算求解.

【詳解】解：因為5=[42>"=3()<%<2},

所以Ac3={x|0<x<

故選：A.

3.C

【分析】求出雙曲線的漸近線方程為廣土云，結合已知條件，即可得出答案.

■?2

【詳解】由V=1得漸近線的方程為*一2=0,即丫=土法,

由一條漸近線的方程為y=4x得，b=4.

故選：C.

4.D

【分析】設A學校的學生人數為2A,得到三所學校共有學生10%人，再利用比例求解.

【詳解】解：設A學校的學生人數為2k,則三所學校共有學生10k人,

g*6n

由14題忌：一=---=>n=30.

2k\Qk

故選：D.

5.C

【分析】由孫+l=x+y得到x=l或y=l,再利用充分條件和必要條件的定義求解.

【詳解】由孫+l=x+y可得x(y-l)=y-l,所以x=l,或y=l,

所以“孫+l=x+y”等價于"x=l,或y=l”,

答案第1頁，共13頁

所以“沖+1=》+丫”是“3=1”的必要不充分條件,

故選：C.

6.B

【分析】根據等比數列的性質，設出基本量4和4,列出方程，可求解.

【詳解】設正數的等比數列｛4｝的公比為4(夕＞0),

23

則…“a,+4a,q++a,q4+：a,q=15，解…J叱q==l2

(負值舍去),

"4=4。=8.

故選：B.

7.C

【分析】求出封城前的平衡需求量，可計算出解封后的需求量，利用需求量計算價格差距即

為補貼金額.

［詳解］封城前平衡需求量時的市場價格x為-x+50=2x-10=x=20,平衡需求量為30,

平衡價格為20,解封后若要使平衡需求量增加6萬件，則36=-&+50=*=14,

36=2x,-10=＞x,=23,則補貼金額為23-14=9.

故選：C.

8.B

【分析】依題意可得0＜。+尸＜兀，根據數量積的坐標表示及和角公式得到0＜小。41,即

可判斷A、C,當C+力=1時可以判斷B,根據數量積的運算律判斷D.

【詳解】因為a和4都是銳角，所以0＜。+分＜兀，

又a=(cosa,sina),b=(sin/3,cos分)，

所以a?。=cosasin/7-t-cos￡sina=sin(a+/3),p/|=1?|^|=1,

因為0va+/7V7i,所以0＜sin(a+〃)＜l,故0＜〃小＜1,因此A和C錯誤；

JIii

當a+/7=5?時、cos2cos/?_sinasin￡=cos(a+p)=(),即〃〃〃，所以B正確；

,一0=個(a-b)=y/a+h-2a-h=j2-2sin(a+/?)〈亞,所以D專昔誤；

故選：B.

答案第2頁，共13頁

9.C

【分析】根據已知可推得T4sin?+244.又2X+3含2,“+弓，結合正弦函數的圖

I3)23\_63

象可知Si?r<2機+7T1137r,解出不等式即可得出答案.

o36

【詳解】因為/(x)=4sin(2Y卜值域為[-5』],所以-l《sin(2x+#；.

「兀LL,,-兀5兀_71

又XG二，加，所以+—,2^4--,

_4J363_

根據正弦函數的圖象可知乎<2根+[<粵，解得9VzM4當，

636412

所以機的最大值是11詈兀.

故選：C.

10.C

【分析】構造函數Mx)=lnx-x+l并利用其單調性得出即可得到構造函

數f(x)=e*-x-l并利用其單調性得出ee8>|,再利用中間值得e/8>ln1,從而得到結果.

【詳解】設函數//(x)=lnx-x+l,xe(0,+oo),則，(x)=—-l=9，

當x?O,l)時,"(x)>0,所以〃(無)在(0,1)上單調遞增，

,4、44/、4414151

所以〃三二皿三一三+]<〃(1)=0,所以111￡<￡_]=--，所以_出工>],即In1)],得

設函數/(x)=e*-x-l,則J"(x)=e*-1,

當尤￡(F,0)時,r(x)<0,所以“X)在(-8,0)上單調遞減，

當x?0,”)時，用x)>0,所以f(x)在(0,+力)上單調遞增,

所以e*2x+l,當且僅當x=l時等號成立，所以c=e48>-0.8+l=0.2=(=b,即c>6；

又ln*<?-l='，所以e"8>eT>4T>ln*,所以c>“，綜上，b<a<c

4444

故選：C.

11.B

【分析】利用已知條件可知函數/(X)的奇偶性和單調性，進而利用其單調性解不等式

/(x-2)>2(x-l).

【詳解】解：由〃毛)—〃與)>2(*2-%)，推出“幻―2々—(/&)—2玉)>0,

答案第3頁，共13頁

因為X[<*2，則/(x)-2x在(-8,0]上為增函數,

又/(-x)=-/(x),所以/(X)為奇函數，

所以f(x)-2x為奇函數，所以f(x)-2x在R上為增函數.

因為f(x-2)>2(x—l),所以/(x—2)-2(x-l)>0,/(x-2)-2(x-2)>2=/(l)-2xl,所以

x-2>l,即x>3.

故選：B.

12.B

【分析】當。<0時，〃x)無最小值；當。=0時，〃力疝?=/;當a>0時，利用導數可求

得x>0時的“初“?,結合xVO時“xL可構造不等式組，結合g(x)=x+lnx-1的單調性

和g(l)=0可求得a的范圍，從而確定a的取值；列舉出所有基本事件和滿足題意的基本事

件，根據古典概型概率公式可得結果.

【詳解】若a<0，當x>0時，〃x)=x—alnx為增函數，且“X)€(F,E),不合題意；

若”=0,=則〃x)最小值為"0)=0=〃：

[x,x>0

若a>0,當》40時?，“X)的最小值為〃0)=片；

當x>0時，/(》)=平，則若0<x<a,則f'(x)<0；若x>“，則制x)>0；

\/(x)在(0,a)上單調遞減，在(a,2)上遞增，\/(X)此時的最小值為"a)=a(l-lna)；

…，a(iTna)方，則。+加1?0；

設g(x)=x+lnx-l,則g(x)在(0,+8)上單調遞增，又g(l)=0,

.?.a+lna—140的解為OcaWl；

綜上所述：實數。的取值范圍為[0』，又aeZ,，a=0或。=1；

設事件M：“4<6恒成立”，

。，b所有取值構成的基本事件有：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,0),(1,1),

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),共12個;

答案第4頁，共13頁

事件M包含的基本事件有：(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

共9個；

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數與概率的綜合應用問題；解題關鍵是能夠通過分類討論

的方式，結合導數的知識求得的單調性，從而利用〃x)最小值來構造不等式求得。的

值，進而采用列舉法來求得所求概率.

1

13.

10

【分析】根據余弦定理即可求出A的余弦值.

222

-h-Anr'r+i.AB~+AC~—BC~5+7-91

【詳解】在：ABC中，cosA=--------------------

2ABAC2x5x7--10

故答案為：-歷

14.I

【分析】設切點為(與,5),/(x)=e'-l,根據導數的幾何意義推得％=e%.由〃毛)=心)可

推得(%-1)小+1=0.構造函數g(x)=(x-1爛+1,根據導函數可推得g(x)=0有唯一解

x=Q,求出與=0,即可得出答案.

【詳解】設切點為(為,履°),/(x)=e'-l,則r(x)=e*.

根據導數的幾何意義，可知％=e%

又/(為)=e"-1=依=秒&,

即($-l)e”+l=0.

令g(x)=(x-l)e*+1,則g'(x)=xex,

所以當x<0時，g'(x)<0；當x>0時，g'(x)>0,

所以，g(x)=(x-l)e，+l在x=0處取得極小值，也是最小值.

又g(0)=0,所以g(x)=0有唯一解x=0,所以與=0,

即切點為(0,0),所以％=e°=l.

答案第5頁，共13頁

故答案為：1.

15.4

【分析】求出焦點尸(2,0),設尸(x,y).表示出黑？=三土空，令x+3=r,換元根據基本不

IFDIX+3

等式即可求出答案.

【詳解】

由題意可知，拋物線V=8x的焦點為尸(2,0).

設點P(x,y),則由拋物線的定義得|PF|=x+2,

|哂=(X-4)2+/=X2-8X+16+8X=X2+16.

要使犒最小，則應有1PBHM+l=x+3,

\PA\2W+16

此時有

\PB\x+3

令x+3=f,則x=r-3,

IFAI2(r-3)2+16r2-6Z+2525/

——=--------------=---------------=r+------6

\PB\ttt

因為1^>0,顯然有r>0,

25

則由基本不等式知f+亍'/?—=10,當且僅當即r=5時等號成立.

故需y的最小值為10-6=4.

故答案為：4.

16.9

【分析】由正方體表面積求出正方體的棱長，判斷棱錐高最大時點尸的位置，等體積法計算

四棱錐的體積，并求出最大值.

【詳解】設該正方體的棱長為。，球的半徑為r,所以有6a、54,解得。=3,所以該正方體

的棱長為3.

如題圖，由題意可知，若該截面必過正方體相對兩棱BBi,的中點F,E,則該截面EMFN

答案第6頁，共13頁

為菱形，顯然EF//BR，而AG，BR,所以AG，EF,顯然4A，EF,所以EF_L,

而AGCAM=A，AG，AMu平面A“NG，所以EF_Z,平面A|MNC1.

由題圖可以看出當點P與點4或點C重合時棱錐的高最大，為球的半徑.

VA-MFNE~^F-AfMN+^E-A,MN=§'=?而AC=EF=3直，則

VA「MFNE=3AM43A/=9；綜上所述，所求四棱錐的體積的最大值為9.

故答案為：9

17.(1)列聯表見解析

(2)有99%的把握說明生產設備升級與設備連續正常運行的時間有關

【分析】(1)根據已知數據直接補充列聯表即可;

(2)由列聯表可計算得到/=10>6.635,由獨立性檢驗的思想可得到結論.

【詳解】(1)根據已知數據可得列聯表如下:

人

生產設備連續正常運行超過3。生產設備連續正常運行不超過11

天30天計

生產設備升級

51520

前

生產設備升級

15520

后

合計202040

(2)零假設“。：生產設備升級與生產設備連續正常運行的時間無關,

40x(5x5-15x15/

由列聯表數據可得：/=10>6.635

20x20x20x20

二名錯誤，即有99%的把握說明生產設備升級與設備連續正常運行的時間有關.

18.(I)4=2"-l("eN)；

答案第7頁，共13頁

【分析】（1）由已知可推得4M-4=2,即可根據等差數列求出通項公式;

（2）裂項可得"=:（丁二-3r二],求和即可得出答案.

2V2/?-12n+1）

【詳解】（1）由d+i-2q,+|=a：+2a“可得，（a,”[+a,）（a“+i-a“-2）=0.

因為｛q｝是各項均為正數的數列，所以。的+%>0,

所以““+「4=2.

又4=1,

所以數列｛《,｝是以1為首項，2為公差的等差數列，

所以4=1+2（〃-1）=2〃-1.

（2）由（1）知，an=1n-\.

則""=的m=（2〃-1）（2〃+1）=2（2^1-2^71）,

所以4+力2+4++&0=/++-

5J5961

30

,6?

19.(1)證明見解析

0、126

\^)-----------------

【分析】（1）找到R4在面A3C。的射影，證明3。與R4在面A8CZ）的射影垂直，即可利用

線面垂直證明得到線線垂直.

（2）根據題意，設點A到平面尸3。的距離為人利用等體積法，得到

V=；SGBAI>XPO=：SAPBDXh,進而分別求出品”討，PO,S網>，可求出〃的值?

【詳解】（1）取CO中點O,連接PO,AO,BO,

因為PC=PD,所以PO_LC7）,

又平面PCOJ?平面A8CD,POu平面PCD平面PC。一平面/WCD=CD,所以「。工平

面ABCD,

答案第8頁，共13頁

而如u平面ABC。，所以

因為DO=A8=3且。O〃AB,所以四邊形ABOD為平行四邊形,

又DA=DO=3,所以平行四邊形A80D為菱形，

因此AOLBD,

因為AOPO=O,POu平面POA,40u平面PO4,

所以平面POA,

因為PAu平面POA,所以8O_LB4；

所以480為等邊三角形，

所以/BAD=120。，因此3。=VAB2+AD2-2AB-ADcos120°=36，

S4D的面積S,?=-x3x3xsinl200=—,

BfiAD24

在直角三角形P。。中，PO=^PD2-OD2=75^=4.

又PO上平面A8a>,所以PO_L8O,

在直角三角形尸。8中，PB7P()2+08,="2+3?=5，

所以在△曲中，c“叩齒鏟嗡

sinZBPD=Vl-cos2ZBPD=--,

50

△PQ的面積$人詠」x5x5x,

2504

設點A到平面PBD的距離為h,

則三棱錐P-ABD的體積V=1S^BADXPO=；SAPBDXh,

所以二品等

4

答案第9頁，共13頁

綜上，點A到平面P8O的距離為應亙.

73

20.⑴…

(2)0<a<1

【分析】(1)代入〃=1,得到f(x)=f—x-lnx,求出導函數，根據導數的幾何意義求得切

線的斜率，即可得出答案；

(2)因為x2+x>0,分離參數可得畢U.構造函數8。)=至也，根據

ax+x廠+x

Mx)=l-x-lnx的導函數，得出g'(x)的單調性，進而得出函數的最大值為g(l)=l,即可

得出進而得出“的取值范圍.

a

【詳解】(1)當。=1時,f(x)=x2-x-\nx,/(1)=0,

可得r(x)=2x-i-4，故r⑴=o,

X

所以函數/(X)在點(1J(1))處的切線方程為y=0.

(2)由已知xe(0,+8),所以V+x〉。，

由/(x)20,得x?+x2(2x+Inx)a.

因為a>0,所以上式可化為上I士9r空4-In空r

ax~+x

令g(加冷(2x4-1)(1-x-Inx)

則g'(x)=

(x2+x)2

令h(x)=l-x-lnx,則hf(x)=-l-?

x

因為xe(0,M),所以〃(x)<0,所以〃(x)為(0,R)上的減函數，且力(1)=0,

故xe(0,l)時,力(x)>0,即g")>0,所以g(x)在(0,1)上單調遞增；

當xw(l,E)時，h(x)<0,即g'(x)<0,所以g(x)在在。，+上為單調遞減.

所以，當x=l時，g(x)取得極大值，也是最大值8(0皿=隊1)=1.

則要使->”吧在(0,+8)上恒成立，則應有,21.

ax~+xa

又因為。>0,故

21.(1)—+^-=1

43

(2)證明見解析

答案第10頁，共13頁

【分析】(1)由于橢圓的焦點位置未知，可設橢圓的一般式方程

mx2+ny2=l(m>O,n>O,m^n),將點代入所設方程，即可求解；

(2)根據題目條件畫出草圖，可把證明S△八版=2s4ANM轉化成證明例為ND中點的問題,

故根據題設條件進行聯立分別表示出點的坐標，再證明為+%-2yM=0即可.

3

【詳解】(1)設橢圓「的方程為g2+江=1(相>0,〃>0,加二〃)，因過A(-2,0),B1,

4m=1

9,，解得加=:，〃=:，

故-

m+—n=l43

4

22

所以橢圓「的方程為：出“

(2)由題意知直線PC一定存在斜率，故可設PC的方程為：y-3=?x+2),

設。（/*）,C（x,,y2）,X|X-2,x2-2,

（22

￡.+21=1

聯立43,化簡可得：（3+4公）/+8&（2A:+3）X+4（2Z+3）2—12=0

y-3=k（x+2）

△=[8k（2k+3）f-4（3+4公）[4（2女+3）2-12]>0^>A:,

-幽24+3）8（2r+64+3）小

3+4K123+4公

因A(-2,0),所以直線A3的方程是x-2y+2=0,

x=%.占+2

聯立x—2），+2=0，小丁），

又直線AC的方程為y=—(x+2),

々+2

x=x,

必（+2）,生詈^），

聯立

y=；~2（X+2）x2+2

乂（士+2）+%（玉+2）—（電+2）（玉+2）

%+6―2%=y+_（3+2）=

%2+2

答案第11頁，共13頁

因再