第24頁（共25頁）專題04專題04導數在切線中的應用熱點精練熱點精練一、選擇題（共20小題）1．（2023?榆林四模）f（x）＝x2ex+2x+1，則f（x）的圖象在x＝0處的切線方程為（）A．4x﹣y+1＝0 B．2x﹣y+1＝0 C．4ex﹣y+2＝0 D．2ex﹣y+1＝02．（2023?南寧一模）已知直線y＝x是曲線f（x）＝lnx+a的切線，則a＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．（2023?江西模擬）牛頓最早研究過函數f(x)=ax2+bxA．3x﹣y＝0 B．3x+y﹣6＝0 C．2x﹣3y＝0 D．2x+3y﹣11＝04．（2023?四川模擬）設函數f(x)=xex，則曲線y＝f（xA．e B．e2 C．e4 5．（2023?呼和浩特模擬）若曲線y＝2sinx﹣2cosx在點（π2，2）處的切線與直線x﹣ay+1＝0垂直，則實數aA．﹣1 B．?12 C．﹣26．（2023?濰坊三模）若P為函數f(x)=12ex?3x圖象上的一個動點，以PA．[0，2π3） B．（π2，2πC．（2π3，π） D．[0，π2）∪（2π37．（2023?宜賓模擬）已知函數y＝ex的圖象在點P（0，1）處的切線與圓心為Q（1，0）的圓相切，則圓Q的面積是（）A．π B．2π C．3π D．4π8．（2023?郴州模擬）已知函數f（x）＝nx+lnx（n∈N*）的圖象在點(1n，f(1n))處的切線的斜率為an，則數列{A．1n+1 B．3C．n4(n+1) D．9．（2023?河南模擬）已知點P是曲線y＝x2﹣3lnx上任意的一點，則點P到直線2x+2y+3＝0的距離的最小值是（）A．74 B．78 C．3210．（2023?如皋市模擬）若曲線f（x）＝ax（a＞1）與曲線g（x）＝logax（a＞1）有且只有一個公共點，且在公共點處的切線相同，則實數a的值為（）A．e B．e2 C．e1e 11．（2023?錦州一模）已知函數f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若?x0∈[?π4，π3]使得f（x）的圖象在點（x0，A．34 B．1 C．3212．（2023?郴州模擬）定義：若直線l與函數y＝f（x），y＝g（x）的圖象都相切，則稱直線l為函數y＝f（x）和y＝g（x）的公切線．若函數f（x）＝alnx（a＞0）和g（x）＝x2有且僅有一條公切線，則實數a的值為（）A．e B．e C．2e D．213．（2023?聊城三模）若直線y＝x+b與曲線y＝ex﹣ax相切，則b的最大值為（）A．0 B．1 C．2 D．e14．（2023?郴州模擬）若存在直線與曲線f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2﹣a2+a都相切，則a的取值范圍是（）A．[0，25] B．[?25，0]15．（2023?泉州模擬）設點P在曲線y=12e(x?1)上，點Q在曲線y＝ln（2A．1+ln2 B．2(1+ln2) C．1﹣ln2 D．16．（2023?寶雞三模）已知函數f（x）=0，x=0A．f（x）沒有極值點 B．當m∈（﹣1，1）時，函數f（x）圖象與直線y＝m有三個公共點 C．點（1，0）是曲線y＝f（x）的對稱中心 D．直線y＝x﹣1是曲線y＝f（x）的切線17．（2023?西寧二模）已知函數f（x）＝x3﹣ax+2（a∈R），則下列說法錯誤的是（）A．當a＜0時，函數f（x）不存在極值點 B．當a＝1時，函數f（x）有三個零點 C．點（0，2）是曲線y＝f（x）的對稱中心 D．若y＝2x是函數f（x）的一條切線，則a＝118．（2023?衡陽模擬）若f(x)=kx(k＜0)與g（x）＝exA．(?1e，0) B．(?∞，?1e)19．（2023?新羅區校級模擬）已知兩曲線y＝ex與y＝lnx+a，則下列結論正確的是（）A．若兩曲線只有一個交點，則這個交點的橫坐標x∈（1，2） B．若a＝3，則兩曲線只有一條公切線 C．若a＝2，則兩曲線有兩條公切線，且兩條公切線的斜率之積為e D．若a＝1，P，Q分別是兩曲線上的點，則P，Q兩點距離的最小值為120．（2023?杭州模擬）已知a＞0，若點P為曲線C1：y=x22+ax與曲線C2：y＝2a2lnx+m的交點，且兩條曲線在點A．e?12 B．e12 二、多選題（共10小題）21．（2023?常州模擬）已知函數y＝f（x）的導函數y＝f'（x），且f'（x）＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2），x1＜x2，則（）A．x2是函數y＝f（x）的一個極大值點 B．f（x1）＜f（x2） C．函數y＝f（x）在x=x1D．f(22．（2023?安徽模擬）已知直線l與曲線f（x）＝lnx+x2相切，則下列直線中可能與l垂直的是（）A．x+4y＝0 B．2x+5y=0 C．2x+3y=0 23．（2023?浙江模擬）已知函數f（x）＝x3﹣3x+1，則（）A．f（x）有兩個極值點 B．若方程f（x）＝a有三個實根，則a≤﹣1或a≥3 C．點（0，1）是曲線y＝f（x）的對稱中心 D．直線y＝9x﹣15是曲線y＝f（x）的切線24．（2023?呂梁三模）已知函數f（x）＝e2x﹣2ex﹣12x，則下列說法正確的是（）A．曲線y＝f（x）在x＝0處的切線與直線x+12y＝0垂直 B．f（x）在（2，+∞）上單調遞增 C．f（x）的極小值為3﹣12ln3 D．f（x）在[﹣2，1]上的最小值為3﹣12ln325．（2023?南京二模）已知函數f（x）＝|ex﹣a|，a＞0．下列說法正確的為（）A．若a＝1，則函數y＝f（x）與y＝1的圖象有兩個公共點 B．若函數y＝f（x）與y＝a2的圖象有兩個公共點，則0＜a＜1 C．若a＞1，則函數y＝f（f（x））有且僅有兩個零點 D．若y＝f（x）在x＝x1和x＝x2處的切線相互垂直，則x1+x2＝026．（2023?南通模擬）已知O為坐標原點，曲線y＝lnx在點P（x1，y1）處的切線與曲線y＝ex相切于點Q（x2，y2），則（）A．x1y2＝1 B．x1C．OP→?D．當x2＜0時，x27．（2023?衡水二模）已知函數f(x)=eA．f（x）在x＝0處的切線方程為x﹣y+1＝0 B．32C．若函數g（x）的圖象與f（x）的圖象關于坐標原點對稱，則g(x)=?D．f（x）有唯一零點28．（2023?吉林模擬）已知函數f（x）＝x﹣ln（x+1），數列{xn}按照如下方式取定：x1＝1，曲線y＝f（x）在點（xn+1，f（xn+1））處的切線與經過點（0，f（0））與點（xn，f（xn））的直線平行，則（）A．x2＞2?1 B．C．xn+1xn＞129．（2023?長春模擬）定義在R上函數f（x）＝x4+2x3+4x2+ax+1，則（）A．存在唯一實數a，使函數f（x）圖像關于直線x=?12B．存在實數a，使函數f（x）為單調函數 C．任意實數a，函數f（x）都存在最小值 D．任意實數a，函數f（x）都存兩條過原點的切線30．（2023?開福區校級二模）已知f（x）＝x3﹣x，若過點P（m，n）恰能作兩條直線與曲線y＝f（x）相切，其中m≠0，則m與n可能滿足的關系式為（）A．m+n＝0 B．m＝n C．m2﹣n＝0 D．﹣m3+m+n＝0三、填空題（共12小題）31．（2023?日喀則市模擬）已知直線y＝kx+b是曲線f（x）＝xex在點（1，f（1））處的切線方程，則k+b＝．32．（2023?合肥模擬）函數f（x）＝x3﹣alnx在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1＝0平行，則實數a＝．33．（2023?新鄉二模）函數f（x）＝x+cosx的圖象在x＝0處的切線方程為．34．（2023?徐匯區校級三模）設P是曲線y＝﹣x3+x+23上任意一點，則曲線在點P處的切線的傾斜角α的取值范圍是35．（2023?秦安縣校級一模）若f(x)=lnx+1x?a有且只有一個零點，則實數a36．（2023?滁州模擬）已知函數f（x）＝4x+ax2，若曲線y＝f（x）過點P（1，1）的切線有兩條，則實數a的取值范圍為．37．（2023?廈門模擬）已知函數f（x）＝mx+lnx，g（x）＝x2﹣mx，若曲線y＝f（x）與曲線y＝g（x）存在公切線，則實數m的最大值為．38．（2023?寶雞三模）已知曲線y＝ax2（a＞0）在x＝1處的切線與曲線y＝ex也相切，則該切線的斜率k＝．39．（2023?安徽模擬）若過點P（1，m）（m∈R）有3條直線與函數f（x）＝xex的圖象相切，則m的取值范圍是．40．（2023?廣州模擬）若過點（0，b）（b＞0）只可以作曲線y=xex的一條切線，則b41．（2023?湖北模擬）已知函數f（x）＝|lnx|，直線l1，l2是f（x）的兩條切線，l1，l2相交于點Q，若l1⊥l2，則Q點橫坐標的取值范圍是．42．（2023?招遠市模擬）若曲線y＝kx﹣1（k＜0）與曲線y＝ex有兩條公切線，則k的值為．

參考答案參考答案一、選擇題（共20小題）1．【答案】B【解答】解：由f（x）＝x2ex+2x+1，得f′（x）＝（2x+x2）ex+2，所以f′（0）＝2，f（0）＝1，所以f（x）的圖象在x＝0處的切線方程為y＝2x+1，故選：B．2．【答案】C【解答】解：∵f（x）＝lnx+a，∴f'(x)=1設直線y＝x與曲線f（x）＝lnx+a相切的切點為（x0，lnx0+a），則根據題意可知1x0=1且lnx0+a＝x0，所以a＝故選：C．3．【答案】A【解答】解：由題意可得：f(x)=2x所以在（1，f（1））處的切線方程為：y﹣3＝3（x﹣1），即3x﹣y＝0．故選：A．4．【答案】C【解答】解：∵f(x)=xex，∴f'(x)=1?xex，∴f（﹣1）＝﹣∴切點坐標為（﹣1，﹣e），切線斜率為2e，∴切線方程為y+e＝2e（x+1），分別令y＝0，x＝0得該切線分別與兩坐標軸交于(?12故三角形面積為12故選：C．5．【答案】C【解答】解：由題意得，切線斜率為﹣a，y′＝2cosx+2sinx，k＝y′|x=π∴﹣a＝2，即a＝﹣2．故選：C．6．【答案】D【解答】解：由f(x)=12ex?3x設切線的傾斜角為θ（0≤θ＜π），則tanθ＞?3，可得θ∈[0，π2）∪（2π3故選：D．7．【答案】B【解答】解：y'＝ex，則k＝y'|x＝0＝e0＝1，所以y＝ex的圖象在點P（0，1）處的切線方程為：y﹣1＝1×（x﹣0），即x﹣y+1＝0，因為切線與圓心為Q（1，0）的圓相切，所以圓的半徑r=|1?0+1|所以圓Q的面積是πr2＝2π．故選：B．8．【答案】C【解答】解：∵f'(x)=n+1x，∴∴1a∴Sn故選：C．9．【答案】D【解答】解：設P（x，y），則y′＝2x?3x（令2x?3x=?1，解得x＝1或x=?32，∵x即平行于直線2x+2y+3＝0且與曲線y＝x2﹣lnx相切的切點坐標為（1，1），由點到直線的距離公式可得點P到直線2x+2y+3＝0的距離的最小值d=4+4故選：D．10．【答案】C【解答】解：設曲線f（x）＝ax與曲線g（x）＝logax有且僅有一個公共點（x0，y0），∵函數f（x）＝ax與函數g（x）＝logax互為反函數，∴（x0，y0）在直線y＝x上，且y＝x為兩曲線的公切線，則y0＝x0，∵y＝x與曲線g（x）＝logax切于（x0，y0），∴切線斜率k＝1=1x0lna，即又y0＝x0＝logax0，∴1lna=logax0=lnx0lna，∴lnx0∴y0＝ae＝e，解得a=e故選：C．11．【答案】A【解答】解：∵f(x)=sinωx+cosωx=2又?x0∈[?π4，π3]使得f（x）的圖象在點（x∴函數f（x）在[?π4，π3]令ωx+π4=kπ+∵?π4≤x≤π3，∴?又ω＞0，故k＝0時，ω取最小值為34故選：A．12．【答案】C【解答】解：設直線l與y＝f（x）切于（m，alnm），與y＝g（x）切于（n，n2），∵f′（x）=ax，g′（x）＝2∴f（x）與g（x）切線方程分別為y=amx+alnm﹣a，y＝2nx﹣由題意得am=2nalnm?a=?n2，則a＝4m2令h（m）＝4m2﹣4m2lnm，m＞0，則h′（m）＝8m﹣8m?lnm﹣4m＝4m（1﹣2lnm），當m∈（0，e）時，h′（m）＞0，h（m）單調遞增，當m∈（e，+∞）時，h′（m）＜0，h（m）單調遞減．∴?(m)又當m→0時，h（m）→0，當m→+∞時，h（m）→﹣∞，且已知a＞0，∴若f（x）＝alnx（a＞0）和g（x）＝x2有且僅有一條公切線，則實數a的值為2e．故選：C．13．【答案】B【解答】解：設切點坐標為（x0，y0），因為y＝ex﹣ax，所以y′＝ex﹣a，故切線的斜率為：ex0?a=1，ex0=a+1，則x又由于切點（x0，y0）在切線y＝x+b與曲線y＝ex﹣ax上，所以x0+b=ex0?ax0，所以b＝（a+1）﹣x0（令a+1＝t，則b＝t（1﹣lnt），設f（t）＝t（1﹣lnt），f'(t)=(1?lnt)+t?(?1t)=?lnt，令f′（t所以當t∈（0，1）時，f'（t）＞0，f（t）是增函數；當t∈（1，+∞）時，f'（t）＜0，f（t）是減函數．所以f（t）max＝f（1）＝1．所以b的最大值為：1．故選：B．14．【答案】D【解答】解：由f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2﹣a2+a，得f′（x）＝3x2﹣1，g′（x）＝2x，設公切線切曲線f（x）于（s，s3﹣s），切g（x）于（t，t2﹣a2+a），則過兩切點的切線方程分別為：y＝（3s2﹣1）（x﹣s）+s3﹣s，y＝2t（x﹣t）+t2﹣a2+a，即y＝（3s2﹣1）x﹣2s3，y＝2tx﹣t2﹣a2+a，∴3s2?1=2t?2s3=?t2?a2+a，則9令h（s）＝9s4﹣8s3﹣6s2，則h′（s）＝36s3﹣24s2﹣12s＝12s（3s+1）（s﹣1），當s∈（﹣∞,?13）∪（0,1）時，h′（s）＜0，h（s）在（﹣∞,當s∈（?13,0）∪（1,+∞）時，h′（s）＞0，h（s）在（又h（?13）=?1127，h（1）＝﹣5，∴要使方程9s4﹣8s3﹣6s2＝﹣（2則﹣（2a﹣1）2≥﹣5，即1?5∴a的取值范圍是[1?故選：D．15．【答案】D【解答】解：設P（x0，y0），則點P關于直線y＝x﹣1對稱的點為（y0+1，x0﹣1），由于點P在曲線y=12e而ln(2(y則點（y0+1，x0﹣1）在曲線y＝ln（2x﹣2）上，所以曲線y=12e(x?1)與曲線y＝ln（2x﹣2）關于直線對y=12e(x?1)求導，可得y'=12ex?1，令則點（ln2+1，1）在曲線y=12e(x?1)上，且過該點的切線與直線故所求|PQ|的最小值為2×|ln2+1?1?1|故選：D．16．【答案】D【解答】解：函數f（x）的定義域為R，且f（0）＝0，因為當x≠0時，f（x）＝xln|x|，所以當x＞0時，f（x）＝xlnx，此時﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣xln|﹣x|＝﹣xln|x|＝﹣f（x），所以f（x）為奇函數，對于A：當x＞0時，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，令f′（x）＝0得x=1所以在（0，1e）上f′（x）＜0，f（x在（1e，+∞）上f′（x）＞0，f（x所以在x=1e處的f（x）取得極小值點，故對于B：由A可得f（x）極小值＝f（1e）=1eln1e=?1e，f（x）極大值當x→0時，xlnx→0，結合f（x）的單調性和奇偶性，作出f（x）的圖象：所以當?1e＜m＜1e時，函數f（x）圖象與直線y對于C：若（1，0）是f（x）的對稱中心，則有f（x）+f（2﹣x）＝0恒成立，令x＝0時，f（0）+f（2）＝0，但是f（2）＝0﹣f（0）＝0，與f（2）＝2ln2≠0，所以（1，0）不是f（x）對稱中心，故C錯誤；對于D：當x＞0時，f（x）＝xlnx，f′（x）＝lnx+1，令f′（x）＝1，解得x＝1，又f（1）＝0，所以f（x）在（1，0）處的切線的方程為y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1），即y＝x﹣1，故D正確；故選：D．17．【答案】B【解答】解：對于A，當a＜0時，f′（x）＝3x2﹣a＞0，此時f（x）在R上單增，所以當a＜0時，函數f（x）不存在極值點，故A對；對于B，當a＝1時，f（x）＝x3﹣x+2，f′（x）＝3x2﹣1，由f′（x）＜0，可得?33＜x＜33，由f′（x所以函數f（x）的增區間為(?∞，?33)、(所以函數f（x）的極大值為f(?3極小值為f(3又因為f（﹣2）＝﹣8+2+2＝﹣4＜0，由零點存在定理可知，函數f（x）在區間(?2，?3當x≥?33時，f(x)≥f(33)＞0，所以當a＝1時，函數f對于C，對任意的x∈R，f（﹣x）+f（x）＝（﹣x3+ax+2）+（x3﹣ax+2）＝4，所以點（0，2）是曲線y＝f（x）的對稱中心，故C對；對于D，設y＝2x是函數f（x）的一條切線，設切點坐標為（t，t3﹣at+2），又f′（x）＝3x2﹣a，由題意，可得f′（t）＝3t2﹣a＝2，①所以曲線y＝f（x）在x＝t處的切線方程為y﹣（t3﹣at+2）＝2（x﹣t），即y＝2x+t3﹣（a+2）t+2，則t3﹣（a+2）t+2＝0，②聯立①②可得a＝t＝1，故D對．故選：B．18．【答案】A【解答】解：設兩條曲線的公切線為l，P（x1，y1）是l與f（x）的切點，由f(x)=kx，得設Q（x2，y2）是l與g（x）的切點，由g（x）＝ex，得g′（x）＝ex，∴l的方程為y?y1=?kx同理得y=ex2消去x1，得4k=?e設h（x）＝﹣ex（x﹣1）2，即直線y＝4k與曲線h（x）有三個不同的交點，∵h′（x）＝ex（1﹣x2），令h′（x）＝0，得x＝±1，當x∈（﹣∞,﹣1）∪（1,+∞）時，h′（x）＜0；當x∈（﹣1,1）時，h′（x）＞0，∴h（x）有極小值為h（﹣1）＝﹣4e﹣1，h（x）有極大值為h（1）＝0，∵h（x）＝﹣ex（x﹣1）2，ex＞0，（x﹣1）2≥0，∴h（x）≤0，當x趨近于﹣∞時，h（x）趨近于0；當x趨近于+∞時，h（x）趨近于﹣∞，故h（x）的圖象簡單表示為下圖：由圖可知，當﹣4e﹣1＜4k＜0，即?1e＜k＜0時，直線y＝4k與曲線h∴k的取值范圍為（?1故選：A．19．【答案】C【解答】解：若兩曲線只有一個交點，記交點為A(x0，且在此處的切線為公切線，所以ex0=1x0設f（x）＝xex，則x∈（﹣1，+∞）時單調遞增，f（1）＝e＞1，所以A錯誤．如圖，a＝3時，設h（x）＝ex﹣lnx﹣3，則?'(x)=ex?1x，由于h所以存在x0∈(12，1)那么當x∈（0，x0）時，h'（x）＜0，h（x）為單調遞減函數，當x∈（x0，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為單調遞增函數，且?(12)=e+ln2?3＜0則兩曲線有兩個公共點，故沒有公切線，所以B錯誤．a＝2時，設（t，et）是曲線y＝ex上的一點，y′＝ex，所以在點（t，et）處的曲線y＝ex切線為y﹣et＝et（x﹣t），即y＝etx+（1﹣t）et①，設（s，lns+2）是曲線y＝lnx+a上的一點，y'=1所以在點（s，lns+2）處的切線方程為y?(lns+2)=1s(x?s)所以et=1s(1?t)et=lns+1，解得a＝1時，曲線y＝ex的一條切線為y＝x+1，y＝lnx+a的一條切線y＝x，兩切線間的距離為最小值22，所以D故選：C．20．【答案】B【解答】解：設P（x0，y0），則有x022+ax0＝2a2lnx0由y=x22+ax，可得y′＝x+a；由y＝2a2lnx+m，可得y′=2a2x由②可得：x02+ax0＝2a2，即（x0+a2）2=9a24，所以x將x0＝a代入①，得a22+a2＝2a2lna+m，所以m=32a2﹣2a令f（x）=32x2﹣2x2lnx，x＞0，則f′（x）＝3x﹣（4xlnx+2x）＝x﹣4xlnx＝x（1﹣4令f′（x）＝0，得x1＝0，x2=e所以當x∈（0，e14）時，f′（x）＞0，f（當x∈（e14，+∞）時，f′（x）＜0，f（所以f（x）max＝f（e14）=3所以m的最大值為e1故選：B．二、多選題（共10小題）21．【答案】AB【解答】解：令f'（x）＞0，解得x1＜x＜x2，令f'（x）＜0，解得x＞x2或x＜x1，則f（x）在（x1，x2）上單調遞增，在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上單調遞減，故x2是函數y＝f（x）的一個極大值點，f（x1）＜f（x2），A、B正確；∵x1＜x1+2x23＜x2，則f'(又∵x1＜x1+故選：AB．22．【答案】AB【解答】解：f（x）的定義域為（0，+∞），∵f'(x)=1x+2x≥22，即直線設與l垂直的直線的斜率為m，則k=?1m，所以?1故選：AB．23．【答案】ACD【解答】解：由f'（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）＝0解得x1＝﹣1，x2＝1，則函數f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上單調遞增，在（﹣1，1）上單調遞減，所以f（x）在x＝﹣1，x＝1處取得極值，所以函數有兩個極值點，所以選項A正確；由選項A可知，若方程f（x）＝a有三個實根，需要a的取值介于兩個極值點之間，即f（1）＜a＜f（﹣1），即﹣1＜a＜3，所以選項B錯誤；計算得f（﹣x）+f（x）＝2，則點（0，1）是y＝f（x）的對稱中心，所以C正確；當f'（x）＝3x2﹣3＝9時，解得x＝±2，而f（﹣2）＝﹣1，f（2）＝3，所以直線y＝9x﹣15是曲線y＝f（x）在點（2，3）處得切線，所以選項D正確．故選：ACD．24．【答案】BC【解答】解：∵f（x）＝e2x﹣2ex﹣12x，∴f'（x）＝2e2x﹣2ex﹣12＝2（ex﹣3）（ex+2），∴f'（0）＝﹣12，故A錯誤；令f'（x）＞0，解得x＞ln3，∴f（x）的單調遞增區間為（ln3，+∞），∵（2，+∞）?（ln3，+∞），∴f（x）在（2，+∞）上單調遞增，故B正確；當x＜ln3時，f'（x）＜0，∴f（x）的單調遞減區間為（﹣∞，ln3），∴f（x）的極小值為f（ln3）＝3﹣12ln3，故C正確；f（x）在[﹣2，1]上單調遞減，則最小值為f（1）＝e2﹣2e﹣12，故D錯誤；故選：BC．25．【答案】BCD【解答】解：對于A，當a＝1時，f（x）＝|ex﹣1|＝1，則ex＝0或ex＝2，則x＝ln2，故僅有1公共點，則A錯誤；對于B，f（x）＝|ex﹣a|＝a2，則ex﹣a＝a2或ex﹣a＝﹣a2，故a2+a＞0a?a2對于C，令f（x）＝0，則x＝lna，設f（f（x））＝0，則f（x）＝lna，又因為a＞1時，0＜lna＜a，故f（x）＝lna有兩解，則C正確；對于D，當ex1?a和a?ex2同時為正或為負時，不成立，不妨設f(x1)=a?ex1，則f'(x1)=?故選：BCD．26．【答案】AB【解答】解：因為y＝lnx，所以y'=1又P（x1，lnx1），所以k=1x1，切線方程為y?ln因為y＝ex，所以y'＝ex，又Q(x2，切線：y?ex2由題意切線重合，所以1x1=ex2lnx1?1=當x1＝1時，兩切線不重合，不合題意，所以?x2?1=1x1(1?x2)，x1≠1，﹣x1x2﹣x1＝1﹣x2，所以x1x2﹣OP→?OQ→=x1x2+y1y2=x1(?lnx1)+(lnx1)ex2=?設f（x）＝ex（﹣x+1），x＜0，則f'（x）＝ex（﹣x）＞0，所以函數f（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，所以0＜f（x）＜1，所以0＜ex2(1?x2)＜1，所以lnx1﹣1∈（0，1），∴e＜x1＜e2，記g（x）＝x﹣lnx，（e＜x＜e2），則g'(x)=1?1x=x?1x＞0，所以函數g（x）在（e，e故選：AB．27．【答案】ABD【解答】解：對于A，f(x)=ex?12x2，求導得f′（x）＝ex﹣x，有f（0）＝1，f′（0）＝1，所以f（x）在x＝0處的切線方程為y﹣1＝x對于B，函數f(x)=ex?12x2，有f(ln2)=對于C，函數f(x)=ex?12x2，函數g（x）的圖象與f對于D，f(x)=ex?12x2的定義域為R，求導得f′（令g（x）＝f′（x）＝ex﹣x，g′（x）＝ex﹣1，當x＞0時g′（x）＞0，當x＜0時，g′（x）＜0，則函數f′（x）在（0，+∞）上遞增，在（﹣∞，0）上遞減，于是f′（x）min＝f′（0）＝1＞0，f（x）在R上單增，而f(0)=1＞0，f(?1)=1由零點存在性定理知f（x）在（﹣1，0）內存在唯一零點，所以f（x）有唯一零點，D正確．故選：ABD．28．【答案】ABD【解答】解：因為f（x）＝x﹣ln（x+1），所以f'(x)=1?1x+1，f'(xn+1)=1?1xn+1+1，f（0）＝0﹣ln1＝0，f（xn）＝x所以1xn+1+1因為x1＝1，所以x2記u(x)=lnx?1所以u'(x)=1所以u（x）單調遞減，所以u（x）＜u（1）＝0，所以lnx＜1所以ln2＜12所以x2＞2設xn＞0，則xn+1設xn＝t，f（t）＝t﹣ln（t+1），所以f'(t)=1?1t+1＞0(t＞0)，f（t所以若xn＞0，則xn﹣ln（xn+1）＞0，則xn因為x1＞0，所以x2＞0，x3＞0...xn＞0，xn+1＞0，所以xn＞0恒成立，故B正確；xn+1xn令xn＝t，即證明2t(t+2)＞ln(t+1)，令所以t＞0時，g'(t)=1t+1?2(t+2)?2t(t+2)2=(t+2)2?4(t+1)(t+2)2x1若數列{xn}為單調，則{xn}必為單調遞減，則xn+1﹣xn＜0，即[xnln(xn+1)?1]?xn＜0，即x即xn＜（xn+1）ln（xn+1）（xn＞0），即t﹣1＜tlnt（t＞1），即1?1t＜lnt令?(t)=lnt?(1?1t)(t＞1)，則?'(t)=1所以h（t）單調遞增（t＞1），所以h（t）＞h（1）＝0，所以1?1t＜lnt（t故選：ABD．29．【答案】ACD【解答】解：對于A，若f（x）圖象關于x=?12對稱，則f（x）＝f（﹣1﹣所以f（0）＝f（﹣1）且f（1）＝f（﹣2），所以1=4?a8+a=17?2a，解得a且當a＝3時，f（x）＝x4+2x3+4x2+3x+1＝x2（x+1）2+3x（x+1）+1，則f（﹣1﹣x）＝（﹣1﹣x）2（﹣1﹣x+1）2+3（﹣1﹣x）（﹣1﹣x+1）+1＝x2（x+1）2+3x（x+1）+1＝f（x），所以存在唯一實數a，使函數f（x）圖象關于直線x=?12對稱，故對于B，f'（x）＝4x3+6x2+8x+a，x∈R，則f'（x）∈R，所以函數f（x）不是單調函數，故B不正確；對于C，由于f'（x）＝4x3+6x2+8x+a，又令h（x）＝f'（x）＝4x3+6x2+8x+a，則h'（x）＝12x2+12x+8＝12（x+12）所以f'（x）在x∈R上單調遞增，且x→﹣∞，f'（x）＜0；x→+∞，f'（x）＞0，故f'（x）存在唯一的零點x0，使得f（x0）＝0，所以當x∈（﹣∞，x0）時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減，當x∈（x0，+∞）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增，故對任意實數a，函數f（x）都存在最小值，故C正確；對于D，由于f'（x）＝4x3+6x2+8x+a，設曲線y＝f（x）上的切點坐標為（x1，f（x1）），則k＝f'（x1）＝4x13+6x12+8x1+a，f（x1）=x所以切線方程為y﹣（x14+2x13+4x12+ax1+1）＝（4x13+6有﹣（x14+2x13+4x12+ax1+1）＝（4x13整理得3x14+4x13故選：ACD．30．【答案】AD【解答】解：設切點坐標為（t，t3﹣t），因為f（x）＝x3﹣x，則f′（x）＝3x2﹣1，切線斜率為f′（t）＝3t2﹣1，所以曲線y＝f（x）在x＝t處的切線方程為y﹣（t3﹣t）＝（3t2﹣1）（x﹣t），將點P的坐標代入切線方程可得2t3﹣3mt2+m+n＝0，過點P（m，n）恰能作兩條直線與曲線y＝f（x）相切，即方程2t3﹣3mt2+m+n＝0有2個解，即2t3﹣3mt2+m＝﹣n，y＝﹣n與g（t）＝2t3﹣3mt2+m的圖象有2個交點，g′（t）＝6t2﹣6mt＝6t（t﹣m），若m＞0，令g′（t）＞0，得t＞m或t＜0，令g′（t）＜0，得0＜t＜m，即g（t）在（m，+∞）上單調遞減，在（m，+∞）和（﹣∞，0）上單調遞增，若m＜0，令g′（t）＞0，得t＞0或t＜m，令g′（t）＜0，得m＜t＜0，即g（t）在（m，0）上單調遞減，在（0，+∞）和（﹣∞，m）上單調遞增，又g（0）＝m，g（m）＝2m3﹣3m3+m＝﹣m3+m，故由圖可知，當﹣n＝m或﹣n＝﹣m3+m時，y＝﹣n與g（t）＝2t3﹣3mt2+m的圖象有2個交點，此時，m+n＝0或﹣m3+m+n＝0．故選：AD．三、填空題（共12小題）31．【答案】e．【解答】解：由題設，f（1）＝e且f′（x）＝（x+1）ex，則f′（1）＝2e，所以，切線方程為y﹣e＝2e（x﹣1），即y＝2ex﹣e，所以k＝2e，b＝﹣e，故k+b＝e．故答案為：e．32．【答案】5．【解答】解：∵f（x）＝x3﹣alnx，∴f'(x)=3x2?ax∵切線與直線2x+y+1＝0平行，∴f'（1）＝3﹣a＝﹣2，∴a＝5．故答案為：5．33．【答案】x﹣y+1＝0．【解答】解：因為f（x）＝x+cosx，所以f′（x）＝1﹣sinx，則f（0）＝1，f′（0）＝1，故f（x）的圖象在x＝0處的切線方程為y＝x+1?x﹣y+1＝0．故答案為：x﹣y+1＝0．34．【答案】[0，π4]∪（π2，【解答】解：由已知得tanα＝y′＝﹣3x2+1≤1＝tanπ4由α∈[0，π）得α∈[0，π4]∪（π2，故答案為：[0，π4]∪（π2，35．【答案】1．【解答】解：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=1令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，若函數f(x)=lnx+1則f（x）極小值＝f（1）＝1﹣a＝0，解得：a＝1，故答案為：1．36．【答案】（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．【解答】解：設切點為A(x0，4x0+ax02)，直線則k＝f'（x0）＝4+2ax0，所以切線方程為y?(4將（1，1）代入化簡得ax所以方程ax所以a≠0，且Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3）＝4a2+12a＞0，所以a＞0或a＜﹣3，即實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．37．【答案】12【解答】解：f'(x)=m+1x，g'(x)=2x?m，假設兩曲線在同一點（x0，則m+1x