2022年高考押題預測卷03(全國乙卷)

理科數學?全解全析

123456789101112

CADAACBBBDDA

1.A

A={(x,y)|(x_l)(y_l)ZO}={(x,y)|xZl且或且y?l}

集合8表示的區域為以(1,1)為圓心，半徑為1的圓上和圓的內部.

則ADB如圖所示：

所以(x,y)eAnB的概率為3

故選：A

2.B

1-3/(1-30(1-01-Z-3/-31?

z=------=----------------=--------------=-1—21,

1+i(1+/)(1-02

其對應點在第三象限，故選B.

3.D

拋物線過點e，-i),則。=-；

所以/=_：y

4

由拋物線的標準方程可得，拋物線的焦點位于)'軸負半軸，

準線方程為y一.

16

故選：D

4.C

圓錐底面周長為2乃，又其側面展開圖為半圓，則圓錐母線長SB=@=2

直角三角形ABC中，AB=2,AC=1,AC，C3,則CB=G

分別取&4、BC、的中點“、N、P,連接（W、ON、MN、PN、PM

又由。為A3中點，則OM//SB,ONIIAC,

則NMON為異面直線AC與S3所成角或其補角.

由M/7/SO,可知平面ABC,則MP_L/W

在口同取中，MPLPN,MP=—,PN=—,則

222

在口加。％中，OM=1,ON=g,MN=—

22

則cosAMON=----—~~y=--

2xlxl4

2

則異面直線AC與SB所成角的余弦值為:

4

故選：C

5.C

由q=1得%=q+3=4,a3=2a,-1=7,a4=a3+3=10,

a5=2aA—1=19,ah=a5+3=22,a7=2a6—1=43.

故選：C.

6.C

解：根據圖1可知2017—2021年全國居民人均可支配收入逐年遞增，

故A正確，C錯誤；

根據圖2可知，2021年全國居民人均消費支出構成中教育文化娛樂占比為10.8%,

交通通信占比為13.1%,故B正確；

食品煙酒和居住占比分別為29.8%,23.4%

由29.8%+23.4%=53.2%>50%,故D正確.

故選：C.

7.B

I11

令小唱，則"岑辛1+——Inx

x__

(x+l)2

則g'(x)=-5—L<0,所以g(x)在(0,+力)上單調遞減,

令g(x)=1+--Inx

且g(e)=l+1-lne=1>0,g(e2]=]+^--\ne2=^--\<0,由零點存在性定理可知，存在唯一的/e,使

eex,e~e~\，

得g(Xo)=l+'-lnx°=O,即以玉=lnx°,因止匕x€(0,x。)時，f\x)>Q,即/(x)在x€(0,x0)上單調遞增，

xe($,w)時，r(x)<0,即〃x)在xe(為,”)上單調遞減，所以〃x)在x=x0處取得極大值，同時也是

最大值,

因止匕〃)誓〃)野

4=<1,3=即4<C,

b<c9

ln4In341n4-51n3Ind"-'?'

-14~~20-20

而函數y=lnx在(0,+e)上單調遞增，且4」>3、，所以In4“>ln35,故**>0,即/一野>0,因

此a>0,所以“>〃，因止匕6<a<c,

故選：B.

8.B

由等比數列前〃項和公式有：1+2+3+…+〃=也附，

2

12Jl1、

則：—n—a---------=-7=2-----------r，

1+2+3H-----\-n\nn+\)

則該數列的前〃項和為：2(1-g]++…+[,=2(1=

<2)(23)n+\\n+\)〃+1

本題選擇8選項.

9.B

因“弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，且覺=5,麗=6,麗=3而,

____________3_____3_______33_____

則B戶=3。+“=3。+—麗=+巳(巨豆+初)=+一(一—BF+BA)

4444

=BC-—BF+-BA,解得5產=、5C+—5A,所以+—

16425252525

故選：B

10.D

由題意可得如下示意圖，設AC,8。交于￡,

則AC_L8?,即CE_L8￡),PE_L

所以NPEC為二面角P-BD-C的平面角，即"EC=y,

又PECCE=E,所以平面PCE,

過戶作尸尸_LAC于尸，BD±PF,BDr\AC=E,

所以PF_L平面ABC。，

若O,。'分別是面BDC的外接圓圓心、三棱錐P-8C。的外接球的球心，

則OO，平面ABCD,所以OO'HPF,

所以P,F,0,0,必共面且該面為球體的最大截面，

連接OO：O'D,OD,O'P,有。￡>=OP=R為外接球半徑，

8=r為面BOC的外接圓半徑，若設6>O=x,

則:V+產=R2,OF2+(PF-x)2=R2,

口菱形ABO)中，A=|,AB=4?NPEC=q,

□PD=DC=PB=BC=46,PE=EC=6,BO=4百，

iLED^—=2y/3,OE=—=2,PF=PEsin%=36,OF=OE+EF=2+PEcos-=5,

2333

r2=OD2=OEZ+ED2

即^+16=25+(3百-4,解得x=26，R2=28,

所以三棱錐P-8CZ)的外接球的表面積4成2=112n,

故選：D

11.D

解：依題意可得A(F,O),尸(-GO),因為P在第一象限，所以2>0,設川引,*),。(孫％)，聯立直線

x1y2

與雙曲線方程/一"I消去)得僅2-八2卜2-?2=0,解得工=±j2ab居4'所以

y=kx

pababkababk

7bl-011cl，J/?2-02k2,，<“2-a2k2'\Jh2-crk2?

設3(%,〃)，由FB=2BQ,所以而=2血，即(m+c,〃)=2--1ab-m,一~/:」；-n

I\Jb~-a~k~y!b--a~k~

因為3、A、P在一條直線上，所以A”=&AB，

abk_labk

即ab+ay/b1-a2k22ah+(c-3〃)\Jh2-crk2

12__________

"ab+a>Jb2-a2k22ab+(c-3a)\]b2-crk2'

艮|Jlab+2ay/h2-a2k2=2ah+(c-3a)>Jb2-a2k2

所以2a>Jb2-a2k2=(c-3tz)^b2-a2k2

解得c=5a

所以e=￡=5

a

故選：D

12.A

f^x)=^e-d)ex-iTKi+x,則f,^x)={e-d)ex+\,

若INO,可得用x)>0,函數〃力為增函數,

當時，/(x)->+oo,不滿足/(x)K。對任意XER恒成立;

若e—av0，可得/外勾=0,得/=-----,則x=ln----,

a—ea—e

口當x<ln-^—時用x)>0,當時用x)<0

/、In」-11

[e-a)ea~e-ma+ln----=-l-ma+\n----,

a-ea-e

若/(x)40對任意XWR恒成立，則-1-.+ln=WO(a>e)恒成立,

若存在實數4,使得-1-"?a+ln—!—40成立，

a-e

e?.11In(a-e)

貝ijmaN—1+In----,mN-------------(za>e),

a-eaa

令尸

a

六一'"4(a-e)lnge)-e.

F一

a~2

□當e<av2e時，當o〉2e時，F"(tz)>0,

貝UF(a)mh,=F(2e)=-g

口，“w-L則實數加的取值范圍是一工1

，+8.

故選：A

13.-160

因為(2x-：+2)，)展開式的通項為

&=C；(2x-J6-r

1(2y)=c；C_.(2x)6i⑵，)'

=qCT..(-l)A產fy(0<Z:<6-r)

令，=0次=3,可得常數項是《C".(_l)3=T60.

故答案為：-160.

14.(?,1)

，(x)2/(x)

設g(x)=A?，則gv)=^；,

XX

因為x>0,xf\x)-2f(x)<0,所以g'(x)<0,g(x)在((),”)上單調遞減,

售…，即早平等令2-，即曾〉等g(〉g⑵,

所以r<2,2*<2，所以x<].

故答案為：

15.(0,20]

b+2cosB+AosA=6,。=2,

由余弦定理得6+“-一+廠_+b「a-=6,所以6+c=6,

2ac2bc

即|AB|+|AC|=6,又忸。=2,

所以A在以民C為焦點，長軸長為6的橢圓上（不在直線BC上），如圖以BC為x軸，線段BC中垂線為V軸

22

建區平面直角坐標系，設橢圓方程為方~+工~=1，則。=3,c=l,所以b=\//—W=20，

當A是橢圓短軸頂點時，A到8c的距離最大為b=2及，

所以的最大值為:x2x2及=2忘，可無限接近于0,無最小值,

S"BC的取值范圍是（0,2夜］,

故答案為：（0,2近］.

四棱錐S-ABCD中，可得：4。，SA4。_L48=A￡）L平面劑3n平面SA6，平面ABCD，過S作SO，45

18

于。，則SOJ?平面A8CQ,設/SAB=9,故匕.ABCO=§5.8，

所以sin6w[——,1]>=夕￡=>——<COS0<—,

22

在AS4B中，S4=AB=2,則有，SB=20-cos?,所以AS4B的外接圓半徑r=』一=二。。,巳,

2sin。sin。

將該四棱錐補成一個以SAB為一個底面的直三棱柱，得外接球的半徑

R=5〃+1,=5=4%/?2=4萬(2+]),所以se[也，20R.

1+cos。3

故答案為等，2()乃

點睛：解決與球有關的內切或外接的問題時，解題的關鍵是確定球心的位置.對于外切的問題要注意球心

到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題

時要構造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半

徑.

17.(1)

選口：

______3333

因為4cC8=——，所以MCOS(￡-C)=-3,

22

又。=7,b=3,所以cosC=U,所以sinC=2^,

1414

所以SA.?r=—aZ?sinC="?.

ZA/IOV2

選口：

因為a=7,h=3,所以由正弦定理可得;-2c：s,=)=f=岑,

2cosB-13bsinn

所以sinB-2sinBcosA=2sinAcosB-sinA,sinA+sinB=2sinBcosA+2sinAcosB=2sinC,

由正弦定理可得a+b=2c,所以。=5,

由余弦定理可得，cosA=b2-^~a2=~,

2bc2

由Aw(O,m,所以A=M，所以SABC=1歷sinA=M.

3aABC24

選口：

因為sinA=2>/3cos2—,所以2sin4cosa=26cos?—,

2222

AA1—0<rr

由A￡((),I),cos—>0,所以tan—=6，A=—.

223

由余弦定理可得，cosA，上:所以c=5.

2bc2

所以SAsc=—/?csinA=巨8.

A/1DC24

⑵

選口:

由余弦定理可得，c2=b2+a2-2abcosC=25,所以c=5.

所以8s4由Ae（O,m,所以A=M.

2hc23

因為5sc=—-AD'sin-—c-ADsin—=,所以可解得AD=—.

AA222248

選口：

因為SAABC=*AO.s嗎+gc.AO.sin'=^^,

所以可解得A。二號

o

選口：

因為SAABC=^bADsin^+^cAD-=,

所以可解得">=號

o

18.（1）AC為四面體ABDC外接球的直徑，則/ADC=90。，可得CD_L4）,

又由且A￡>n8D=。，ADBOu平面A8￡）,所以CO_L平面4乩>,

因為〃，N分別為AC,AO中點，可得MN”CD,所以MN,平面AB￡）.

（2）以。為原點，射線為y軸建立如圖直角坐標系，

(161，心生,

則A（0,亞2）,8（0,石,0）,C（-l,0,0）,M

S'列

——1八

m,MN=—X\=0

21

設平面411%的法向量為〃?=（%,如4）,則<

m-AN=y-4=0

取y=5可得%=0,1T所以而=（。,6,一￡|

11八

n-MN=-x2=0

設平面BWN的法向量為3=（七,%"2），貝卜2

n-BN=--—y2+z2=0

取％=石，可得分=（0,"￡|，

一3-2

所以cos(見〃)=1一1|_|=—Q=—,故二面角A-A/N-8的余弦值).

帥W3+(77

19.(1)

解：因所有小球的總分為120分，若甲第1次摸到白球，再摸兩個球的顏色若都是紅色，或者一紅一藍即

可領取奧運禮品，其概率為1X(2X1+2X3+3X2)=J_；

10x9x8360

若甲第1次摸到紅球，再摸2個球的顏色若是一白一紅，一白一藍即可領取奧運禮品，其概率為

2x(lxlx2+lx3x2)1

10x9x8-45：

711

所以顧客甲能免費領取奧運禮品的概率為孤+點=或.

(2)

解：由條件可知X=70,60,55,50,45,40,35,30,

P(X=70)V：?p(X=60)=lx3x2=—

-36,

3=55)=嗡p(X=50)=^^=—,

'79x812

p(x=45)=W1p(X=40)=^=—,

=9,')9x812

g35)=3晨2_1p(X=30)='=L

一針V79x86

于是X的分布列為:

X7060555045403530

11111111

P

361291291236

其數學期望為

E(X)=70x—+60x—+55xl+50x—+45xl+40x—+35x1+30x1.

3612912912369

20.(1)

因為￡=；,

a2

$△必尸=:(。+c)?2='x(1+!).〃=苫，則b?=3,

2a224

22

又片=力+c=3+-?,

4

22

解得/=4,故橢圓C的方程為三+匯=1；

43

⑵

當直線/斜率存在且不為0時，設/：y=kx+m(機。0),

y=kx+m

由,爐2zz>(3+4Z:2)x2+Skmx+4m2-12=0,

—+—=1

[43

,日X+%-4km,3m

得：%=T=K'%=如，+吁不正

故%=老=高,

XM*

3跟

則K：y二一77工，與九x+2y-4=0聯立得，：“=洋，

4k2k-3

222

"戶一位3、與C：5r+上v1聯立得：如\備6k，

因為|OM|.|CW|=|OR|2,則如飛=片，

即建.懸=蓋，解得…丐，則八，—)+1，恒過點嗎,

當&=0時，易知M(0,m)(m>0),N(0,2),R(0,石)，

a33

由加,外="得相=萬，則/：y=/過點(1,彳)，

當斜率不存在時，設/:x=?r>0),易知M(f,0),N(4,0),R(2,0),

3

由3/=%得f=l,則/：x=l過點(1,萬)，

綜上,直線/過定點(小.

2

21.(1)

(x>—\),

1+x

令r(%)=o得

因為6>0,所以m-1>-1,

當X€(_1,〃L1)時，/'(x)v0；當xw(加-L+00)時，/,(x)>0.

故函數/(X)的單調遞減區間為(T，〃L1),單調遞增區間為(m-1,+8).

(2)

(i)法一：因為｛4｝各項均為正整數，即4.21,故高2；.

于是-應*=47m向-2。“)，

a“+la?+\2

1

<2,

所以1%-2q.|<l,

由題意。向-2%為整數,

因此只能|a”+i-2a”|=0,

即4+i=2%.

2可+%14+M,-2屋

(i)法二：由題,<-<=>11n|

??+l2??+>222a?"2a,,2

因為｛q,｝各項均為正整數，即

故0樓畛于是十套《T,0)且皮+恭(0,1).

由題意。同-2勺為整數,因此只能|。向-2叫=0,即4+「=2%.

(ii)法一：由4=2,得%=2",=.

原不等式01HmH?V"o初(>￡H?

Y

由(1)知加=1時，In(14-x)>(x>—1),

1+x

取一M得11撲

因此只需證：,

人=1\2」一13

”15

即證明s.=Xw<w.

E2—13

ic2*—12"-111

記貝l

2

故原不等式成立.

(