上海外國語大學附屬外國語學校2024屆數學高一第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列兩個變量之間的關系不是函數關系的是（）A．出租車車費與出租車行駛的里程B．商品房銷售總價與商品房建筑面積C．鐵塊的體積與鐵塊的質量D．人的身高與體重2．如圖，兩點為山腳下兩處水平地面上的觀測點，在兩處觀察點觀察山頂點的仰角分別為，若，，且觀察點之間的距離比山的高度多100米，則山的高度為（）A．100米 B．110米 C．120米 D．130米3．正項等比數列與等差數列滿足，，，則的大小關系為（）A． B． C． D．不確定4．若向量，的夾角為60°，且||＝2，||＝3，則|2|＝（）A．2 B．14 C．2 D．85．已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，≤)的圖象如下，則點的坐標是()A．(，) B．(，)C．(，) D．(，)6．函數的圖象（）A．關于點（－，0）對稱 B．關于原點對稱 C．關于y軸對稱 D．關于直線x=對稱7．已知，若，則等于()A． B．1 C．2 D．8．在中，已知是邊上一點，，，則等于（）A． B． C． D．9．設等比數列的前項和為，若，，則（）A．63 B．62 C．61 D．6010．經過點，和直線相切，且圓心在直線上的圓方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數列的首項，且（），則數列的通項公式是__________．12．若直線l1：ax＋3y＋1＝0與l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，則a的值為________．13．已知數列，其中，若數列中，恒成立，則實數的取值范圍是_______.14．設數列滿足，且，則數列的前n項和_______________.15．已知，則的最大值是____．16．已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓的半徑是2，圓心在直線上，且圓與直線相切.（1）求圓的方程；（2）若點是圓上的動點，點在軸上，的最大值等于7，求點的坐標.18．如圖，三棱柱中，側面為菱形，的中點為，且平面．(1)證明：；(2)若，，，試畫出二面角的平面角，并求它的余弦值．19．設，若存在，使得，且對任意，均有（即是一個公差為的等差數列），則稱數列是一個長度為的“弱等差數列”.（1）判斷下列數列是否為“弱等差數列”，并說明理由.①1，3，5，7，9，11；②2，，，，.（2）證明：若，則數列為“弱等差數列”.（3）對任意給定的正整數，若，是否總存在正整數，使得等比數列：是一個長度為的“弱等差數列”？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由20．為響應國家“精準扶貧、精準脫貧”的號召，某貧困縣在精準推進上下實功，在在精準落實上見實效現從全縣扶貧對象中隨機抽取人對扶貧工作的滿意度進行調查，以莖葉圖中記錄了他們對扶貧工作滿意度的分數(滿分分)如圖所示，已知圖中的平均數與中位數相同.現將滿意度分為“基本滿意”(分數低于平均分)、“滿意”(分數不低于平均分且低于分)和“很滿意”(分數不低于分)三個級別.(1)求莖葉圖中數據的平均數和的值;(2)從“滿意”和“很滿意”的人中隨機抽取人，求至少有人是“很滿意”的概率.21．如圖，平行四邊形中，，分別是，的中點，為與的交點，若,，試以，為基底表示、、．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據函數的概念來進行判斷?！绢}目詳解】對于A選項，出租車車費實行分段收費，與出租車行駛里程成分段函數關系；對于B選項，商品房的銷售總價等于商品房單位面積售價乘以商品房建筑面積，商品房銷售總價與商品房建筑面積之間是一次函數關系；對于C選項，鐵塊的質量等于鐵塊的密度乘以鐵塊的體積，鐵塊的體積與鐵塊的質量是一次函數關系；對于D選項，有些人又高又瘦，有些人又矮又胖，人的身高與體重之間沒有必然聯系，因人而異，D選項中兩個變量之間的關系不是函數關系。故選：D。【題目點撥】本題考查函數概念的理解，充分理解兩個變量之間是“一對一”或“多對一”的形式，考查學生對這些概念的理解，屬于基礎題。2、A【解題分析】

設山的高度為，求出AB=2x，根據，求出山的高度.【題目詳解】設山的高度為，如圖，由，有.在中，，有，又由觀察點之間的距離比山的高度多100，有.故山的高度為100.故選A【題目點撥】本題主要考查解三角形的實際應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3、B【解題分析】

利用分析的關系即可.【題目詳解】因為正項等比數列與等差數列,故又,當且僅當時“=”成立,又即,故,故選：B【題目點撥】本題主要考查等差等比數列的性質與基本不等式的“一正二定三相等”.若是等比數列，且，則若是等差數列，且，則4、A【解題分析】

由已知可得||，根據數量積公式求解即可．【題目詳解】||．故選A．【題目點撥】本題考查平面向量數量積的性質及運算，考查了利用數量積進行向量模的運算求解方法，屬于基礎題．5、C【解題分析】

由函數f（x）的部分圖象求得A、T、ω和φ的值即可．【題目詳解】由函數f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分圖象知，A＝2，T＝2×（4﹣1）＝6，∴ω，又x＝1時，y＝2，∴φ2kπ，k∈Z；∴φ2kπ，k∈Z；又0＜φ，∴φ，∴點P（，）．故選C．【題目點撥】已知函數的圖象求解析式(1).(2)由函數的周期求(3)利用“五點法”中相對應的特殊點求.6、A【解題分析】

關于點（－，0）對稱，選A.7、A【解題分析】

首先根據?（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，并化簡得出，再化為Asin()形式即可得結果.【題目詳解】由得：（cos﹣3）cos+sin（sin﹣3）＝﹣1，化簡得，即sin()=,則sin()=故選A.【題目點撥】本題考查了三角函數的化簡求值以及向量的數量積的運算，屬于基礎題．8、A【解題分析】

利用向量的減法將3，進行分解，然后根據條件，進行對比即可得到結論【題目詳解】∵3，∴33，即43，則，∵λ，∴λ，故選A．【題目點撥】本題主要考查向量的基本定理的應用，根據向量的減法法則進行分解是解決本題的關鍵．9、A【解題分析】

由等比數列的性質可得S2，S4-S2，S6-S4成等比數列，代入數據計算可得．【題目詳解】因為，，成等比數列，即3，12，成等比數列，所以，解得.【題目點撥】本題考查等比數列的性質與前項和的計算，考查運算求解能力.10、B【解題分析】

設出圓心坐標，由圓心到切線的距離和它到點的距離都是半徑可求解．【題目詳解】由題意設圓心為，則，解得，即圓心為，半徑為．圓方程為．故選：B．【題目點撥】本題考查求圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系．求出圓心坐標與半徑是求圓標準方程的基本方法．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】，得（）,兩式相減得，即（），，得，經檢驗n=1不符合。所以，12、-3【解題分析】試題分析：由兩直線平行可得：，經檢驗可知時兩直線重合，所以．考點：直線平行的判定．13、【解題分析】

由函數（數列）單調性確定的項，哪些項取，哪些項取，再由是最小項，得不等關系．【題目詳解】由題意數列是遞增數列，數列是遞減數列，存在，使得時，，當時，，∵數列中，是唯一的最小項，∴或，或，或，綜上．∴的取值范圍是．故答案為：．【題目點撥】本題考查數列的單調性與最值．解題時楞借助函數的單調性求解．但數列是特殊的函數，它的自變量只能取正整數，因此討論時與連續函數有一些區別．14、【解題分析】令15、4【解題分析】

利用對數的運算法則以及二次函數的最值化簡求解即可．【題目詳解】，，，則．當且僅當時，函數取得最大值．【題目點撥】本題主要考查了對數的運算法則應用以及利用二次函數的配方法求最值．16、.【解題分析】

根據棱錐的結構特點，確定所求的圓柱的高和底面半徑．【題目詳解】由題意四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為，.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，圓柱的底面半徑為，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，故圓柱的體積為．【題目點撥】本題主要考查了圓柱與四棱錐的組合，考查了空間想象力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）或．【解題分析】

（1）利用圓心在直線上設圓心坐標，利用相切列方程即可得解；（2）利用最大值為7確定圓，設點的坐標，找到到圓上點的最大距離列方程得解．【題目詳解】解：（1）設圓心的坐標為，因為圓與直線相切，所以，即，解得或，故圓的方程為：，或；（2）由最大值等于可知，若圓的方程為，則的最小值為，故不故符合題意；所以圓的方程為：，設，則，的最大值為：，得，解得或．故點的坐標為或．【題目點撥】此題考查了圓方程的求法，點到圓上點的距離最值等，屬于中檔題．18、(1)見證明；(2)二面角圖見解析；【解題分析】

（1）由菱形的性質得出，由平面，得出，再利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，于是得出；（2）過點在平面內作，垂足為點，連接，可證出平面，于是找出二面角的平面角為，并計算出的三邊邊長，利用銳角三角函數計算出，即為所求答案．【題目詳解】（1）連接，因為側面為菱形，所以，且與相交于點．因為平面，平面，所以．又，所以平面因為平面，所以．（2）作，垂足為，連結，因為，，，所以平面，又平面，所以.所以是二面角的平面角.因為，所以為等邊三角形，又，所以，所以.因為，所以.所以.在中，.【題目點撥】本題考查直線與直線垂直的證明，二面角的求解，在這些問題的處理中，主要找出一些垂直關系，二面角的求解一般有以下幾種方法：①定義法；②三垂線法；③垂面法；④射影面積法；⑤空間向量法．在求解時，可以靈活利用這些方法去處理．19、（1）①是，②不是,理由見解析（2）證明見解析（3）存在，證明見解析【解題分析】

（1）①舉出符合條件的具體例子即可；②反證法推出矛盾；

（2）根據題意找出符合條件的為等差數列即可；

（3）首先，根據，將公差表示出來，計算任意相鄰兩項的差值可以發現不大于．那么用裂項相消的方法表示出，結合相鄰兩項差值不大于可以得到，接下來，只需證明存在滿足條件的即可．用和公差表示出，并展開可以發現多項式的最高次項為，而已知，因此在足夠大時顯然成立．結論得證.【題目詳解】解：（1）數列①：1，3，5，7，9，11是“弱等差數列”

取分別為1，3，5，7，9，11，13即可；

數列②2，，，，不是“弱等差數列”

否則，若數列②為“弱等差數列”，則存在實數構成等差數列，設公差為，

，

，又與矛盾，所以數列②2，，，，不是“弱等差數列”；

（2）證明：設，

令，取，則，

則，

，

，

就有，命題成立．

故數列為“弱等差數列”；（3）若存在這樣的正整數，使得

成立．

因為，，

則，其中待定．

從而，

又，∴當時，總成立．

如果取適當的，使得，又有

所以，有

，

為使得，需要，

上式左側展開為關于的多項式，最高次項為，其次數為，

故，對于任意給定正整數，當充分大時，上述不等式總成立，即總存在滿足條件的正整數，使得等比數列：是一個長度為的“弱等差數列”.【題目點撥】本題要求學生能夠從已知分析出“弱等差數列”要想成立所應該具備的要求，進而進行推理，轉化，最后進行驗證，本題難度相當大.20、（1）平均數為；（2）【解題分析】

(1)由題意，根據圖中個數據的中位數為，由平均數與中位數相同，得平均數為，所以，解得；(2)依題意，人中，“基本滿意”有人，“滿意”有人，“很滿意”有人.“滿意”和“很滿意”的人共有人.分別記“滿意”的人為，，，，“很滿意”的人為，，，.從中隨機抽取人的一切可能結果所組成的基本事件共個：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.用事件表示“人中至少有人是很滿意”這一件事，則事件由個基本事件組成：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共有22個.故事件的概率為【題目點撥】本題主要考查了莖葉圖的應用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中熟記莖葉圖的中的平均數和中位數的計算，以及利用列