2024屆北京西城44中數學高一下期末學業質量監測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．把函數，圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象對應的函數為（）A． B．C． D．2．在中，，，分別是角，，的對邊，且滿足，那么的形狀一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形3．的周期為（）A． B． C． D．4．如果圓上總存在點到原點的距離為，則實數的取值范圍為()A． B． C． D．5．已知，，，若點是所在平面內一點，且，則的最大值等于（）.A． B． C． D．6．的三內角所對的邊分別為，若，則角的大小是（）A． B． C． D．7．圓上的一點到直線的最大距離為（）A． B． C． D．8．在中，根據下列條件解三角形，其中有一解的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，9．《九章算術》卷第五《商功》中，有問題“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”，意思是：“今有底面為矩形的屋脊狀的楔體，下底面寬丈，長丈；上棱長丈，無寬，高丈（如圖）．問它的體積是多少?”這個問題的答案是（）A．立方丈 B．立方丈C．立方丈 D．立方丈10．若向量，的夾角為60°，且||＝2，||＝3，則|2|＝（）A．2 B．14 C．2 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在四面體A－BCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長都為1，則二面角A－CD－B的平面角的余弦值為________.12．下列結論中：①②函數的圖像關于點對稱③函數的圖像的一條對稱軸為④其中正確的結論序號為______．13．某奶茶店的日銷售收入y(單位:百元)與當天平均氣溫x(單位:)之間的關系如下:x012y5221通過上面的五組數據得到了x與y之間的線性回歸方程:；但現在丟失了一個數據，該數據應為____________.14．已知，，若，則______15．已知，，且，若恒成立，則實數的取值范圍是____．16．已知無窮等比數列的所有項的和為，則首項的取值范圍為_____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數的定義域為R（1）求的取值范圍；（2）若函數的最小值為，解關于的不等式。18．已知函數在上的最大值為3.（1）求的值及函數的單調遞增區間;（2）若銳角中角所對的邊分別為，且，求的取值范圍.19．己知函數．（1）若，，求；（2）當為何值時，取得最大值，并求出最大值．20．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，，.（1）求：（2）求的面積.21．數學的發展推動著科技的進步,正是基于線性代數、群論等數學知識的極化碼原理的應用,華為的5G技術領先世界.目前某區域市場中5G智能終端產品的制造由H公司及G公司提供技術支持據市場調研預測,5C商用初期,該區域市場中采用H公司與G公司技術的智能終端產品分別占比及假設兩家公司的技術更新周期一致,且隨著技術優勢的體現每次技術更新后,上一周期采用G公司技術的產品中有20%轉而采用H公司技術,采用H公司技術的僅有5%轉而采用G公司技術設第n次技術更新后,該區域市場中采用H公司與G公司技術的智能終端產品占比分別為及,不考慮其它因素的影響.(1)用表示,并求實數使是等比數列;(2)經過若干次技術更新后該區域市場采用H公司技術的智能終端產品占比能否達到75%以上?若能,至少需要經過幾次技術更新;若不能,說明理由？(參考數據:)

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

利用二倍角的余弦公式以及輔助角公式將函數化為的形式，然后再利用三角函數的圖像變換即可求解.【題目詳解】函數，函數圖象上所有的點向右平行移動個單位長度可得，在將橫坐標伸長到原來的2倍，可得.故選：C【題目點撥】本題考查了二倍角的余弦公式、輔助角公式以及三角函數的圖像平移伸縮變換，需熟記公式，屬于基礎題.2、C【解題分析】

由正弦定理，可得,.，或，或，即或，即三角形為等腰三角形或直角三角形，故選C.考點：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.3、D【解題分析】

根據正弦型函數最小正周期的結論即可得到結果.【題目詳解】函數的最小正周期故選：【題目點撥】本題考查正弦型函數周期的求解問題，關鍵是明確正弦型函數的最小正周期.4、B【解題分析】

將圓上的點到原點的距離轉化為圓心到原點的距離加減半徑得到答案.【題目詳解】，圓心為半徑為1圓心到原點的距離為：如果圓上總存在點到原點的距離為即圓心到原點的距離即故答案選B【題目點撥】本題考查了圓上的點到原點的距離，轉化為圓心到原點的距離加減半徑是解題的關鍵.5、A【解題分析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因為，所以的最大值等于，當，即時取等號．考點：1、平面向量數量積；2、基本不等式．6、C【解題分析】

將進行整理，反湊余弦定理，即可得到角.【題目詳解】因為即故可得又故.故選：C.【題目點撥】本題考查余弦定理的變形，屬基礎題.7、D【解題分析】

先求出圓心到直線距離，再加上圓的半徑，就是圓上一點到直線的最大距離．【題目詳解】圓心（2,1）到直線的距離是，所以圓上一點到直線的最大距離為，故選D．【題目點撥】本題主要考查圓上一點到直線距離最值的求法，以及點到直線的距離公式．8、D【解題分析】

根據三角形解的個數的判斷條件得出各選項中對應的解的個數，于此可得出正確選項.【題目詳解】對于A選項，，，此時，無解；對于B選項，，，此時，有兩解；對于C選項，，則為最大角，由于，此時，無解；對于D選項，，且，此時，有且只有一解.故選D.【題目點撥】本題考查三角形解的個數的判斷，解題時要熟悉三角形個數的判斷條件，考查推理能力，屬于中等題.9、A【解題分析】過點分別作平面和平面垂直于底面，所以幾何體的體積分為三部分中間是直三棱柱，兩邊是兩個一樣的四棱錐，所以立方丈，故選A.10、A【解題分析】

由已知可得||，根據數量積公式求解即可．【題目詳解】||．故選A．【題目點撥】本題考查平面向量數量積的性質及運算，考查了利用數量積進行向量模的運算求解方法，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】如圖，取中點，中點，連接，由題可知，邊長均為1，則，中，，則，得，所以二面角的平面角即，在中，，則，所以．點睛：本題采用幾何法去找二面角，再進行求解．利用二面角的定義：公共邊上任取一點，在兩個面內分別作公共邊的垂線，兩垂線的夾角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出對應三角形的三邊，利用余弦定理求解（本題中剛好為直角三角形）．12、①③④【解題分析】

由兩角和的正切公式的變形，化簡可得所求值，可判斷①正確；由正切函數的對稱中心可判斷②錯誤；由余弦函數的對稱軸特點可判斷③正確；由同角三角函數基本關系式和輔助角公式、二倍角公式和誘導公式，化簡可得所求值，可判斷④正確．【題目詳解】①，故①正確；②函數的對稱中心為，，則圖象不關于點對稱，故②錯誤；③函數，由為最小值，可得圖象的一條對稱軸為，故③正確；④，故④正確．【題目點撥】本題主要考查三角函數的圖象和性質應用以及三角函數的恒等變換，意在考查學生的化簡運算能力．13、4【解題分析】

根據回歸直線經過數據的中心點可求.【題目詳解】設丟失的數據為，則，，把代入回歸方程可得，故答案為：4.【題目點撥】本題主要考查回歸直線的特征，明確回歸直線一定經過樣本數據的中心點是求解本題的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.14、【解題分析】

根據向量垂直的坐標表示列出等式，求出，再利用二倍角公式、平方關系即可求出．【題目詳解】由得，，解得，．【題目點撥】本題主要考查了向量垂直的坐標表示以及二倍角公式、平方關系的應用．15、（-4，2）【解題分析】試題分析：因為當且僅當時取等號，所以考點：基本不等式求最值16、【解題分析】

設等比數列的公比為，根據題意得出或，根據無窮等比數列的和得出與所滿足的關系式，由此可求出實數的取值范圍.【題目詳解】設等比數列的公比為，根據題意得出或，由于無窮等比數列的所有項的和為，則，.當時，則，此時，；當時，則，此時，.因此，首項的取值范圍是.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用無窮等比數列的和求首項的取值范圍，解題的關鍵就是結合題意得出首項和公比的關系式，利用不等式的性質或函數的單調性來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）由的定義域為可知，，恒成立，即可求出的范圍.（2）結合的范圍，運用配方法，即可求出的值，進而求解不等式.【題目詳解】（1）由已知可得對，恒成立，當時，恒成立。當時，則有，解得，綜上可知，的取值范圍是[0，1]（2）由（1）可知的取值范圍是[0，1]顯然，當時，，不符合.所以，，，由題意得，，，可化為，解得，不等式的解集為。【題目點撥】主要考查了一元二次不等式在上恒成立求參數范圍，配方法以及一元二次不等式求解問題，屬于中檔題.對任意實數恒成立的條件是；而任意實數恒成立的條件是.18、（1）,函數的單調遞增區間為；（2）.【解題分析】

（1）運用降冪公式和輔助角公式，把函數的解析式化為正弦型函數解析式形式，根據已知，可以求出的值，再結合正弦型函數的性質求出函數的單調遞增區間;（2）由（1）結合已知，可以求出角的值，通過正弦定理把問題的取值范圍轉化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍，結合已知是銳角三角形，三角形內角和定理，最后求出的取值范圍.【題目詳解】解：（1）由已知，所以因此令得因此函數的單調遞增區間為（2）由已知，∴由得，因此所以因為為銳角三角形，所以，解得因此，那么【題目點撥】本題考查了降冪公式、輔助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函數的單調性，考查了數學運算能力.19、（1）；（1），1.【解題分析】

（1）由題得，再求出x的值；（1）先化簡得到，再利用三角函數的性質求函數的最大值及此時x的值.【題目詳解】（1）令，則，因為，所以．（1），當，即時，的最大值為1．【題目點撥】本題主要考查解簡單的三角方程，考查三角函數的最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）由已知可先求，然后結合正弦定理可求的值；（2）利用兩角和的正弦函數公式可求的值，根據三角形的面積公式即可計算得解．【題目詳解】（1），，，，由正弦定理，可得：.（2），．【題目點撥】本題考查正弦定理，三角形的面積公式，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.21、（1），；（2）見解析【解題分析】

(1)根據題意經過次技術更新后，通過整理得到，構造是等比數列，求出，得證；(2)由（1）可求出通項，令，通過相關計算即可求出n的最小值，從而得到答案.【題目詳解】（1）由題意，可設5商用