海南省2020年高二數學上學期期中考試卷（一）

（考試時間120分鐘滿分150分）

一、單項選擇題（本大題共12小題，每題5分，共60分）

1.圓x?+y2-4x+2y+4=0的半徑和圓心坐標分別為（）

A.r=l；（-2,1）B.r=2；（-2,1）C.r=l；（2,-1）

D.r=2；（2,-1）

2.已知直線I的傾斜角為60。，則直線I的斜率為（）

A.1B.噂C.2D.V3

3.已知直線（a-2）x+ay-1=0與直線2x+3y-5=0垂直，則a的值

為（）

44

A.-6B.6C.D.菖

4.擲兩顆骰子，事件“點數之和為6”的概率是（）

A.B.4C.D.17-

119366

5.要完成下列兩項調查：

①從某社區125戶高收入家庭、200戶中等收入家庭、95戶低收入家

庭中選出100戶，調查社會購買能力的某項指標；

②從某中學的5名藝術特長生中選出3名調查學習負擔情況.

宜采用的方法依次為（）

A.①簡單隨機抽樣調查，②系統抽樣

B.①分層抽樣，②簡單隨機抽樣

C.①系統抽樣，②分層抽樣

D.①②都用分層抽樣

6.設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線

性相關關系，根據一組樣本數據（Xj,yi）（i=l,2,n）,用最小二

乘法建立的回歸方程為；=0.85x-85.71,則下列結論中不正確的是

（）

A.y與x具有正的線性相關關系

B.回歸直線過樣本點的中心（G,y）

C.若該大學某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D.若該大學某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg

7.已知點A（L-2）,B（m,2）,若線段AB的垂直平分線的方程

是x+2y-2=0,則實數m的值是（）

A.-2B.-7C.3D.1

8.某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數據如下表

根據上表可得回歸方程?=?+=的￡為9.4,據此模型預報廣告費用為6

萬元時銷售額為（）

A.63.6萬元B.65.5萬元C.67.7萬元D.72.0萬元

9.如圖，在邊長為a的正方形內有不規則圖形Q.向正方形內隨機

撒豆子，若撒在圖形。內和正方形內的豆子數分別為57,100,則圖

形。面積的估計值為（）

D?瞎

10.執行如圖程序框圖，若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,

)

D.34

11.若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一點，則點（m,

n）到原點的距離的最小值為（）

A.V5B.V6C.2/5D.2,后

12.若直線ax+by-3=0和圓x2+y2+4x-1=0切于點P（-1,2）,則

ab的值為（）

A.-3B.-2C.2D.3

二、填空題（本大題共4小題，共20分）

13.點P(1,-1)到直線x-y+l=O的距離是.

14.某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,3,4,5的學生進行

則以上兩組數據的方差中較小的一個為S2=—.

15.已知點A(-3,4)B(3,2),過點P(1,0)的直線I與線段

AB有公共點，則直線I的傾斜角的取值范圍.

16.兩圓x2+y2+4y=0,x2+y2+2(a-1)x+2y+a2=0在交點處的切線方

程互相垂直，那么實數a的值為一.

三、解答題(本大題共6小題，共70分)

17.某車間共有12名工人，隨機抽取6名，他們某日加工零件個數

的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數，葉為個位數.

(1)根據莖葉圖計算樣本平均值和方差；

(2)日加工零件個數大于樣本均值的工人為優秀工人.根據莖葉圖

推斷該車間12名工人中有幾名優秀工人.

莖葉

179

2015

30

18.20名學生某次數學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如

圖：

（I）求頻率分布直方圖中a的值；

（II）分別求出成績落在［50,60）與［60,70）中的學生人數；

（III）從成績在［50,70）的學生任選2人,求此2人的成績都在［60,

70）中的概率.

19.某食品安檢部門調查一個養殖場的養殖魚的有關情況，安檢人員

從這個養殖場中不同位置共捕撈出100條魚，稱得每條魚的重量（單

位：千克），并將所得數據進行統計得如表.

魚的重[1.00,[1.05,[1.10,[1.15,[1.20,[1.25,

量1.05)1.10)1.15)1.20)1.25)1.30)

魚的條320353192

數

若規定重量大于或等于1.20kg的魚占捕撈魚總量的15%以上時，則

認為所飼養的魚有問題，否則認為所飼養的魚沒有問題.

(1)根據統計表，估計數據落在［L20,1.30)中的概率約為多少，

并判斷此養殖場所飼養的魚是否有問題？

(2)上面所捕撈的100條魚中，從重量在［1.00,1.05)和［1.25,1.30)

的魚中，任取2條魚來檢測，求恰好所取得魚的重量在［1.00,1.05)

和［1,.25,1.30)中各有1條的概率.

20.已知直線I經過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點，

(1)點A(5,0)至心的距離為3,求I的方程；

(2)求點A(5,0)至心的距離的最大值.

21.下表提供了某廠節能降耗技術改造后，生產甲產品過程中記錄的

產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據：

x34567

y2.5344.56

(1)請根據上表提供的數據，求出y關于x的回歸直線方程；

(2)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤.試根

據(2)求出的回歸直線方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比

技改前降低多少噸標準煤？

n

Ex1y1-nxy

附：b=得二——"，a=J-?

2

￡xi-nx"

i=l

22.已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,直線I的斜率為1,與圓交于A、

B兩點.

(1)若直線I經過圓C的圓心，求出直線的方程；

(2)當直線I平行移動的時候，求4CAB面積的最大值以及此時直線

I的方程；

（3）是否存在直線I,使以線段AB為直徑的圓過原點？若存在，求

出直線I的方程，若不存在，說明理由.

參考答案

一、單項選擇題

1.C.2.D.3.D.4.C5.B.6.D.7.C.8.B.9.C.10.C.

11.A.12.C

二、填空題

13.解：由點到直線的距離公式可得：玉邛.

故答案為：平

14.解：由題意知甲班的投中次數是6,7,7,8,7,

這組數據的平均數是7,

甲班投中次數的方差是卜(1+0+0+1+0)=0.4,

5

乙班的投中次數是6,7,6,7,9,

這組數據的平均數是7,

這組數據的方差是看(1+0+1+0+4)=1.2

...兩組數據的方差中較小的一個為0.4,

故答案為：0.4

15.解：如圖，當直線I過B時設直線I的傾斜角為a(0Wa<n),

則tana=V?=l,a=45°

當直線I過A時設直線I的傾斜角為B(0^P<n),

則tanB="1=M-1,P=135°,

7一］

...要使直線I與線段AB有公共點，

則直線I的傾斜角a的取值范圍是45°^a^l35°.

故答案為45oWaW135。.

16.解：根據x2+y2+4y=0,得

x2+(y+2)2=4,

x2+y2+4y=0,①，

x2+y2+2(a-1)x+2y+a2=0,②

①-②，得公共弦的方程為：

2(a-1)x-2y+a2=0,

設交點為(m,n),

m2+n2+4n=0③

2(a-1)m-2n+a2=0④，

嗎⑤，

聯立③④⑤，得

a=±2.

a=2時，方程x?+y2+2(a-1)x+2y+a2=0不表示圓，應舍去

故答案為：-2.

三、解答題

17.解：(1)根據題意，樣本平均值為：

(17+19+20+21+25+30)=22；...

O

方差為：

S2=4［(17-22)2+(19-22)2+(20-22)2+(21-22)2+(25-

0

22)2+(30-22)2］="；...

(2)因為樣本數據中有2人日加工零件個數大于樣本均值，

據此可以估計該車間12名工人中有優秀工人：

12X4=4A....

O

18.解：(I)根據直方圖知組距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)X10=l,

解得a=0.005.

(II)成績落在［50,60)中的學生人數為2X0.005X10X20=2,

成績落在［60,70)中的學生人數為3X0.005義10X20=3.

(III)記成績落在［50,60)中的2人為A,B,成績落在［60,70)

中的3人為C,D,E,則成績在［50,70)的學生任選2人的基本事

件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10個，

其中2人的成績都在［60,70)中的基本事件有CD,CE,DE共3個,

故所求概率為P=^.

19.解：(1)捕撈的100條魚中，數據落在［1.20,1.30)中的概率約

為P戶爵二°」1'

由于0.11X100%=11%<15%,故飼養的這批魚沒有問題.

（2）重量在［1.00,1.05）的魚有3條，把這3條魚分別記作A1,A2,

A3,

重量在［1.25,1.30）的魚有2條，分別記作Bi，B2,

那么從中任取2條的所有的可能有：

{A］，A2},{A］,A3}，{A［，Bj,{Ai,B2},

{A2,A3},{A2}Bj,{A2,B?}，{A3,Bj）

{A3,B2},{BI，B2}共10種.

而恰好所取得魚的重量在［LOO,1.05）和［1.25,1.30）中各有1條的

情況有：

{A［，Bj,{Ai，Bj}，{A2,Bj,

{A2,B2},{A3,Bj,{A3,B2},共6種.

所以恰好所取得魚的重量在［LOO,1.05）和［1.25,1.30）中各有1

條的概率p=-j7T=-|--

1UD

20.解：（1）經過兩已知直線交點的直線系方程為

（2x+y-5）+入（x-2y）=0,即（2+入）x+（1-2入）y-5=0,

,點A（5,0）至Ijl的距離為3,工丁」^葉二二乙一不^.

4（2+入），（1-2人）2

即2入2-5入+2=0,.?.入=2,或入=,，：.\方程為x=2或4x-3y-5=0.

（2）由5m解得，交點p（2,1）,如圖，

［x-2y=0

過P作任一直線I,設d為點A到I的距離，則dW|PA|

(當l_LPA時等號成立).

?'?dmax=|PA=V10.

21.解：(1)由題意得：q=5,y=4；...

5

￡XiYi=3X2.5+4X3+5X4+6X4.5+7X6=108.5

i=l

5

J22222

EX1=3+4+5+6+7=135；...

i=l

n_r_

.10&5-5X5X4

J2-2135-5X52

EX]-nx

i=l

-啟4-0.85X5=-0.25,

...所求回歸直線方程為；；=0.85x-0.25...

(2)由(1)知，x=100時,

；=0.85X100-0.25=84.75噸，…

預測生產100噸甲產品的生產能耗為84.75噸,

比技改前節約了90-84.75=5.25噸標準煤....

22.解：(1)圓C的標準方程為：(x-1)2+(y+2)2=9,所以圓心C

(1,-2),半徑為3；

又直線斜率為1,所以直線I的方程為y+2=x-l,即x-y-3=0....

(2)設直線I的方程為：y=x+m,圓心C到直線I的距離為d,則

IAB=26彳，

SACAB=2-X2V9孑Xd=J-(d2￡)2十號

當且僅當d2=1,