數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告

實(shí)驗(yàn)一

Gauss消元法姓名：楊玲實(shí)驗(yàn)二

列主元消元法學(xué)號(hào)：2008115010147實(shí)驗(yàn)三

三角分解院系：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院

實(shí)驗(yàn)一

Gauss消元法

課題名稱：Guess消元法

任課教師：李國屏專業(yè)班級(jí)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)

學(xué)

號(hào)：2008115010147

姓

名：楊玲

※題目描述

用Gauss消元法解n階線性代數(shù)方程組：

其基本做法是把上述方程組通過消元轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的三角形方程組，然后再進(jìn)行回代就可以求出方程組的解。要求顯示出每一大步消元后的系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)，最后顯示出方程組的解?！惴ǚ治觯?）

算法思想：用Gauss消元法把上述方程組的系數(shù)矩陣化為上三角矩陣的過程稱為消元過程，消元過程中的算法設(shè)計(jì)為：for(t=i;t<n;t++){w=a[t+1][i]/a[i][i];for(j=i;j<=n;j++){a[t+1][j]=a[t+1][j]-a[i][j]*w;}b[t+1]=b[t+1]-b[i]*w;}這樣就有了等價(jià)的上三角形方程組，如果最后一個(gè)方程的系數(shù)，則可以解出，然后進(jìn)行回代就可以求出方程的解。其中回代過程的計(jì)算公式可以歸納為：

（2）

具體程序設(shè)計(jì)：for(i=1;i<=n;i++)

{

if(a[i][i]!=0)

for(t=i;t<n;t++)

//具體的Gauss消元算法

{

w=a[t+1][i]/a[i][i];

for(j=i;j<=n;j++)

{

a[t+1][j]=a[t+1][j]-a[i][j]*w;

}

b[t+1]=b[t+1]-b[i]*w;

}

for(i=n-1;i>=0;i--)//回代過程{v=0;for(j=i+1;j<=n;j++)v=a[i][j]*x[j]+v;x[i]=(b[i]-v)/a[i][i];}※程序說明：

本程序在C++環(huán)境中編譯運(yùn)行并且通過測(cè)試，通過提示語句輸入相應(yīng)的系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)。※程序代碼#include<iostream>#include<iomanip>constintN=100;usingnamespacestd;intmain(){intn,i,j,k,m,h,t;doublea[N][N],b[N],x[N],w,v;cout<<"請(qǐng)輸入矩陣的階數(shù):"<<endl;while(cin>>n){cout<<"請(qǐng)輸入系數(shù)矩陣："<<endl;//以下為數(shù)據(jù)輸入，并顯示所求方程for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)cin>>a[i][j];cout<<"請(qǐng)輸入常數(shù)項(xiàng)："<<endl;for(i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];cout<<"******************************"<<endl;cout<<"您所要求解的方程組為："<<endl;for(i=1;i<=n;i++){intt=1;for(j=1;j<=n;j++){cout<<"("<<a[i][j]<<"X"<<t++<<")";if(j!=n)cout<<"+";}cout<<"="<<b[i]<<endl;}cout<<"******************************"<<endl; for(i=1;i<=n;i++)//若輸入的a[i][i]=0，無解 if(a[i][i]==0) { cout<<"該方程組無解!"<<endl; return0;cout<<"******************************"<<endl; }k=1;for(i=1;i<=n;i++){if(a[i][i]!=0)for(t=i;t<n;t++)//具體的Gauss消元算法{w=a[t+1][i]/a[i][i];for(j=i;j<=n;j++){a[t+1][j]=a[t+1][j]-a[i][j]*w;}b[t+1]=b[t+1]-b[i]*w;}cout<<"第"<<k<<"個(gè)系數(shù)矩陣A("<<k<<")為："<<endl;//顯示消元過程for(m=1;m<=n;m++){for(h=1;h<=n;h++){cout<<setiosflags(ios::left)<<setw(15)<<a[m][h];}cout<<endl;}cout<<"第"<<k<<"個(gè)常數(shù)項(xiàng)b("<<k<<")為："<<endl;for(m=1;m<=n;m++)cout<<setiosflags(ios::left)<<setw(15)<<b[m];cout<<endl;cout<<"******************************"<<endl;k++;}for(i=1;i<N;i++)//初始化儲(chǔ)存方程組的解的數(shù)組x[i]=0;for(i=n-1;i>=0;i--)//回代過程{v=0;for(j=i+1;j<=n;j++)v=a[i][j]*x[j]+v;x[i]=(b[i]-v)/a[i][i];}cout<<"該方程組的解為："<<endl;for(i=1;i<=n;i++)//顯示方程的解{cout<<"X"<<i<<"="<<x[i]<<endl;}cout<<"******************************"<<endl;cout<<"請(qǐng)輸入矩陣的階數(shù)："<<endl;}return0;}測(cè)試用例※運(yùn)行結(jié)果：

※總結(jié)體會(huì)通過本次實(shí)驗(yàn)，我對(duì)Guess消元法求解線性方程組的過程及原理有了更進(jìn)一步的了解。也看到了順序Gauss法的缺點(diǎn)，即要求系數(shù)矩陣A的順序主子式都不為零，這對(duì)嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)矩陣，對(duì)稱正定矩陣來說是滿足的，但是一般情況下就不能保證。就意味著需要用一種更優(yōu)的算法來解決這個(gè)問題。

實(shí)驗(yàn)二

列主元消元法

課題名稱：列主元消元法

任課教師：李國屏專業(yè)班級(jí)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)

學(xué)

號(hào)：2008115010147

姓

名：楊玲※題目描述

用Gauss列主元素消去法解n階線性代數(shù)方程組：其基本做法是把上述方程組通過列主元Gauss消元轉(zhuǎn)化為一個(gè)等價(jià)的三角形方程組，然后再進(jìn)行回代就可以求出方程組的解。列主元消元的基本做法是選取系數(shù)矩陣的每一列中絕對(duì)值最大的作為主元，然后采取和順序Gauss消元法相同的步驟進(jìn)行，求得方程組的解。要求顯示出每一個(gè)列主元以及每一大步消元后的系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng),最后顯示出方程組的解。※算法分析1、列主元Gauss消元法的算法思想：(1)輸入系數(shù)矩陣A，右端項(xiàng)b,階n。(2)對(duì)k=1,2,…,n，循環(huán)：（a）按列選主元，保存主元所在行的指標(biāo)。（b）若a=0，則系數(shù)矩陣奇異，計(jì)算停止；否則，順序進(jìn)行。（c）若a=k則轉(zhuǎn)向（d）；否則換行（d）計(jì)算乘子（e）消元：

(3)回代,用右端項(xiàng)b來存放解。2、具體程序設(shè)計(jì)：for(i=1;i<=n;i++)//消元的第一重循環(huán){p=0;q=0;for(m=i;m<n+1;m++){if(p<a[m][i]){p=a[m][i];q=m;}}cout<<"第"<<k<<"個(gè)列主元為"<<"第"<<q<<"行"<<"第"<<i<<"列"<<"的元素:";for(m=1;m<n+1;m++)//交換系數(shù){a[0][0]=a[q][m];a[q][m]=a[i][m];a[i][m]=a[0][0];}b[0]=b[q];//交換常數(shù)項(xiàng)b[q]=b[i];b[i]=b[0];cout<<a[i][i]<<endl;cout<<"第"<<k<<"個(gè)系數(shù)矩陣為："<<endl;//開始矩陣消元的過程for(m=1;m<=n;m++){for(h=1;h<=n;h++){cout<<setiosflags(ios::left)<<setw(20)<<a[m][h];}cout<<endl;}cout<<"第"<<k<<"個(gè)常數(shù)項(xiàng)為："<<endl;for(m=1;m<=n;m++)cout<<""<<b[m]; cout<<endl;for(t=i+1;t<=n;t++)//從此處開始時(shí)具體的消元算法{w=a[t][i]/a[i][i];b[t]=b[t]-b[i]*w; for(j=i;j<=n;j++){a[t][j]=a[t][j]-a[i][j]*w;}}cout<<"******************************"<<endl;k++;}for(i=1;i<n;i++)//從此處開始為回代過程x[i]=0;for(i=n;i>=1;i--){v=0;for(j=i+1;j<=n;j++)v=a[i][j]*x[j]+v;x[i]=(b[i]-v)/a[i][i];}※程序說明本程序可以在VC++6.0環(huán)境中編譯運(yùn)行，通過提示語句輸入相應(yīng)的系數(shù)矩陣和常數(shù)項(xiàng)?！绦虼a#include<iostream>#include<cmath>#include<iomanip>intconstN=100;usingnamespacestd;intmain(){intn,i,j,k,m,h,t,q;doublea[N][N],b[N],x[N],w,v,p;cout<<"請(qǐng)輸入矩陣的階數(shù)："<<endl;while(cin>>n)//以下為數(shù)據(jù)輸入，并顯示所求方程{cout<<"請(qǐng)輸入系數(shù)矩陣："<<endl;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++){cin>>a[i][j];}}cout<<"請(qǐng)輸入常數(shù)項(xiàng)："<<endl;for(i=1;i<=n;i++)cin>>b[i];cout<<""<<endl;cout<<"******************************"<<endl;cout<<"您所要求的方程組為："<<endl;for(i=1;i<=n;i++){intt=1;for(j=1;j<=n;j++){cout<<a[i][j]<<"X"<<t++;if(j!=n)cout<<"+";}cout<<"="<<b[i]<<endl;}cout<<"******************************"<<endl;k=1;for(i=1;i<=n;i++)//消元的第一重循環(huán){p=0;q=0;for(m=i;m<n+1;m++){if(p<a[m][i]){p=a[m][i];q=m;}}cout<<"第"<<k<<"個(gè)列主元為"<<"第"<<q<<"行"<<"第"<<i<<"列"<<"的元素:";for(m=1;m<n+1;m++)//交換系數(shù){a[0][0]=a[q][m];a[q][m]=a[i][m];a[i][m]=a[0][0];}b[0]=b[q];//交換常數(shù)項(xiàng)b[q]=b[i];b[i]=b[0];cout<<a[i][i]<<endl;cout<<"第"<<k<<"個(gè)系數(shù)矩陣為："<<endl;//開始矩陣消元的過程for(m=1;m<=n;m++){for(h=1;h<=n;h++){cout<<setiosflags(ios::left)<<setw(20)<<a[m][h];}cout<<endl;}cout<<"第"<<k<<"個(gè)常數(shù)項(xiàng)為："<<endl;for(m=1;m<=n;m++)cout<<""<<b[m]; cout<<endl;for(t=i+1;t<=n;t++)//從此處開始時(shí)具體的消元算法{w=a[t][i]/a[i][i];b[t]=b[t]-b[i]*w; for(j=i;j<=n;j++){a[t][j]=a[t][j]-a[i][j]*w;}}cout<<"******************************"<<endl;k++;}for(i=1;i<n;i++)//從此處開始為回代過程x[i]=0;for(i=n;i>=1;i--){v=0;for(j=i+1;j<=n;j++)v=a[i][j]*x[j]+v;x[i]=(b[i]-v)/a[i][i];}cout<<"該方程組的解為："<<endl;for(i=1;i<=n;i++)//顯示方程的解cout<<"x"<<i<<"="<<x[i]<<endl;cout<<"******************************"<<endl;cout<<"請(qǐng)輸入矩陣的階數(shù)："<<endl;}return0;}※

測(cè)試用例※運(yùn)行結(jié)果

※總結(jié)體會(huì)列主元消元法和Gauss消元法的計(jì)算過程基本上是一樣的，只是在每一次消元前要選取系數(shù)矩陣的列主元，然后把方程組做適當(dāng)?shù)男薪粨Q再進(jìn)行消元運(yùn)算，這就保證了舍入誤差不擴(kuò)散。列主元消元法克服了順序Gauss消元的缺點(diǎn)，運(yùn)算量也沒有全主元消元法那么大，因此是解線性方程組的一種比較實(shí)用而且簡單的方法。實(shí)驗(yàn)三

三角分解法

課題名稱：列主元消元法

任課教師：李國屏專業(yè)班級(jí)：計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)

學(xué)

號(hào)：2008115010147

姓

名：楊玲※題目描述用三角分解法解n階矩陣線性方程組：三角分解法是高斯消去法的一種變形解法。用高斯消去法去解n階線性方程組A=LU，經(jīng)過n次消元之后，得出一個(gè)等價(jià)的上三角形方程組，對(duì)上三角形方程組用逐步回代的方法就可以求出解來，也可以用以分解矩陣。如下所示：或算法分析for(k=0;k<N;k++){for(i=k;i<N;i++)/*計(jì)算L矩陣的第k列元素*/{L[i][k]=a[i][k];for(j=0;j<=k-1;j++) L[i][k]-=(L[i][j]*U[j][k]);}for(j=k+1;j<N;j++)/*計(jì)算U矩陣的第k列元素*/{U[k][j]=a[k][j];for(i=0;i<=k-1;i++)U[k][j]-=(L[k][i]*U[i][j]); U[k][j]/=L[k][k];※程序設(shè)計(jì)：（僅以矩陣分解）#include<iostream>#include<iomanip>constintN=100;usingnamespacestd;intmain(){intn,i,j,m,k,h,r;doublea[N][N],l[N][N],u[N][N],w,v;cout<<"請(qǐng)輸入矩陣的階數(shù):"<<endl;while(cin>>n){cout<<"請(qǐng)輸入矩陣："<<endl;//以下為數(shù)據(jù)輸入，并顯示所求for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=n;j++)cin>>a[i][j];cout<<"******************************"<<endl;cout<<"您所要分解的矩陣為："<<endl;for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n;j++)cout<<a[i][j]<<"";cout<<endl;}cout<<"***