./中國石油大學〔華東第二十一屆高等數學競賽試卷2007一、填空題〔每小題5分,本題共50分：1.若時,與是等價無窮小,則.解題過程是：2..解題過程是：3.曲線,漸近線的條數為：.解題過程是：4..5.微分方程.6.7.解題過程是：8.設函數的一個原函數是,則=.解題過程是：9.=.10.設曲線,二、計算題〔每小題6分,本題共42分：2.設,計算曲面積分6.設曲面,計算曲面積分.解題過程是：三、證明題〔本題8分：第二十屆高等數學競賽試卷2006一、填空題〔每小題5分,本題共50分：1.若時,與是等價無窮小,則.2..3.設函數在處連續,則.4..5..7.8.9.10.設在上半平面內,函數具有連續偏導數,且對任意的都有.對內的任意分段光滑的有向簡單閉曲線,則.二、計算題〔每小題6分,本題共42分：2.設是錐面的下側,計算曲面積分..三、證明題〔本題8分：第二十二屆高等數學競賽試卷2008一、填空題〔每小題5分,本題共50分：1..2..3.,則的零點個數為：.4.5..6..8..9..10.二、計算題〔每小題6分,本題共42分：2..3.5.6.設S是以L為邊界的光滑曲面,試求可微函數使曲面積分與曲面S的形狀無關.7.設一球面的方程為,從原點向球面上任一點Q處的切平面作垂線,垂足為點P,當點Q在球面上變動時,點P的軌跡形成一封閉曲面S,求此封閉曲面S所圍成的立體的體積.三、證明題〔本題8分：第二十三屆高等數學競賽試卷2009一、填空題〔每小題4分,本題共20分：1．_____2．設在處連續,則_______3．4．設L為橢圓,其周長記為,則.12a5．設的方程是,則二、選擇題〔每小題4分,本題共20分：1．若連續,且,則〔A2．若可導,且在的某鄰域內有則〔A3．設且可導,則〔D〔A0〔B〔C〔D4.設為曲線和直線所圍成的區域整個邊界,沿逆時針方向,則曲線積分<B>.<A><B><C><D>5．設函數連續,區域,則〔三、計算下列各題1。〔本題8分如圖,是兩個逐段線性的連續函數,設,求2．〔本題8分設為連續函數,且,求3．〔本題8分設函數是以2為周期的連續函數,它在上的圖形為分段直線,是線性函數,,求。4.〔本題9分如圖,曲線C的方程為,點<3,2>是它的一個拐點,直線與分別是曲線C在點<0,0>與<3,2>處的切線,其交點為<2,4>.設函數具有三階連續導數,計算定積分5.〔本題9分設函數在點的某鄰域內有定義,且在點處可微,又其中,求6.〔本題9分計算其中為正的常數,L為從點沿曲線到點的弧〔如圖.7．〔本題9分證明：由及軸所圍的平面圖形繞軸旋轉一周所形成的立體對軸的轉動慣量<密度=1>為.其中是連續的正值函數.第二十四屆高等數學競賽試卷2010一、填空題〔每小題4分,本題共20分：1、。2、設,則=。3、設L為沿拋物線y=x2上從點<1,1>到點<2,4>的一段曲線弧,則對坐標的曲線積分可化成對弧長的曲線積分___________,其中P<x,y>和Q<x,y>是在L上的連續函數。4、設,則=。5、。二、選擇題〔每小題4分,本題共20分：1、<>2、<>3、方程的根的個數<><A>0<B>1<C>2 <D>34、若曲線在對應于點處的切線與平面交角的正弦值是<><A> <B> <C> 0 <D> 15、設C表示橢圓,其方向為逆時針方向,則曲線積分<> <A>πab <B>0<C>a+b2 <D>－πab2三、計算下列各題〔每小題7分,本題共42分：1、設二階連續可微,且,試確定,使曲線積分與路徑無關。2、計算表達式3、設,計算積分4、設連續,且滿足,計算積分5、計算二重積分,其中D是由直線及上半圓周所圍成的區域.6、計算,其中L是圓周沿正向從點到點的一段圓弧.四．證明題：〔每小題6分,本題共18分：1、設在[0,1]上連續,