習題參考答案

第一章行列式

1.1二階、三階行列式

一、計算下列行列式1、1；2、0；3^4；二、1、%=1,々=32、玉=1,尢2=2

1.2n階行列式定義及性質

一、計算下列行列式1、0；2、2000；3、-8；4、-58；5、-192；6、512；

二、計算下列行列式1、4abcdef;2^x4-y4；3、-x4+y4；4、(a2a3-b2b3)(%4-岫。；5、0；

三、計算下列n階行列式1、an+(-l)n+'bn；2、(n-l)(-l)B-1；3、(n-1)/；三12；3；

四、解下列方程：

1、x}=x2=x3=0,x4=—10；2、Xy=2,x2=3；3、=l,x2=2,x3=3；

*五、計算下列行列式

1、按某行(列)展開行列式

解:按第一列展開

00yo00

ox00xy00=丁+(-1嚴〉"

Dn=X....+(-1產)

00X00yo

00000

2、化為上(下)三角形行列式計算

n(n+l)

223n-\n

0

解：把。〃的各列加到第1列上去得-1000

o

D”2-200

0000-(n-1)

-----------23???n-\n

2

0-10???001

，，-1

00-2???00=(-D--(?+!)!

000-??0-(〃-1)

n(n+\)

223n-\n

0

解:把。〃的各列加到第1列上去得-1000

o

2=2-200

0000-(n-1)

+1)

23…n—\n

2

0-10…00遞推法

00-2…00

000…0一。7—1)

解：按第一行展開得。“=3。,1一2。“_2⑴

設一2）⑵

比較⑴與⑵系數得仁；片,所以｛1；或｛7；

分別代入（2）得|2一。1=2（。1-。,-2）=2"一2（02-R）=2"⑶

9-2°T=（。1-2。.）=（2-22）=1

+

其中。=3,A=7,消去（3）中。一得Dn=2"'-1

4、用范德蒙行列式計算

解：此式不是范德蒙行列式.將第〃+1行，第〃行，…，第2行分別向上與相鄰行交換〃次，〃-1次，…，1次，共交

換了“（〃+1）次；將列也作同樣的變換。這樣一共交換了〃（〃+1）次，即偶數次，得

I1…11

a—na—n+\…a—\a

(?-?)2(a-n+1)2???(a-I)2a2

（々-〃尸(。-〃+1尸…（a-1尸an-]

(a-n)n(a-〃+1)”?-?(a-Dnan

由范德蒙行列式的計算公式得

-1n-22

Dn+l=1-2?????n-1-2.????(zj-l)?????2-1=2"-3?????(?-1)?/?

5、拆為多個行列式的和

解：利用性質3把行列式拆為兩個行列式的和（最后一列拆項）

a

x+a}a2〃3…0x+axa23…%

0a

6x+a2?…a'X+%3…a〃

*

D,.=%a?x+4???°a:.a2X+…a”

4%%…a2〃3…an

等號右邊第一個行列式按最后一列展開,第二個最后一列提出冊后，第i列減去最后一列的％倍（/=1,2,-??,?-1）,

即得

X00…1

0X0…1

Dn=xDn-\+nxn

a00x…1xDn_x-vanx~=---=x+

/=i

000…1

6、解：先對0〃的第1列提出公因數m，然后將第j列減去第1列的可倍。二2,3，…,n）,即得

aa}b2-a2bl哂-岫…地一岫

b20a2b3-a3b2…砧,一。也

b、00…％超-a也

%00A,-?A-i

",00…0

=（一1嚴她,3也-%4）（貼3-。3b2）…（。"-也,-4"%）?

〃-1

=（—1嚴。也，11（4%—《+也）?

1=1

1.4克萊姆法則

=

一■、解線性方程組1、%=—,%22,%3=——2^Xj=l,x2=2,X3=1

二、/（X）=-X2+^X+2三、Xw—2且四、右夕或右—1有非零解；幾。2且AH—1有唯一解

第二章矩陣

2.1矩陣定義及其運算

]_

一、填空題1,2>AB=BA二、1、C2、C3、C4、B二、2

4

25—91

16036624

四、1、-1211-12、

51102034

4-13-6

23

25-142-19-9-19

3、4、0-2-3

168-9

-2-31

5、k>1;0

+28+/）=；（8+/）

五、+2B+I）；A2=40

（B2+2B+I）=2（B+I）^B2=1

513

*六、I、8032、0

-21-2

*七、設A=；（A++A—Ar），；（A+A7）是對稱矩陣，；（A-4，）是反對稱矩陣

2.2逆矩陣

1_26

一、填空題、2、-83、充要4、I5、二、1、B2、

144a-27c

-135-

222127-

--21一

-

2]_210To

三、1、1）可逆，3￡2）、可逆，2、

22

-2.219

,2-

011_5To.

13

3、M=一二■，底二2

2一2

四、可逆，.?.M/0」.依上0,,卜0,*卜0,,[=[4「，0

公（火70）,47,4*,47可逆；（4*『=二4

⑶

（時十，（4廠（川），（打:馬⑺一"

五、1、證明:由+A3+B2=。得A?+AB=-B?即A（A+8）=-B2

兩邊取行列式|A||A+B|=|A（A+B）|=|-B2|=（-I）,'|B|2

又???8可逆，，忸設0,從而卜卜0,恒+/#0；二44+8都可逆。

、證明：將方程改寫為則，小3,33

2A2_3A=2//=-4*--A-八（一A-一

2222

A可逆，且A-I=4-3/

22

3、證明：將方程改寫為（A—31）（A+/）=—7/則

（A—3/）,（A+/）都可逆，（A+/）T=_g（A—3/）,（A-3/）-1=-1（A+Z）

*六、解:由（3A）-I=1A_|,Af=\A\A-'=^A~'

16

得|（3A）-'-2A*|=lA-'-A-'=-|A-'=（-|）3|A-1|=-T7XB

27

*七、解：由題設得C（2E-C-?AT=E,G|]（2C-B）AT=E.

234、

由于0123，|2C-B|=l#=0,故2C-B可逆,

2C-B=

0012

（0001

’1000、-i'1000、

2100-2100

于是A=[（2C-8）T]T=[（2C—8）T]T=—

32101-210

（432l?k01-2

2.3初等變換與初等矩陣

100

1001-k0

一、填空題1、2212、0000010二、1、B2、C

I

100001

001

122>-

---二

99911000

2121-4-3

---2100

三、1、999-2、1-5-33、

1-210

221-164

01-21

9--

-99-

1

00010

1怎_1

J_00

00；006001

41

4、1四、00五、010

1-3

00：00100

1,1

。2100

J1_2

0000

;%

96-2300

六、B=(A+2iy'A107-2七、030

-12-8300-1

2.5矩陣的秩

一、填空題1、0;2、3；3、4、-35、1

二、1、A2、C3、A4、C5、A

三、1、32、2；3、4；

四、1）—2（左一1）2（Z+1）2）當k=1,H（A）=1,當左=—l,R（A）=2,當左Hl,且&W—1,R（A）=3

五、當〃=g且/1=0,或;1=1,或X=—R（A）=2,其它情況，R（A）=3

第三章向高

§3.1向量的概念及其運算

10

77417]_

1-5]-12、-4-63、

設363~63

4

4、1)[3-15122)2)[145-14-7]

5、2a3）=3，2a3尸）=3，所以可以線性表示，P=-\9ax+15a2-56a3

§3.2線性相關與線性無關

一、判斷向量組的線性相關性，并說明原因

1、線性相關，2、線性無關3、線性無關4、線性相關5、線性相關

二、1、2；2、abc0；3、＞

三、1、C；2、C；

四、1、解：考察向量方程

k1al+k2(a2+a3)+1^(ax+a2+a3)=0

即(自+左2+攵3)%+(/+e)a2+k3a3=0

??,向量組線性無關，,K+22+攵3=攵3+&=%3=0

=k2=k3=0

+^2,%+。2+。3線性無關。

2、解：考察向量方程

k[(a,-a2^+k2(a2-a3)+k3(a3-a])=0

即(匕一k3)a{+(k2-kx)a2+(%-包)%=6

??,向量組四,。2，。3線性無關，二1一人3=&-K=k3-k2=O

匕=&二左3有非零解

(/—4)，(4—。3)(。3—)線性相美。

3、解：考察向量方程

kI(aI+a2)+k2(a2+a3)+---+km_1(am_1+am)+km(am+%)=?

即(k]+km)ot[+(k)+k2)a2+???+(*+km)am=0

???向量組a切線性無關，二h+*=k[+k2=???=km_]+ktn=0(1)

這是一個含有團個未知數加個方程的線性方程組，其系數行列式為

1oo01

11000

0帆為偶數

00100=l+(-l)ra+l

2Ho，"為奇數

000

,當加為偶數時，(1)有非零解，則向量組由+。2，。2+23,…，%"-1+%"，%"+4線性相關；當加為奇數時，(1)只

有零解，向量組

a,+%，%+%，…，am-\線性無關。

五、RQa2as)=3，H(%。2a3尸)=3，所以可以唯一線性表示，P=3at-a2

六、解(1)%能由。2，%3線性表示。

事實上：因為已知。2，二3，。4線性無關，所以&2，&3線性無關。又因為。1，。2，。3線性相關，故證得夕1能由仁2，&3

線性表示，且表示式唯一。

(2)應不能由二1，二2，。3線性表示。事實上：反證法。設可由￡1，夕2，。3線性表示，即

a4=+A2a2+23?3,由(1),可設a1=l2a2+13a3，代入上式得：a4-(A2+At/2)a2+(A3+Al/3)?3,即

可由&2，劭表出，從而。2，。3，。4線性相關,與已知矛盾。因此，見不能由斯，。2，。3線性表示。

§3.3向量組的秩

一、1、無關；2、八=弓二、1、B2、B3、C三、1、H(ag2a3)=3

11

2、R(a?2a3)=01—。?-l

00a2-a

當QW0且〃W1,7?(?%%)=3；當。=07?(?44)=2；當Q=1H(?a2a3)=1

V-

11'

10

~~9

5%2為極大無關組，+1?2

四、1、2a3)-01%與(

9

000

000

102;1

2

2、010-1%與%為極大無關組。?5=2a+0tz

2(2

00000

00000

_13

ctj~~—6Zj+-a),cCy二.十(X)

-

1232'

0110

五、k=9

001-1

-000lc-9

at,a2與。3為極大無關組。?4=3a,+a2-a3

六、解：〃維單位向量4,%，?一,見可由〃維向量組￡],^2，…,￡〃線性表出，

n維單位向量￡”￡2,??，冬可由n維向量組必,%線性表出，

所以兩個向量組等價，故/,%，…，氏線性無關。

七、證明：因為/?(qa2a3)=3所以2a3線性無關

考察向量方程V.+3+g=0

k、(24+34)+&(a2+44)+&(?+5a3)-0

即(2k、+k3)at+(3Z1+k、)a3+(4%,+5左3)4=6

,J向量組線性無關，，2Al+左3=3左1+&=4左2+5自=0

201

310N0,勺=&=%=0

045

4，住，￡3線性無關。

*八、證：?.???(/)=/?(〃)=3可由%附。3唯一線性表示，設％

,.,7?(///)=42a3%線性無關

4%+攵2%+左3%+%4(%-%)=0

4a1+ka、+kyCCy+k&(々5—41+4a2+4a：)=0

(4—)4+(4,—卜4入)(X、+(占—)“3+%4。5=0

因為《_84=0,k2-k4A^-0,k3--0,勺=0

所以4=0,k2=0,k3=0,k4=0,-%)=4

向量組岡，。2，。3，。5一。4的秩為4。

§3.4向量空間

一、匕是向量空間，匕不是向量空間，

「133]

二]___________

222_

2、分析：按定義求由基%,如，。3到基夕1，魚，夕3的過渡矩陣時，先求Bi(i=l，2,3)在基%,七,。3下的坐標

T

Yi=(cil,ci2,ci3)?考慮向量方程I+ci2a2+ci3a3,對應的線性方程組的系數矩陣恰好是由,%，。3以列構成的

方陣A,常數項構成的列向量恰好是d(i=l,2,3)以列構成的，解％=(c”,Ci2，Ci3)T恰好等于AT乘以列向量

Pi(i=1,2,3)o設尸]，角，尸3以列構成的方陣為列%=(Cu，Ci2，%)T(i=l,2,3)以列構成的矩陣為C,則C恰好是由

基%，%，％到基夕1，魚，夕3的過渡矩陣。此時，C=A-1Bo

解設由基%,〃2，%到基四，尸2，萬3的過渡矩陣為。，則

[笈血，夕3]=的，。2，%]。，故

H)1(A(123、，234、

1234-o0

C=[a],%，%「I尸1，&尸3]=o--O1

-2

1k43LT

4-1\

2-1

4-210I

8-421

2,

10029

-21000

五、ag2a3a4為四維向量，而氏(％%。3%)=4，V={x[x=左烏+&%+右。3+%%}所以四4%6^可以為向量空

間V的一組基，di〃?(V)=d，》(R4)=4,所以V=R4

第四章線性方程組

一、(1)=4-3;(2)同一目=0;(3)2;

1T1T74

⑷人(%-%)+萬(%+a2)=Za。。［)'+(萬［，°，2)'(5)—；(6)x=k(at-a2)

二、(1)C;(2)B;(3)B.(4)A;

選專為自由未知量并令％3=1,得該齊次方程的基礎解系為b=1

T1、'-14、

-45

選X3,%為自由未知量可得該齊次方程的基礎解系為a=,3］=

10

、L

12345、,12345、

]]]IJ—^03234選“3，工4為自由未知量并令*3=°，14=0，解得

/7

-

3

4

74-

玉=§,W=§,于是該齊次方程的一個特解為〃=3

0

o

'11-20、’11-20、

五、(1)B=21-6-1f0-1-2-1由R(A)=R(B)=2<3知原方程組有無窮多組解。

JT-6-2)、0000

%,+x2-2X-0

其同解方程組為《3選均為自由未知量并令退=0,解得斗=-1,々=1，于是該方程組的一個特

x2+2X3=1

-1

解為77=1

7

其導出組的同解方程組為|"+々-2七=°,選*3為自由未知量并令％3=1，解得玉=4,々=一2,于是導出組的

x2+2X3=0

4、4、5

一個基礎解系為b-2故原方程組的通解為x=Z-2+1

1,?>、

’12-143、(12-143、12-143

(2)B2-31110-73-7-5->0-73-7-5

15n

、4-12-14,-96-17-8700-8

由R(A)=R(B)=3<4知原方程組有無窮多組解。

%]+2X2—X3+4X4=3

其同解方程組為<-70+3/-7%=-5,選z為自由未知量并令匕=1，(注意此處特解的取法)解得

IS%,-56X4=-11

0

與=3,/=1,西=0,于是該方程組的一個特解為〃

一尤

%+2X23+4X4=0

其導出組的同解方程組為《一7々+3M-7%=0，

選甚為自由未知量并令％4=1，解得

15X3-56X4=0

'一”

~15

3

56322

天=石"25，%，—,于是導出組的一個基礎解系為b5

1556

1?

、1)

故原方程組的通解為x=43+〃，其中k為任意常數。

12001

(3)B=

010-10

由砥A)=K(3)=2<4知原方程組有無窮多組解。

先求原方程組一個特解，選色,匕為自由未知量并令當=0，兒=0,得9=0，％=1，于是該方程組的一個特解為

“3T

在其導出組中選七，％4為自由未知量并令，得,

、九4X2)B

'0、

0

令，于是導出組的一個基礎解系為?=

OCHV)1

故原方程組的通解為X=匕石+七心+〃，其中占次2為任意常數。

六、1）解：因為AX=b為三元方程組而H（A）=1,所以AX=0的基礎解系中含有兩個解向量，由解的性質,

7-772=（2-21）,771-773=（002）均是AX=0的解，顯然它們線性無關，可以構成AX=0的一個基礎解

系。由解的結構知AX=b的通解為

X=Z（7—〃3）+彷，其中匕,％2為任意常數。

2）解：因為所給方程組是含三個方程三個未知量的齊次方程組，故可以利用克拉默法則，當系數行列式為0時方程

21"

組有非零解。由121=0°可得;1=1,所以當；1=1時原方程組有非零解。

11A

當；1=1時，原方程組變為芭+%+-0,選23為自由未知量并令并令卜Ui,得，斗=一1，/I/O］，得

\X37\X3JV>

'f（T、

x,=-l.于是方程組的一個基礎解系為偽=1，&=0,

通解為X=k,S,+k2S2,其中占次2為任意常數。

3）解：因為所給方程組是含三個方程三個未知量的齊次方程組，故可以利用克拉默法則，當系數行列式為0時方程組

2-2-3-2

有非零解。由一12-8-2=(2-3)2(/1-1)=0

2144+3

可得;I=1或4=3時原方程組有非零解。

-1-3-2、r132、

當彳=1時，原方程組系數矩陣為-1-7-20-40,選*3為自由未知量，取￡=1，得，

2144J000>

‘一21

當-2

,方程組的一個基礎解系為6=0,

、工2【0、1J

通解為X=kb,其中人為任意常數。

r1-3-2](\-3-2\(\-3-2、

當;1=3時，原方程組系數矩陣為-1-5一2-0-8-4021,選馬為自由未知量，

,2146J1042J000

取下=2,得,,方程組的一個基礎解系為b=-1

苞+X,-2x.-0

其同解方程組為42：選當為自由未知量并令七二0,解得玉=-1，々=1，于是該方程組的一個特

X^y+LX3~1

解為祖=1

、°

7

x.+x-,-2x.=0

其導出組的同解方程組為-:‘選當為自由未知量并令x,=l,解得芭=4,々=-2,于是導出組的

無2U

4、

一個基礎解系為b-2

1

7

kk+31-2、11k2

4)解:B=1k1k0k-1\-kk-k2

11k03\-k2-2-k3

c

11kk2

—>031-k2-(2+F)

*-詼2-4)

00-1)2伏—2)

4_]皤_4)=0

當R(A)fR(B),即好&=一2時，原方程組無解。

2Ho

當R(A)=R(B)=3,即:伊一1在2一4卜0,女工1,2,-2時，原方程組有唯一解。

4_］在2_4)=0

當R(A)=R(3)=2<3,即?,4=1或者左=2時，原方程組有無窮多解。

；(1)2僅一2)=。

111A(\110、

當％=1時，原方程組中3=030-3,選*3為自由未知量，在對應的8=0300中令=1得

,0000J0000J

~]=(一],導出組的一個基礎解系6=0

㈤10J.

在

1

：)=(：,一個特解〃=-1

B=030-3中令％3=1得

00

于是方程組的通解為x=k3+r1,其中左為任意常數。

124、120、

當&=2時，原方程組中8=03-3-10,選七為自由未知量，在對應的8=03-30中令巧=1得

I。

000J000

3]

導出組的一個基礎解系方=1

22

’1122T

-3-10中令X3=0得產10

在8=03，一個特解〃=

00J?T

、00o

于是方程組的通解為x=k6+f7,其中女為任意常數。

'a4、flb13、/1/713、

5)解:B-1b1302Z?060/703

,13b1,<01-ab\-a4-3a,、0\-ab\-a4-3。

1b13、’1b13、

0b0301\-a4

011-6(4,、00ab-b3-4"

ab—h-03

當R(A)wR(3),即<,。=0或。=1力時，原方程組無解。

3—4行04

當H(A)=R(B)=3,即ab—bwO,。聲11工0時，原方程組有唯一解。

ab-b=O3

當R(A)=R(3)=2<3,即<,。=1且6時，原方程組有無窮多解。

3—48=04

33

1-131-1o

44

令

當a=l且8=3時，原方程組中3o1o4o1oo中

,選國為自由未知量，在對應的B=

4OOO0OOOO

-1

王-1

得，導出組的一個基礎解系5=0.

X2>

在

r

3\

1-

4130

‘石、

?=o10、

04中令X3=0得，一個特解〃

OOX4,

00<2>

于是方程組的通解為x=k3+?],其中攵為任意常數。

6)將增廣矩陣化為上階梯形

‘123-1r'123-11、

11231行變換、0-1-140

B-

3—1—1—2ci00-3-27a-3

23-18-6；、()00b+52-2a-2,

討論：1)當分+52=0,而。+1*0,即"—1/=-52時，R(A)=3<R?=4故方程組(1)無解；

2)當匕+52W0,即。。—52時，R(A)=火(5)=4,方程組有唯一解，由階梯形矩陣得原方程組的一個同解方

程組為：

—a__4(〃+1)

X3XX1Y

x}+22+3-4=入1-32+52

r_a—326(a+l)

-X2-X3+4X4=0回代求解得.人2—3b+52