3.3寨函數

考綱要求

1.了解幕函數的基本概念.

2.掌握嘉函數y=x,y=x2,y=Y,y=x5和y=x-l的圖象和性質.

芻I知識解讀

知識點①嘉函數的定義

一般地，函數y=x?叫做幕函數，其中X是自變量，a是常數.

知識點②常見的五種‘幕函數的圖象

知識點③事函數的性質

1.辱函數在(0,+8)上都有定義；

2.當a>0時，基函數的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+oo)上單調遞增：

3.當a<0時，塞函數的圖象都過點(1,1),且在(0,+8)上單調遞減.

知識點④事函數的常用結論

1.基函數的圖象吧不經過第四象限

2.第一象限內，在直線x=l右側，其指數越大，圖象越高，即“指大圖高”.

〃

3.對于形如兀(其中mGN*,"6Z,"2與〃互質)的幕函數：

(1)當〃為偶數時，/U)為偶函數，圖象關于)，軸對稱；

(2)當機，〃都為奇數時，兀o為奇函數，圖象關于原點對稱；

(3)當機為偶數時，x>0(或后0),/(X)是非奇非偶函數，圖象只在第一象限(或第一象限及原點處).

?題型講解

題型一、事函數的圖象和性質

例1.已知塞函數<x)=M(kCR,aCR)的圖象過點Q,也)，則Z+a=()

A.2D.1

C.ID.2

【答案】A

【解析】I?幫函數孔c）=AA"（kGR,aCR）的圖象過點（J,6），,6）=（0=6即。

+a斗

例2.基函數丫=_/0）的圖象過點（4,2）,則事函數丫=火》）的圖象是（）

【答案】C

【解析】設＞U）=K，則4。=2,r.a=￡,

.../U）=/，對照各選項中的圖象可知c正確.

例3.若累函數的圖象經過點（2,；）,則它的單調遞增區間是（）

A.(0,+oo)B.[0,+oo)

C.(-00,+oo)D.(-00,0)

【答案】D

【解析】設外尸K，則2。=；,a=-2,即於）=x?它是偶函數，單調遞增區間是（一8,0）.

例4.已知幕函數_/（x）=x""2"35eN*）的圖象關于y軸對稱，且在（0,+8）上是減函數，則m的值為

【答案】1

【解析】因為丸x）在（0,+8）上是減函數，所以而―2〃?一3V0,解得一

又,“GN*,所以加=1或,”=2.由于凡r）的圖象關于），軸對稱.所以“2—2加一3為偶數,

又當用=2時，//—2m—3為奇數，所以加=2舍去，因此"?=1.

例5.若應i）=/，則不等式/U）次8x—16）的解集是（）

A.2,坍B.（0,2]

c-(一孫竽)

D.[2,+oo)

【答案】A

【解析】因為函數?x)=爐在定義域［(),+8)內為增函數，且/(X)：次8x—16),

x>0,

所以<8A—16>0,即2<v<y,

X>8x—16,

所以不等式的解集為［2,y).

例6.如圖所示，曲線Ci與C2分別是函數y=丁和在第一象限內的圖象，則下列結論正確的是()

A.n<m<0

C.n>m>0D.m>n>0

【答案】A

【解析】由圖象可知，兩函數在第一象限內遞減，故"<0,〃<0.當x=2時，2〃>2〃，所以〃<〃?<().

題型二、基函數比較大小問題

例1.若〃<0,則0.5。,5。,0.2。的大小關系是()

A.0.2"<5〃<0.5"B.5yo.5〃<0.2"

C.0.5"<0.2"<5"D.5"<0.2"<0.5°

【答案】B

【解析】因為4<0,所以函數y=寸在(0,+oo)上是減函數，又因為0.2<0.5<5,所以0.2">0.5">5〃，即5"vO.5y).2〃.

42

例2.已知4=2"6=33,c=25、,則()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

42LI1222

【解析】因為〃=2§=4"C=253=53,而函數)，=/在(0,+s)上單調遞增，所以如v"<5?,即b<a<c.

232

例3.若c=(|)，則下列正確的是(

)

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>hD.b>c>a

【答案】B

22223

【解析】因為在第一象限內為增函數，所以a=(|j>c.=(|j,因為b=(gj>l,所

以b>a>c.

例4、已知點(m,8)在基函數段)=(%—1)/的圖象上，設“=娟，。=*),。=負2《)，則a,b,c的大

小關系是()

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.h<a<c

【答案】A

【解析】由于_/(x)=(m-D爐為六函數,

所以,“一1=1,則"7=2,貝x)=『.

又點(2,8)在函數人》)=/的圖象上,

所以8=2",知〃=3,故_/U)=V，且在R上是增函數,

T79.近1

乂,>1>22_2>3，

所以/g)次2一$刁(；)，則

例5.已知人x)=/，g(x)=x2,h(x)=x~2,當0<x<l時，凡0，g(x),/i(x)的大小關系是.

【答案】/z(x)>g(x)次X)

【解析】分別作出|x)，g(x)，〃(x)在(0,+8)上的圖象如圖所示,

可知h(x)>g(x)>j(x).

達標訓練

1.下列函數中，既是偶函數，又在區間(0,+oo)上單調遞減的函數是()

A.y=x~2D.y=x

C.y=fD.y=x

【答案】A

【解析】所給選項都是尋函數，其中y=x2和），是偶函數，y=x?和），=/3不是偶函數，故排除選項B、

D,又在區間（0,+8）上單調遞增，不合題意，y=xP在區間（0,+oo）上單調遞減，符合題意，故選A.

2.（多選題）（2020?襄陽調研）已知點。，，在幕函數段）=3—1），的圖象上，則函數段）是（）

A.奇函數

B.偶函數

C.（0,+8）上的增函數

D.（0,+8）上的減函數

【答案】AD

【解析】由題意得a—1=1,且因此。=2,且b=-1,故兀v）=》r是奇函數，且在（0,+8）上是減

函數.

42|

3.已知a=3§,6=4《，c=12\則mb,c的大小關系為（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【解析】因為〃=81二，3=165,c—12^,由幕函數、=/在（0,+co）上為增函數，知〃>0>c.

4.已知函數於）=%、,若〃=大0.6吟，人=人0.6°,4）,c=/（0.40-6）,則m4c的大小關系是（）

A.a<c<bB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【解析】??,0.4°6<0.6°6<0.6(U,

又丁=/（幻=-3在（0，+8）上是減函數,

/.b<a<c.

5.若幕函數/）=（二一5。—5卜丁在（0,+8）上單調遞增，則。等于（

A.1B.6

C.2D.-1

【答案】D

i

【解析】因為函數/?=(/—5。一5)x”“是'累函數，

所以—5〃-5=1,解得4=—1或4=6.

當a=—\時，

府)=/在(0,+oo)上單調遞增；

當4=6時，

府)=/3在(0,+oo)上單調遞減，

所以〃=-1.

6.已知基函數兀0=如是定義在區間［―2,網上的奇函數，設。=/(sin45。)，0=/(sin30。)，c=

/(sin60°),則()

A.h<a<cB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

【答案】A

【解析】根據'/U)=〃拄+"是基函數，且在區間1—2,網上是奇函數，

得，〃=1,且-2+"=0,解得〃=2,

且在定義域［-2,2］上是單調增函數.

Xsin300<sin450<sin60°,

，/(sin30°)</(sin45°)</(sin60°),即b<a<c.

p_

7.己知基函數y=X“S，qGZ且p,q互質)的圖象關于y軸對稱，如圖所示，貝女)

A.p,q均為奇數，且彳>0

B.q為偶數，p為奇數，且：<0

C.q為奇數，p為偶數，且%0

D.q為奇數,p為偶數，且：<0

【答案】D

p_p_

【解析】因為函數.丫=工”的圖象關于），軸對稱，于是函數y=x"為偶函數，即〃為偶數，

p_

乂函數尸x"的定義域為（一8,0）U（0,+00）,且在（0,+8）上單調遞減，則有]<0,

又因為P，4互質，則“為奇數，所以只有選項D正確.

8.若四個嘉函數y=^,y=Z,y=/在同一坐標系中的圖象如圖所示，則a,b,c,d的大小關系

是（）

A.d>c>b>aB.a>b>c>d

C.d>c>ci>bD.a>b>d>c

【答案】B

1

【解析】觀察圖象聯想y=『，y=x"y=x?在第一象限內的圖象，可知c<0,d<0,0<b<\<a.

由圖象可知2，>2",所以綜上知a>6>c>d.

17

9.若（2m+1）2>（加2+加一1P，則實數機的取值范圍是（）

A.（―co,B.肉,+j

C.（—1,2）D.[%12）

【答案】D

【解析】因為函數y=/在|0,+（?）是增函數，

且（2m+1）2>（tn2+m-\^,

2m+1>0,

所以<m2+m1>0,解得_<m<2.

,2m+\>nr+m~1,

10.塞函數y=/Q）經過點（3,啊,則以）是（）

A.偶函數，且在（0,+oo）上是增函數

B.偶函數，且在（0,+oo）上是減函數

C.奇函數，且在（0,+oo）上是減函數

D.非奇非偶函數，且在（0,+助上是增函數

【答案】D

【解析】設器函數的解析式為y=L,將（3,小）代入解析式得3"=正，解得a=3,.?.尸元.

11.（2022?延吉檢測）若函數y=（機2一3根+3）犬八2吁4為基函數，且在①，十8）上單調遞減，則實數m的值

為（）

A.0B.1或2

C.1D.2

【答案】C

【解析】由于函數y=（機2—+3）I"'?吁4為基函數，

所以，/-3/n+3=1,解得〃?=1或，"=2,

當,”=1時，在（0,+刃）上單調遞減，符合題意.

當桁=2時，y=x4,在（0,+oo）上單調遞增，不符合題意.

12.若基函數丫=（那-3m+3）?"?一成一2的圖象不過原點，則根的取值是（）

A.—\<m<2D.m=1或加=2

C.m=2D.m=\

【答案】B

【解析】由嘉函數的定義，可得加2—3切+3=1,解得機=1或2.當團=1時，y=/2,其圖象不過原點；當

"?=2時，y=/,其圖象不過原點.故或2.

13.已知基函數外）=片的圖象過點（2,則函數g（x）=（x—2次外在區間仕，11二的最小值是（）

A.-1D.-2

C.-3D.-4

【答案】C

【解析】由已知得2〃芍1解得。=-1,.?*伏）=7r—=21—彳2在區間Er1，""I上單調遞增，貝Ug（X）min=g（<j1\）=一

3.故選C.

14.(2022?張家口檢測)已知幕函數式x)=my+么的圖象過點(專，；)，則加一2〃+3A=.

【答案】0

【解析】因為《X)是幕函數，

所以m=1,k=0,

又/(x)的圖象過點?,；),

所以㈤"4

解得〃=；,

所以加一2〃+3A=0.

15.已知2.4。>2.5。，則a的取值范圍是.

【答案】(一8，0)

【解析】因為0V2.4V2.5,而2.4〃>2.5〃，

所以了=^在(0,+8)上為減函數，故aVO.

16.給出下面四個條件：①/(機+〃)=/("?)+火")；②汽機+〃)=,穴加)貝〃)；③/(〃?〃)=人根)貝")；@f(mn)=J(m)+

#〃).如果機,〃是事函數y=A幻定義域內的任意兩個值，那么幕函數y=/U)一定滿足的條件的序號為.

【答案】③

aaaa

【解析】設/(幻=爐\則.穴〃?+〃)=(加+〃)“，/("?)+,/(〃)=胴。+〃"，J(m)-J(n)=m-n=(mn)iJ(mn)=(mn)9所

以角切7)=逃"?)貿〃)一定成立，其他三個不一定成立，故填③.

17.己知基函數大犬)=(小一5m+7)xF「(m￡R)為偶函數.

(1)求({)的值；

(2)若_/(2a+l)=/(a),求實數a的值.

【答案】(1)16(2)a=-1或。=一；

【解析】(1)由，層一5所+7=1,得，”=2或3.

當山=2時，40=/3是奇函數，.?.不滿足題意，.?.〃?=2舍去；

當m=3時，加)=44,滿足題意，

一4

，段)=/4,.?.0=(；)=16.

(2)由/U)=/4為偶函數和火2a+l)=/(a)可得|2a+l|=|a|,

即2a+I=a或2a+\=-a,.\a=~l或a=—?

(irT+nty1

18.已知基函數"x)=x(meN).

(1)試確定該函數的定義域，并指明該函數在其定義域上的單調性；

(2)若函數兀0的圖象經過點(2,也)，試確定機的值，并求滿足條件X2—1)的實數。的取值范圍.

【答案】⑴［0,+8)增函數(2)m=111,|)

【解析】(1)因為nr+m=m{m-\-l)(/n^N*),

而加與〃?+1中必有一個為偶數，所以nr+m為偶數，

(m2+/n)-1

所以函數/(x)=xv(〃?WN*)的定義域為［0,+00),并且該函數在［0,+8)上為增函數.

(2)因為函數/U)的圖象經過點(2,業,

所以能=2(/+M12"〃"〃z,up22=2而+小，

所以/+〃?=2,解得"?=1或6=—2.

又因為所以僧=1,於)=/，

又因為人2—〃)/4—1),

2-a>0,3

-

所以<a~\>0,2

.2—a>?-I>

故函數;(x)的圖象經過點(2,6)時，，”=1.

滿足條件人2—的實數a的取值范圍為［1,1).

一課后提升

1.(多選)已知基函數7(X)=(相2一根_l)x，"，"，-3,對任意為,及右(0,+00),且X^X2,都滿足西匕B^>0,

\/x}-x2

若a,且大。)+人力<0,則下列結論可能成立的有()

A.a+b>Q且ah<0

B.a+b<0Kab<0

C.a+b<0Eab>0

D.以上都可能

【答案】BC

【解析】因為/U）=（〃，一加一1）f吁3為基函數,

所以in2—m—1=1,

解得，”=2或m=-1.

依題意7（x）在（0,+8）上單調遞增,

所以機=2,此時兀r）=V,

因為/（一'）=（-x）3=-V=—/（x）,

所以,危0=/為奇函數.

因為。，R且忌，）+火匕）<0,

所以加）勺（一匕）.

因為y=/U）為增函數,

所以a<一b,所以〃+〃<0.

2.對于基函數兀v）=x；若0<?<X2,則產/），；/.2）的大小關系是（）

Afi+xz）》/（XI）+F（X2）

B.隹可y5）

?/xi+Z/（XI）+/（X2）

c

-\T~r2

D.無法確定

【答案】A

【解析】某函數/U）="在（0,+8）上是增函數，大致圖象如圖所示.

設A（X|,0）,C（X2,0）,其中O<X|<X2,則AC的中點E的坐標為（嗎*,0）,|AB|-Xxi）,\CD\=^x2）,|EF|

〃1+%2、1,f（Xl）+/（%2），…

=人一5一>?|防>手|明+3）,?《一萬二），—Y—，故選A.

3.