山西省忻州實驗中學2024屆數學高三第一學期期末檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，命題“存在，使方程有實根”的否定是()A．任意，使方程無實根B．任意，使方程有實根C．存在，使方程無實根D．存在，使方程有實根2．對于正在培育的一顆種子，它可能1天后發芽，也可能2天后發芽，….下表是20顆不同種子發芽前所需培育的天數統計表，則這組種子發芽所需培育的天數的中位數是()發芽所需天數1234567種子數43352210A．2 B．3 C．3.5 D．43．對某兩名高三學生在連續9次數學測試中的成績（單位：分）進行統計得到折線圖，下面是關于這兩位同學的數學成績分析．①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，故平均成績為130分；②根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統計，估計該同學平均成績在區間110,120內；③乙同學的數學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關；④乙同學連續九次測驗成績每一次均有明顯進步．其中正確的個數為（）A．4 B．3 C．2 D．14．總體由編號為01，02，...，39，40的40個個體組成.利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表（如表）第1行的第4列和第5列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為（）A．23 B．21 C．35 D．325．設,則(

)A．10 B．11 C．12 D．136．設是定義域為的偶函數，且在單調遞增，，則（）A． B．C． D．7．在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P為A1D1的中點，若三棱錐P?ABC的四個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．12 B． C． D．108．點為的三條中線的交點，且，，則的值為()A． B． C． D．9．閱讀下面的程序框圖，運行相應的程序，程序運行輸出的結果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．810．已知點，若點在曲線上運動，則面積的最小值為（）A．6 B．3 C． D．11．把函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若函數是偶函數，則實數的最小值是（）A． B． C． D．12．定義，已知函數，，則函數的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則的值是．14．在數列中，，，曲線在點處的切線經過點，下列四個結論：①；②；③；④數列是等比數列；其中所有正確結論的編號是______.15．已知向量，若向量與共線，則________.16．復數（其中i為虛數單位）的共軛復數為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知；.（1）若為真命題，求實數的取值范圍；（2）若為真命題且為假命題，求實數的取值范圍.18．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程和曲線的普通方程；（2）設射線與曲線交于不同于極點的點，與曲線交于不同于極點的點，求線段的長．19．（12分）已知，求的最小值.20．（12分）設前項積為的數列，（為常數），且是等差數列.（Ｉ）求的值及數列的通項公式；（Ⅱ）設是數列的前項和，且，求的最小值.21．（12分）已知x∈R，設，，記函數.（1）求函數取最小值時x的取值范圍；（2）設△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值.22．（10分）已知函數，（1）證明：在區間單調遞減；（2）證明：對任意的有．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

只需將“存在”改成“任意”，有實根改成無實根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在，使方程有實根”的否定是“任意，使方程無實根”.故選：A【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，此類問題要注意在兩個方面作出變化：1.量詞，2.結論，是一道基礎題.2、C【解析】

根據表中數據，即可容易求得中位數.【詳解】由圖表可知，種子發芽天數的中位數為，故選：C.【點睛】本題考查中位數的計算，屬基礎題.3、C【解析】

利用圖形，判斷折線圖平均分以及線性相關性，成績的比較，說明正誤即可．【詳解】①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性，最高130分，平均成績為低于130分，①錯誤；②根據甲同學成績折線圖提供的數據進行統計，估計該同學平均成績在區間[110,120]內，②正確；③乙同學的數學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性，且為正相關，③正確；④乙同學在這連續九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步，故④不正確．故選：C．【點睛】本題考查折線圖的應用，線性相關以及平均分的求解，考查轉化思想以及計算能力，屬于基礎題．4、B【解析】

根據隨機數表法的抽樣方法，確定選出來的第5個個體的編號.【詳解】隨機數表第1行的第4列和第5列數字為4和6，所以從這兩個數字開始，由左向右依次選取兩個數字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，…其中落在編號01，02，…，39，40內的有：16，26，16，24，23，21，…依次不重復的第5個編號為21.故選：B【點睛】本小題主要考查隨機數表法進行抽樣，屬于基礎題.5、B【解析】

根據題中給出的分段函數，只要將問題轉化為求x≥10內的函數值，代入即可求出其值．【詳解】∵f（x），∴f（5）＝f[f（1）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝1．故選：B．【點睛】本題主要考查了分段函數中求函數的值，屬于基礎題．6、C【解析】

根據偶函數的性質，比較即可.【詳解】解：顯然，所以是定義域為的偶函數，且在單調遞增，所以故選：C【點睛】本題考查對數的運算及偶函數的性質，是基礎題.7、C【解析】

取B1C1的中點Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球，求出等腰三角形的外接圓半徑，然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖，取B1C1的中點Q，連接PQ，BQ，CQ，PD，則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱，所以該直三棱柱的六個頂點都在球O的球面上，的外接圓直徑為，球O的半徑R滿足，所以球O的表面積S=4πR2=，故選：C.【點睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關系，及球的表面積公式，解題時要注意審題，注意空間思維能力的培養，屬于中檔題.8、B【解析】

可畫出圖形，根據條件可得，從而可解出，然后根據，進行數量積的運算即可求出．【詳解】如圖：點為的三條中線的交點，由可得：，又因，，.故選：B【點睛】本題考查三角形重心的定義及性質，向量加法的平行四邊形法則，向量加法、減法和數乘的幾何意義，向量的數乘運算及向量的數量積的運算，考查運算求解能力，屬于中檔題.9、C【解析】

根據程序框圖的模擬過程，寫出每執行一次的運行結果，屬于基礎題.【詳解】初始值，第一次循環：，；第二次循環：，；第三次循環：，；第四次循環：，；第五次循環：，；第六次循環：，；第七次循環：，；第九次循環：，；第十次循環：，；所以輸出.故選：C【點睛】本題考查了循環結構的程序框圖的讀取以及運行結果，屬于基礎題.10、B【解析】

求得直線的方程，畫出曲線表示的下半圓，結合圖象可得位于，結合點到直線的距離公式和兩點的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個端點)，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關系知在時，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點睛】本題考查三角形面積最值，解題關鍵是掌握直線與圓的位置關系，確定半圓上的點到直線距離的最小值，這由數形結合思想易得．11、A【解析】

先求出的解析式，再求出的解析式，根據三角函數圖象的對稱性可求實數滿足的等式，從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數解析式為，故.令，，解得，.因為為偶函數，故直線為其圖象的對稱軸，令，，故，，因為，故，當時，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數的圖象變換以及三角函數的圖象性質，注意平移變換是對自變量做加減，比如把的圖象向右平移1個單位后，得到的圖象對應的解析式為，另外，如果為正弦型函數圖象的對稱軸，則有，本題屬于中檔題．12、A【解析】

根據分段函數的定義得，，則,再根據基本不等式構造出相應的所需的形式，可求得函數的最小值.【詳解】依題意得，，則,(當且僅當，即時“”成立.此時,，，的最小值為，故選：A.【點睛】本題考查求分段函數的最值，關鍵在于根據分段函數的定義得出，再由基本不等式求得最值，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：由三角函數定義知，又由誘導公式知，所以答案應填：．考點：1、三角函數定義；2、誘導公式．14、①③④【解析】

先利用導數求得曲線在點處的切線方程，由此求得與的遞推關系式，進而證得數列是等比數列，由此判斷出四個結論中正確的結論編號.【詳解】∵，∴曲線在點處的切線方程為，則.∵，∴，則是首項為1，公比為的等比數列，從而，，.故所有正確結論的編號是①③④.故答案為：①③④【點睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法，考查根據遞推關系式證明等比數列，考查等比數列通項公式和前項和公式，屬于基礎題.15、【解析】

計算得到，根據向量平行計算得到答案.【詳解】由題意可得，因為與共線，所以有，即，解得.故答案為：.【點睛】本題考查了根據向量平行求參數，意在考查學生的計算能力.16、【解析】

利用復數的乘法運算求出，再利用共軛復數的概念即可求解.【詳解】由，則.故答案為：【點睛】本題考查了復數的四則運算以及共軛復數的概念，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】

（1）根據為真命題列出不等式，進而求得實數的取值范圍；（2）應用復合命題真假判定的口訣：真“非”假，假“非”真，一真“或”為真，兩真“且”才真.【詳解】（1），且，解得所以當為真命題時，實數的取值范圍是.（2）由，可得，又∵當時，，.∵當為真命題，且為假命題時，∴與的真假性相同，當假假時，有，解得；當真真時，有，解得；故當為真命題且為假命題時，可得或.【點睛】本題主要考查結合不等式的含有量詞的命題的恒成立問題，存在性問題，考查復合命題的真假判斷，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.18、（1）；（2）【解析】

曲線的參數方程轉換為直角坐標方程為．再用極直互化公式求解，曲線的極坐標方程用極直互化公式轉換為直角坐標方程．射線與曲線的極坐標方程聯解求出，射線與曲線的極坐標方程聯解求出，再用得解【詳解】解：曲線的參數方程為（為參數，轉換為直角坐標方程為．把，代入得：曲線的極坐標方程為．轉換為直角坐標方程為．設射線與曲線交于不同于極點的點，所以，解得．與曲線交于不同于極點的點，所以，解得，所以【點睛】本題考查參數方程、極坐標方程直角坐標方程相互轉換及極坐標下利用和的幾何意義求線段的長.（1）直角坐標方程化為極坐標方程只需將直角坐標方程中的分別用，代替即可得到相應極坐標方程．參數方程化為極坐標方程必須先化成直角坐標方程再轉化為極坐標方程.（2）直接求解，能達到化繁為簡的解題目的；如果幾何關系不容易通過極坐標表示時，可以先化為直角坐標方程，將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題加以解決.19、【解析】

討論和的情況，然后再分對稱軸和區間之間的關系，最后求出最小值【詳解】當時，，它在上是減函數故函數的最小值為當時，函數的圖象思維對稱軸方程為當時，，函數的最小值為當時，，函數的最小值為當時，，函數的最小值為綜上，【點睛】本題主要考查了二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題。20、（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）當時，由，得到，兩邊同除以，得到.再根據是等差數列.求解.（Ⅱ），根據前n項和的定義得到，令，研究其增減性即可.【詳解】（Ⅰ）當時，，所以，即，所以.因為是等差數列.，所以，，令，，，所以，即；（Ⅱ），所以，，令，所以，，即，所以數列是遞增數列，所以，即.【點睛】本題主要考查等差數列的定義，前n項和以及數列的增減性，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）【解析】

(1)先根據向量的數量積的運算，以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡得到f（x）=，再根據正弦函數的性質即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根據余弦定理和基本不等式，即可求出，根據三角形的面積公式即可求出答案.【詳解】（1）.令，k∈Z，即時，，取最小值，所以，所求的取值集合是；（2）由，得，因為，所以，所以，.在中，由余弦定理