第16講構造論證一

內容概述

各種形式的構造問題，解題時要不斷地調整設計方案以滿足全部要求，有時應從簡單情形入

手尋找規律。本講的論證問題，一般采用奇偶性或整除性的分析方法。

典型問題

興趣篇

1.如圖16-1,用1x2和1x3兩種規格的小長方形地板磚鋪滿地面，至少需要地板磚多少塊？

2.國際象棋的皇后可以控制她所在的橫線、豎線和斜線，圖16-2中一個皇后（圖中五角星）

就把整個3x3的棋盤控制了。為了控制一個4x4的棋盤至少要放幾個皇后？

圖16-2

3.圖16-3的左圖為15枚硬幣組成的三角形，如果僅移動5枚硬幣，要把這些硬幣變成右圖

的形式，應該怎樣移動？請在圖中表示出移動的方法。

圖16-3

4.把100個橘子分裝在6個籃子里，使得每個籃子里裝的橘子數都含有數字6,應該如何裝?

5.把正方體的所有棱染成白色或者紅色，要求每個面上至少要有一條棱是白色的。請問：最

少有多少條棱是白色的？

6.請在9,8,…，3,2,1的相鄰兩個數之間填入“+”或者“一”（不能改變數的順序），使得結

果是1。能否使得結果是0呢？

987654321=1

987654320

7.如圖16-5,能否在三角形的三個頂點各填一個自然數，使得每條邊的兩個頂點上的數之和

都是奇數？如果能，請寫出一種填法；如果不能，請說明理由。

8.四位同學進行了一次乒乓球單打比賽，當比賽進行了若干場后，體育老師問他們分別比賽

了多少場。這四全同學回答分別比了1、2、3、3場。老師說：“你們肯定有人記錯了。”請

問：老師是怎么知道的呢？

9.有四個算式：口+口=口，口-口=口，口、口=口,口+口=口。如果每一個算式中都至少有1個

偶數和1個奇數，那么12個數中一共有多少個偶數？如果沒有前面的限制，這12個數中最

少有多少個偶數？最多有多少個偶數？

10.有14個孩子，依次給他們編號為1,2,3,…，14。能否把他們分成三組，使得每組都有

一個孩子的編號是該組其它孩子的編號之和。

拓展篇

1.圖16-6中的左圖為21枚硬幣組成的三角形，如果僅移動7枚硬幣，要把這些硬幣變成右

圖的形狀，應該怎樣移動？請在圖中表示出移動的方法。

圖16-6

2.小明買來一個1500克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了7塊，使得無論是3個人還是5個人

平分，都不必再分割蛋糕。這7塊蛋糕的重量分別是多少？

3.有4顆外形完全相同的珍珠，其中3顆是真的，另1顆是假的，已知假珍珠比真的要輕。

請問：用一架沒有祛碼的天平最少稱幾次就可以找出假珍珠？如果是9顆珍珠里有1顆假的

呢？請設計出方案。

4.圖16-7中，左邊是一把長為6厘米的直尺，其中已標出2條刻度線。用它可以一次量出

從1至6厘米中任意整數厘米的長度。右圖為一把長為9厘米的直尺，請你在上面只標出3

條刻度線，使得用這把直尺一次可以量出從1至9厘米中任意整數厘米的長度。

I厘米3厘米2厘米

圖16-7

5.請將8個1,8個0填入圖16-8的16個空格中，使得每行、每列的4個數之和都是奇數。

0111

0100

0010

1110

6.有一列自然數，其中任意3個相連的數之和都不小于6,而任意4個相連的數之和都小于

8。這個數列最多能有幾項？

7.用7個相同的數字并且適當使用加、減號，可以計算出1000,例如1111-111=1000。試

用8個相同的數字（并且適當使用加號、減號）來計算1000。

8.有12根長木棍,長度分別為1,2,3,4..12厘米。

（1）能否用這12根小木棍拼成一個長方形，要求木棍上且不能折斷或彎曲。

（2）能否用這12根小木棍拼成一個正方形，要求木棍上且不能折斷或彎曲。

9.（1）請在1,2,3,19,20的相鄰兩個數之間填入“+”或“，（不能改變數的順序），使得

結果是0。

（2）能否在1,2,3,...,20,21的相鄰兩個數之間填入"+”或者（不能改變數的順序），

使得結果是0。

10.有5個亮著的燈泡，每個燈泡都由一個開關控制。每次操作可以拉動其中的2個開關以

改變相應燈泡的亮暗狀態。能否經過若干次操作使得5個燈泡都變暗？

11.桌上放有5張卡片，小悅先在卡片的正面分別寫上1、2、3、4、5,然后冬冬在背面也分

別寫上1、2、3、4、5,寫完后計算每張卡片上兩數之和，再把5個和相乘，問：冬冬能否

找到一種寫法，使得最后的乘積是奇數？為什么？

12.將一個三位數改變三個數字的順序之后可以得到一個新的三位數。請問：這個新的三位

數和原來的三位數之和能不能等于999?如果能，請舉出例子；如果不能，請說明理由。

超越篇

1.桌上放有5枚硬幣。第一次翻動其中1枚，第二次翻動其中2枚，第三次翻動其中3枚，

第四次翻動其中4枚，第五次翻動其中5枚。能否找到--種翻動硬幣的方法，使得最后所有

的硬幣都翻過來？如果桌上放有6枚硬幣，按類似的方法翻動六次，能否找到一種翻動硬幣

的方法，使得最后所有的硬幣都翻過來？

2.甲、乙、丙、丁四個人，每個人都有一條消息。他們之間通過電話傳遞消息：當甲與乙兩

個人通話時，甲把他當時所知道的一切信息全部告訴乙，乙也把自己所知道的全部信息告訴

甲。請你設計一種方案，使得只需打電話4次，就可以使得每個人都知道其他所有人的信息。

3.天平稱物體的原理是：在天平的左右兩個托盤中放入物品和祛碼，當天平平衡時，我們可

以根據祛碼的重量來知道物品的重量。

（1）在某一類天平中，物品只能放在左邊的托盤中，祛碼只能放在天平右端的托盤中。至

少需要準備多少個袪碼，才能保證一次稱出1至20克之間的任意整數克的物品？

（2）在某一類天平中，祛碼可以放在天平兩端的托盤中，物品也可以放在兩邊的托盤中，

那么至少需要準備多少個祛碼，才能保證一次稱出1至32克之間的任意整數克的物品？

4.如圖16-9所示，18個孩子站在24個方格中，每格最多站1人。要使得每行每列站的孩子

數都是偶數。請在圖中標出這些孩子的站法（只需給出一種站法即可）。

5.如圖16-10所示，有3個3x3的方格表，每個都已經填入了9個整數。如果將表中同一行

或同一列的3個數加上相同的整數稱為一次操作。問：

（1）下表三個方格表中，是否有某個方格表能通過若干次操作使得表中9個表都變為相同

的數？若有請指出是哪個或哪個或哪些表格，若沒有則說明理由；

（2）是否有某些方格表能夠通過若干次操作變得完全一樣？若有請指出是哪個或哪些表格,

圖16-10

6.（1）能否將1、2、3、4、5圍成一個圓圈，使得相鄰兩個數的差都是2或者3?

（2）能否將1、2、3、4、5、6、7圍成一個圓圈，使得相鄰兩個數的差都是2或者3?

7.旅店現在有9個單人間，10名旅客可能入住。這10名旅客每次有9個人同時入住，管理

員想事先給每個人配一些鑰匙，使得無論是哪9個人入住，總能正好入住這9個房間，而且

不用找別人借鑰匙。請問：最少需要多少把鑰匙？

8.如圖16-11,在五角星圖案中共有10個節點(用黑色實心圓點表示)，以這些節點為頂點

的三角形共有10個。現在將自然數1至10分別填在10個節點上，將每個三角形中三個頂

點處所標數和稱為此三角形的“特征值請問：

(1)是否存在一種填數方法，使得每個三角形的特征值均為偶數；

(2)是否存在一種填數方法，使得每個三角形的特征值都能被3整除。能則舉出例子，不

能請說明理由。

第16講構造論證一

內容概述

各種形式的構造問題，解題時要不斷地調整設計方案以滿足全部要求，有時應從簡單情形入

手尋找規律。本講的論證問題，一般采用奇偶性或整除性的分析方法。

典型問題

興趣篇

1.如圖16-1,用1x2和1x3兩種規格的小長方形地板磚鋪滿地面，至少需要地板磚多少塊？

2.國際象棋的皇后可以控制她所在的橫線、豎線和斜線，圖16-2中一個皇后（圖中五角星）

就把整個3x3的棋盤控制了。為了控制一個4義4的棋盤至少要放幾個皇后？

3.圖16-3的左圖為15枚硬幣組成的三角形，如果僅移動5枚硬幣，要把這些硬幣變成右圖

的形式，應該怎樣移動？請在圖中表示出移動的方法。

圖16-3

［分析］我們可以把兩個圖疊放在一起進行比對。比對后發現，兩圖剛好有5個硬幣不能重

合，那么移動這5枚硬幣到對應的位置即可。

4.把100個橘子分裝在6個籃子里,使得每個籃子里裝的橘子數都含有數字6,應該如何裝？

［分析］要讓每個籃子中橘子的個數都含有數字6,那么只能是5個籃子個位帶6,1個籃子

十位帶6。這樣的6個數最小是60+6+6+6+6+6=90,比100剛好差10。于是有：

60+16+6+6+6+6=100

5.把正方體的所有棱染成白色或者紅色，要求每個面上至少要有一條棱是白色的。請問：最

少有多少條棱是白色的？

［分析］每條棱被兩個面共用。那么要每個面上都有白色的棱，最少需要6+2=3條白色的

棱。如圖，其中虛線部分為白色棱。

6.請在9,8,…，3,2,1的相鄰兩個數之間填入“+”或者“一”(不能改變數的順序)，使得結

果是1。能否使得結果是0呢？

987654321=1

987654321=0

［分析］(1)9-8-7+6+5-4-34-2+1=1

(2)不能。9+8+7+......+1=45,當把其中的任意+號換成-號時，算式的奇偶性不變。

因此算式結果不可能為0

7.如圖16-5,能否在三角形的三個頂點各填一個自然數，使得每條邊的兩個頂點上的數之和

都是奇數？如果能，請寫出一種填法；如果不能，請說明理由。

圖16-5

［分析］設3個頂點填入的3個自然數數分別為c,假設a+b,a+c,b+c都為奇數，于

是a+b+a+c+6+c也為奇數。但是a+6+a+c+力+c=2(a+Z?+c)是一個偶數，矛盾。因

此每條邊的兩個頂點上的數之和不可能都是奇數。

8.四位同學進行了一次乒乓球單打比賽，當比賽進行了若干場后，體育老師問他們分別比賽

了多少場。這四全同學回答分別比了1、2、3、3場。老師說：“你們肯定有人記錯了。”請

問：老師是怎么知道的呢？

［分析］每次比賽，比賽雙方各賽了一場。因此四個人比賽的總場次應該是偶數。而

1+2+3+3=9是奇數。因此肯定有人記錯了。

9.有四個算式：口+口=口，口-口二^^匚^口二口，口土口=口。如果每一個算式中都至少有1個

偶數和1個奇數，那么12個數中一共有多少個偶數？如果沒有前面的限制，這12個數中最

少有多少個偶數？最多有多少個偶數？

［分析］(1)加減法算式中，有奇數就必有2個奇數。乘除法算式中，有偶數就至少有2

個偶數。因此四個算式中分別有1,1,2,2個偶數，共6個偶數。

(2)加減法算式中最少有1個偶數，最多有3個偶數；乘除法算式中，最少有。個偶數，

最多有3個偶數。因此四個算式中最少有2個偶數，最多有12個偶數。

10.有14個孩子，依次給他們編號為1,2,3,....14o能否把他們分成三組，使得每組都有

一個孩子的編號是該組其它孩子的編號之和。

［分析］不能

如果可以，我們取每組編號最大的那個孩子，那么這3個孩子的編號和，與其他所有孩子的

編號和相等。那么所有孩子的編號和必須是一個偶數。

1+2+3+......+14=105是一個奇數，矛盾。因此不能把他們分成三組，使得每組都有一個

孩子的編號是該組其它孩子的編號之和。

拓展篇

1.圖16-6中的左圖為21枚硬幣組成的三角形，如果僅移動7枚硬幣，要把這些硬幣變成右

圖的形狀，應該怎樣移動？請在圖中表示出移動的方法。

圖16-6

［分析］把兩個圖形疊放在一起比對，發現只有.7枚硬幣不能重疊，那么移動這7枚硬幣到

指定位置即可。

2.小明買來一個1500克的生日蛋糕，他把蛋糕切成了7塊，使得無論是3個人還是5個人

平分，都不必再分割蛋糕。這7塊蛋糕的重量分別是多少？

［分析］我們可以先把蛋糕5等分，那么每一塊蛋糕重300克。如果我們要把蛋糕分給3

個人，每個人應該拿到500克蛋糕。那么我們把其中兩塊300克的蛋糕分成200+100克的

兩塊，這樣就可以得到300+200,300+200,300+100+100三塊500克的蛋糕。共分了7塊。

3.有4顆外形完全相同的珍珠，其中3顆是真的，另1顆是假的，已知假珍珠比真的要輕。

請問：用一架沒有祛碼的天平最少稱幾次就可以找出假珍珠？如果是9顆珍珠里有1顆假的

呢？請設計出方案。

［分析］(1)2次。取出兩顆珍珠，放在天平兩端。如果天平不平衡，輕的一邊是假珍珠。

否則用同樣方法稱另外兩顆珍珠。

(2)2次.吧9顆珍珠平均分成3堆。取其中兩堆放在天平兩邊。如果天平不平衡，說明

假珍珠在輕的一邊；如果天平平衡，那么假珍珠在沒有稱的那堆珍珠中。

找到假珍珠在哪堆之后，在這堆中取兩顆珍珠放在天平兩邊。如果天平不平衡，輕的那

顆就是假珍珠；如果天平平衡，那么沒有稱的那顆就是假珍珠。

4.圖16-7中，左邊是一把長為6厘米的直尺，其中已標出2條刻度線。用它可以一次量出

從1至6厘米中任意整數厘米的長度。右圖為一把長為9厘米的直尺，請你在上面只標出3

條刻度線，使得用這把直尺一次可以量出從1至9厘米中任意整數厘米的長度。

1厘米3厘米2厘米

圖16-7

［分析］用1厘米到9厘米逐個檢驗，可把直尺分為1厘米、1厘米、4厘米、3厘米；或1

厘米、3厘米、3厘米、2厘米。

5.請將8個1,8個0填入圖16-8的16個空格中，使得每行、每列的4個數之和都是奇數。

［分析］每行每列4數之和都是奇數，那么4個和只能是1,1,3,3。構造圖。答案不為1。

6.有一列自然數，其中任意3個相連的數之和都不小于6,而任意4個相連的數之和都小于

8。這個數列最多能有幾項？

［分析］設這一列數為。也。,4,自/....依題，

a+b+c>6,a+b+c+d<8=i>d<1

同理，h+c+d>6,b+c+d+e<8^>e<1

c+d+e>6,c+d+e+f<8^f<l

此時，"+e+/43<6與題意不符，因此數列不可能有6項。那么最多有5項。

觀察這幾組數：0,1,5,1,0;1,1,4,1,1;1,2,2,2,1每組5項都滿足條件。

因此這個數列最多有5項。

7.用7個相同的數字并且適當使用加、減號，可以計算出1000,例如1111-111=1000。試

用8個相同的數字(并且適當使用加號、減號)來計算1000o

［分析］由于只能用加減號，那么相同的數字是多少，計算結果就必然是幾的倍數。那么要

湊出1000,只能用8個相同的1,2,4或8。嘗試湊個位的0,發現124都無法湊出個位0的

同時使計算結果是1000?嘗試8個8888+88+8+8+8=1000。

8.有12根長木棍,長度分別為1,2,3,4..12厘米。

(1)能否用這12根小木棍拼成一個長方形，要求木棍上且不能折斷或彎曲。

(2)能否用這12根小木棍拼成一個正方形，要求木棍上且不能折斷或彎曲。

［分析］(1)可以。1+2+3+...+12=78,取四條邊分別為：1+12=2+11=13;

3+4+9+10=5+6+7+8=26。

(2)不可以。78+4=19.5,不是整數。

9.(1)請在1,2,3,…，19,20的相鄰兩個數之間填入“+”或(不能改變數的順序)，使得

結果是0。

(2)能否在1,2,3,...,20,21的相鄰兩個數之間填入"+”或者(不能改變數的順序)，

使得結果是0。

［分析］(1)(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+...+(17-18-19+20)=0

(2)1+2+3+...+21=231,我們把其中的任意一些加號變成減號，結果的奇偶性

是不變的。因此結果不可能是0

10.有5個亮著的燈泡，每個燈泡都由一個開關控制。每次操作可以拉動其中的2個開關以

改變相應燈泡的亮暗狀態。能否經過若干次操作使得5個燈泡都變暗？

I：分析］不能。

要使一個燈泡又亮邊暗，需要拉動奇數次開關。那么要讓5個亮著的燈泡都變暗，共需

拉動奇數次開關（5個奇數相加，和一定是奇數）。而我們每次操作都是拉偶數個開關，因

此不能經過若干次操作使得5個燈泡都變暗。

11.桌上放有5張卡片，小悅先在卡片的正面分別寫上1、2、3、4、5,然后冬冬在背面也分

別寫上1、2、3、4、5,寫完后計算每張卡片上兩數之和，再把5個和相乘，問：冬冬能否

找到一種寫法，使得最后的乘積是奇數？為什么？

［分析］不能

要讓最后乘積是奇數，那么5張卡片上的兩數和必須都是奇數。那么卡片上的10個數

總和也是奇數。而實際上，10個數的和是2x（l+2+3+4+5）=30是個偶數。因此無論怎么

寫，最后的乘積一定是偶數。

12.將一個三位數改變三個數字的順序之后可以得到一個新的三位數。請問：這個新的三位

數和原來的三位數之和能不能等于999?如果能，請舉出例子；如果不能，請說明理由。

［分析］不能。

易知，兩個三位數的和是999,那么在做加法的時候沒有發生進位。如果可以找到，不

妨假設其中一個數是人，那么另一個數是（9-a）（9-6）（9-c）。其中（9-a）（9-S（9-c）是

次數字重組后的新三位數，及它們含有完全相同的3個數字。那么，兩個三位數的6個數

字之和必然是一個偶數。而實際上a+6+c+（9-a）+（9-b）+（9-c）=27,是一個奇數。

因此不能找到這樣的三位數。

超越篇

1.桌上放有5枚硬幣。第一次翻動其中1枚，第二次翻動其中2枚，第三次翻動其中3枚，

第四次翻動其中4枚，第五次翻動其中5枚。能否找到一種翻動硬幣的方法，使得最后所有

的硬幣都翻過來？如果桌上放有6枚硬幣，按類似的方法翻動六次，能否找到一種翻動硬幣

的方法，使得最后所有的硬幣都翻過來？

［分析］（1）可以，如圖：OOOOOf［?］OOOOf

fO［OOOO］一［?????］（白色代表正面，黑色代表背面，中括號中的部分表示對這

些硬幣進行了翻動）。

（2）不可以。全翻過來需要對每一枚硬幣翻動奇數次，那么對全部6枚共需翻動偶數次。

而1+2+3+4+5+6=21共翻動了奇數次，因此不能把所有的硬幣都翻過來。

2.甲、乙、丙、丁四個人，每個人都有一條消息。他們之間通過電話傳遞消息：當甲與乙兩

個人通話時，甲把他當時所知道的一切信息全部告訴乙，乙也把自己所知道的全部信息告訴

甲。請你設計一種方案，使得只需打電話4次，就可以使得每個人都知道其他所有人的信息。

［分析］（1）甲、乙；（2）丙、丁；（3）甲、丙；（4）乙、丁。

3.天平稱物體的原理是：在天平的左右兩個托盤中放入物品和祛碼，當天平平衡時，我們可

以根據祛碼的重量來知道物品的重量.

（1）在某一類天平中，物品只能放在左邊的托盤中，祛碼只能放在天平右端的托盤中。至

少需要準備多少個祛碼，才能保證一次稱出1至20克之間的任意整數克的物品？

（2）在某一類天平中，祛碼可以放在天平兩端的托盤中，物品也可以放在兩邊的托盤中，

那么至少需要準備多少個祛碼，才能保證一次稱出1至32克之間的任意整數克的物品？

［分析］（1）可用1g、2g、4g、8g、16g五個祛碼稱出。

20=(10100)2是個5位2進制數。1=(1),,2=(10)2,4=(100),,8=(1000)2,16=(10000)2O

在實際稱重時，2進制數中的每一位代表有沒有對應祛碼。于是，用1g、2g、4g、8g、16g

五個祛碼可以稱出1?20g(實際可到31g)的所有物品。(可以將16g的祛碼換成476g的

任意整數克祛碼)

(2)可用lg、3g、9g、27g四個祛碼稱出。

受上一問的啟發，可以考慮用3進制的方法。1"1)3,3=(10)3,9=(100)3,27=(1000)3。

若規定物品在左邊，根據每個祛碼在左邊、不存在、在右邊，分別表示為3進制中的一1,0,

1?于是我們定義一種新的3進制表述方法。每個3進制中的“2”，我們進1位，變為“1(一

1)”。那么對于32=(1012)「我們可以寫為：32=［ll(-l)(-l)］r意為：27g祛碼(右)+

9g祛碼(右)一3g祛碼(左)一1g祛碼(左)。于是，用1g、3g、9g、27g四個祛碼可以

稱出1?32g(實際可到40g)的所有物品。

4.如圖16-9所示，18個孩子站在24個方格中，每格最多站1人。要使得每行每列站的孩子

數都是偶數。請在圖中標出這些孩子的站法(只需給出一種站法即可).

圖16-9

［分析］我們只要找出6個不站人的位置即可。圖中給出了一種站法，X表示不站人，答案

不唯一。

5.如圖16-10所示，有3個3x3的方格表，每個都已經填入了9個整數。如果將表中同一行

或同一列的3個數加上相同的整數稱為一次操作。問：

(1)下表三個方格表中，是否有某個方格表能通過若干次操作使得表中9個表都變為相同

的數？若有請指出是哪個或哪個或哪些表格，若沒有則說明理由；

(2)是否有某些方格表能夠通過若干次操作變得完全一樣？若有請指出是哪個或哪些表格,

圖16-10

［分析］我們把同一行的數字都加1，稱為一次橫變換；用4("eN*,a“eZ)表示對第n行

進行橫變換的次數。

把同一列的數字都加1,稱為一次縱變換；用d("eN+,〃eZ)表示對第n列進行縱變

換的次數。

(1)我們可以知道，對方陣的橫縱變換有如下性質：同一行的數，進行橫變換的次數

相同；同一列的數，進行縱變換的次數相同。

I.對于第一個方陣，如果我們能經過變換，使各個數字相同，則有，對于"|j

1+4+偽=9+%+4—q—q=8

2+q+a=8+4+打=>4一％=6

矛盾。即無法通過變換，將放個表內各數變為相同數。

47

II.對于第二個方格表，取------，同樣可證無法辦到。

89

III.對于第三個方格表,同樣可證無法辦到。

(2)如方格表之間經過變換可以互化，則，他們之間做差所得的新方格表可以經過變換使

得表中各位相同。

300a-3-50205

I.因205q-5、205可以互化。

%=lb=-5，

ESa2H2M

A12a1-14205JLJL

-8-220610

□aH±其中可找到陽不可

II.-4044=8048

sAsa2=4

Eaa0s224224

其中可找到不可變

6.(1)能否將1、2、3、4、5圍成一個圓圈，使得相鄰兩個數的差都是2或者3?

(2)能否將1、2、3、4、5、6、7圍成一個圓圈，使得相鄰兩個數的差都是2或者3?

［分析］(1)能，例如按1,4,2,5,3排成一圈。

(2)不能