5.1.1變化率問題（2）第五章一元函數的導數及其應用2024/1/10高二數學備課組引

入平均速度瞬時速度2.求物體在時刻t0的瞬時速度一般步驟：平均變化率瞬時變化率1.物體運動的瞬時速度的本質是平均速度的極限.無限逼近取極限無限逼近取極限3.數學思想、方法：特殊到一般、極限思想幾何意義？探究新知問題1：

如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與這個圓相切.對于一般的曲線C，如何定義它的切線呢?

追問1：如果一條直線與一條曲線只有一個公共點，那么這條直線與這條曲線一定相切嗎？追問2：如果一條直線與一條曲線相切，那么它們一定只有一個公共點嗎？不一定因此，我們不能像研究直線和圓的位置關系那樣，通過交點的個數來定義相切了.不一定xyOf(x)＝sinx－11探究新知探究你認為應該如何確定拋物線f(x)=x2在點P0(1,1)處的切線?

下面我們以拋物線f(x)=x2為例進行研究.問題2

拋物線的切線的斜率追問3：斜率是確定直線的一個要素，如何求拋物線f(x)=x2在點P0(1,1)處的切線的斜率呢？幾何意義：函數圖象上過點

(1,h(1))和點(1+Δt,h(1+Δt))的直線斜率類比上節課的研究思路，例如研究運動員在t=1s的瞬時速度幾何意義是什么？探究新知我們發現，當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為拋物線f(x)=x2在點P0(1,1)處的切線.T觀察如圖，在點P0(1,1)的附近任取一點P(x，x2)，當點P沿著拋物線f(x)=x2趨近于點P0(1,1)時，割線P0P有什么變化趨勢?1.切線：探究新知

追問3：如何求拋物線f(x)=x2在點P0(1,1)處的切線P0T的斜率k0呢?由切線定義知，xy121234OP?P0?T?割線P0P的斜率為切線P0T的斜率與割線P0P的斜率有內在聯系.記?x＝x－1，P(1+?x,(1+?x)2)，割線位置切線位置無限逼近割線斜率切線斜率無限逼近取極限注：?x可以是正值，也可以是負值，但不為0.讓橫坐標變化量Δx趨近于0，觀察割線斜率的變化情況.探究新知?x<0?x>0?x?x

通過觀察可得，當?x無限趨近于0，即無論x從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，割線P0P的斜率k近都無限趨近于2.

我們可以用割線P0P的斜率k近似地表示切線P0T的斜率k0，并且可以通過不斷縮短橫坐標間隔|?x|來提高近似表示的精確度，得到如下表格：探究新知當點P無限靠近點P0，即?x無限趨近于0時，割線P0P無限趨近于切線P0T，因此切線P0T的斜率為?x無限趨近于0無限趨近于2

記為2.切線的斜率：探究新知xyO121234P0記點P橫坐標為

x=2+Δx，則點P的坐標為

(2+Δx,(2+Δx)2).故拋物線f(x)=x2在點P0(2,4)處的切線P0T的斜率為4.P問題2：你能用上述方法求拋物線f(x)=x2在點P0(2,4)處的切線P0T的斜率嗎？于是割線P0P的斜率探究新知xyO121234P0記點P的橫坐標x=

x0+Δx，則點P的坐標即為

(x0+Δx,(x0+Δx)2).于是割線P0P的斜率故拋物線f(x)=x2在點P0(x0,x02)處的切線P0T的斜率為2x0.問題3：一般地，如何求拋物線f(x)=x2在點P0(x0,x02)處的切線P0T的斜率呢？P切線斜率的本質是瞬時變化率例題講解例1求拋物線f(x)=x2+2x在點P

(1,3)處切線的斜率.變式求拋物線f(x)=x2+2x在點P

(1,3)處的切線方程.例題講解例2求拋物線f(x)=2x2+4x在點(3,30)處的切線方程.Δy＝f(3＋Δx)－f(3)=2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)

＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx

＝2(Δx)2＋16Δx解：在點(3,30)附近任取一點(3＋Δx，f(3＋Δx))，則探究新知方法歸納：求在某點處的切線方程3.切線方程課堂練習課堂練習2.求拋物線f(x)=x2+1在點(0,1)處的切線方程.課堂練習1.你認為應該怎樣定義拋物線f(x)=x2在點(x0,x02)處的切線?試求拋物線f(x)=x2在點(－1,1)處切線的斜率.探究新知

思考觀察問題1中的函數的圖象，平均速度的幾何意義是什么?瞬時速度v(1)呢?th1O?(1,h(1))?(1+?t,h(1+?t))課堂練習課堂練習作業：教材P70頁習題第7題.1.求拋物線y＝x2－1在點A(2,3)處切線的斜率．2.求