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文檔簡介
三集合與集合的關系【考綱解讀】理解子集和真子集的定義;掌握子集,真子集的性質及其表示的基本方法,了解子集與真子集之間的聯系和區別;理解集合相等的定義,掌握集合相等的性質及其表示的基本方法,能夠運用子集,真子集和集合相等的性質解答相關的數學問題。【知識精講】一、集合與集合的包含關系:1、子集:(1)子集的定義:設A、B是兩個非空集合,如果對任意的xA,都有xB,那么稱集合A是集合B的子集;也可以說成集合A包含于集合B(或集合B包含集合A);(2)子集的表示:用符號“”表示子集,讀作“包含于”,用符號“”表示不是子集,讀作“不包含于”;規定:空集是任何集合的子集,即對任意的集合A,都有A;(3)子集的性質:①空集是任何集合的子集(即對任意的集合A,都有A);②子集具有傳遞性(即若AB,BC,則AC);③若AB,則AB=A;④含有n個元素的有限集合的子集個數為個。2、真子集:(1)真子集的定義:設A、B是兩個非空集合,如果對任意的xA,都有xB,且存在B,但A,那么稱集合A是集合B的真子集;也可以說成集合A真包含于集合B(或集合B真包含集合A);(2)真子集的表示:用符號“”表示真子集,讀作“真包含于”,用符號“”表示不是真子集,讀作“不真包含于”;(3)真子集的性質:①空集是任何非空集合的真子集(即對任意的非空集合A,都有A);②真子集具有傳遞性(即若AB,BC,則AC);③含有n個元素的有限集合的真子集個數為(-1)個。(4)真子集與子集的關系:①真子集一定是子集;②子集不一定是真子集。二、集合與集合的相等關系:1、集合與集合相等的定義:如果集合A、B滿足:AB,且BA,則稱集合A與集合B相等;2、集合與集合相等的表示:用符號“=”表示集合與集合的相等關系,例如集合A與集合B相等可表示為A=B。【探導考點】考點1集合與集合的包含關系:熱點①給出集合A,B,判斷集合A,B的包含關系;熱點②給定集合A,全集U,且BU,AB,求滿足條件的集合B的個數;熱點③給出集合A,B,已知AB,求集合B中參數的值(或取值范圍);考點2集合與集合的相等關系:熱點①給出集合A,B,判斷集合A,B的相等關系;熱點②給出集合A,B,已知A=B,求集合A,B中參數的值(或取值范圍)。【典例解析】【典例1】解答下列問題:1、在下列各式中錯誤的個數是()①1∈{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}{0,1,2};④{0,1,2}={2,0,1}.A1B2C3D02、已知集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四邊形},那么A,B,C之間的關系是()BAABCBBACCABCDA=BCBA3、若集合A={-1,0},B={0,1,x+2}集合A,BA的關系如圖所示,則實數x的值為;已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,yN},則A的所有子集個數為;5、設集合P是大于1且小于6的所有質數組成的集合,則集合P的子集的個數是()A8個B7個C6個D4個6、已知集合M={(x,y)|3x+4y-12<0,x,y},則集合M的真子集的個數是()A8個B7個C6個D4個已知集合A={x|1≤x<5},集合C={x|-a<x≤a+3},若CA,則a的取值范圍為()A-<a≤-1Ba≤-Ca≤-1Da>-8、集合M={x|x=3k-2,kZ},P={y|y=3n+1,,nZ},S={z|z=6m+1,,mZ}之間的關系是()ASPMBS=PMCSP=MDP=MS9、已知集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},則M,P的關系是;設A={x|-3x+2=0},B={x|x+2>a},如果AB,求實數a的取值范圍; 11、已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|-<x≤2}.(1)若AB,求實數a的取值范圍;(2)若BA,求實數a的取值范圍;(3)A,B能否相等?若能求出實數a的值;若不能說明理由。12、已知集合A={x|a-3x+2=0,aR}. (1)若A是空集,求實數a的取值范圍;(2)若A中只有一個元素,求a的值,并把這個元素求出來;(3)若A中至多有一個元素,求實數a的取值范圍。『思考問題1』(1)【典例1】是集合與集合包含關系的問題,解答這類問題需要理解子集,真子集的定義,掌握子集,真子集的性質;(2)集合與集合的包含關系包括:①子集;②真子集;解答問題時需要注意子集與真子集之間的關系;(3)注意空集的特殊性,在具體問題中,如果沒有說明集合非空,則應該考慮空集的可能性,尤其是問題中涉及到AB時,一定要注意分A=和A兩種情況來考慮;(4)對含有參變量的集合問題,應該對參變量的可能取值進行分類討論,同時還應注意分類標準的確定,作到分類合理,不重復不遺漏。〔練習1〕解答下列問題:1、設集合P是大于1且小于8的所有奇數組成的集合,則集合P的子集的個數是()A8個B7個C6個D4個2、已知集合M={(x,y)|3x+4y-12<0,x,y},則集合M的真子集的個數是()A8個B7個C6個D4個3、集合A={1,3,x},B={1,},且BA,則滿足條件的實數x的個數為()A1B2C3D44、已知集合A={x|-x-2<0},B={x|-1<x<1},則()AABBBACA=BDA∩B=5、設A={x|-4x+3=0},B={x|x+2>a},如果AB,求實數a的取值范圍;6、設A={x|-1<x<3},B={x||x|>a},如果AB,求實數a的取值范圍.【典例2】解答下列問題:1、若集合A={-1,4},集合B={x|-3x-4=0},則集合A,B的關系是。2、已知集合A={a+2,(a+1),+3a+3},B={0},若A=B,則實數a的值是()A0B1C2D33、設集合A={x,y},B={0,},若A=B,則實數x=,y=;4、已知集合A={a,,1},B={,a+b,0}.若A=B,求:的值。『思考問題2』【典例2】是集合與集合相等的問題,解答這類問題需要理解集合相等的定義,掌握集合相等的性質;對含有參變量的集合相等問題,應該對參變量的可能取值進行分類討論,注意參數分類討論的原則和基本方法。〔練習2〕解答下列問題:若集合A={2,3},集合B={x|-5x+6=0},則集合A,B的關系是。2、設集合A={2,x,y},集合B={2x,,2},若A=B,求實數x,y的值。3、設A={7,0,-2a+2},B={a-3,-2a+4,5},如果A=B,求實數a的值。【典例3】解答下列問題:1、下列集合為空集的是()A{x|+3=3}B{(x,y)|y=-,x,yR}C{x|-0}D{x|-x+1=0,xR} 2、下列說法:①空集沒有子集;②任何集合至少有兩個子集;③空集是任何集合的真子集;④若A,則A。其中正確的有()A0個B1個C2個D3個已知{x|-x+a=0},則實數a的取值范圍是。『思考問題3』(1)【典例3】是與空集相關的問題,解答這類問題需要理解空集的定義,分辨清楚空集和數0之間的關系;(2)空集是指沒有元素的集合,它雖然沒有元素,但它是一個集合,它的子集只有一個就是它本身,由此可以得出以空集為真子集的集合一定不是空集。〔練習3〕按要求解答下列各題:1、下列集合為空集的是()A{x|+1=1}B{(x,y)|y=,x,yR}C{x|-|x|0}D{x|-x+2=0,xR})已知{x|-ax+1=0},則實數a的取值范圍是。【雷區警示】【典例4】解答下列問題:1、已知集合A={x|-2x-8=0},B={x|ax=1},若BA,則滿足條件的實數a的值是。2、已知集合A={a,,1},B={,a+b,0}.若A=B,求:的值。『思考問題4』【典例4】是解答集合與集合關系問題時,容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括:①求解集合與集合包含關系問題時,忽視空集是任何集合的子集,導致解答問題出現錯誤;②求解集合相等問題時,忽視集合元素的基本性質,導致解答問題出現錯誤;解答集合與集合關系問題時,為避免求解集合與集合包含關系問題時,忽視空集是任何集合子集的雷區,對問題中含有參數的集合需要從集合是空集和集合不是空集兩種情況分別求解,避免漏解的情況發生;解答集合與集合關系問題時,為避免求解集合相等問題時,忽視集合元素基本性質的雷區,需要理解并掌握集合元素的基本性質,尤其注意集合元素的互異性。〔練習4〕解答下列問題:1、已知集合A={xR|a-3x+2=0},B={1},若AB,則實數a的取值范圍是。2、設a,bR,集合A={1,a+b,a},集合B={0,,b},若A=B,則b-a=。【追蹤考試】【典例5】解答下列問題:設集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若AB,則a=()(2023全國高考新高考II)A2B1CD-12、已知集合A={0,z},B={0,2,4},若AB,則實數z的值為()(成都市2020高三三診)A0或2B0或4C2或4D0或2或43、(理)設集合A={x|-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a=()A-4B-2C2D4(文)已知集合A={x|-3x-4<0},B={-4,1,3,5},則A∩B=()A{-4,1}B{1,5}C{3,5}D{1,3}4、已知集合A={x|-2x>0},B={x|-<x<},則()AA∩B=BA∪B=RCABDBA『思考問題5』(1)【典例5】是近幾年高考(或高三診斷考試或高一上期期末調研考試)試卷中關于集合與集合關系的問題,歸結起來主要包括:①判斷集合與集合關系;②已知集合與集合的關系,求滿足一定條件集合的個數;③已知集合與集合的關系,求集合中參數的值(或取值范圍)等幾種類型;(2)解答問題的基本方法是:①判斷問題屬于哪一種類型;②根據該種類型問題的解題思路和解答方法對問題實施解答;③得出問題的解答結果。〔練習5〕解答下列問題:1、已知集合A={x|x是平行四邊形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},則()AABBCBCDCDAD2、已知集合A={x|-x-2<0},B={x|-1<x<1},則()AABBBACA=BDA∩B=3、已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,則P的子集共有()A2個B4個C6個D8個三集合與集合的關系【考綱解讀】理解子集和真子集的定義;掌握子集,真子集的性質及其表示的基本方法,了解子集與真子集之間的聯系和區別;理解集合相等的定義,掌握集合相等的性質及其表示的基本方法,能夠運用子集,真子集和集合相等的性質解答相關的數學問題。【知識精講】一、集合與集合的包含關系:1、子集:(1)子集的定義:設A、B是兩個非空集合,如果對任意的xA,都有xB,那么稱集合A是集合B的子集;也可以說成集合A包含于集合B,或集合B包含集合A;(2)子集的表示:用符號“”表示子集,讀作包含于,用符號“”表示不是子集,讀作不包含于;規定:空集是任何集合的子集,即對任意的集合A,都有A;(3)子集的性質:子集有如下性質:①空集是任何集合的子集(即對任意的集合A,都有A);②子集具有傳遞性(即若AB,BC,則AC);③若AB,則AB=A;④含有n個元素的有限集合的子集個數為個。2、真子集:(1)真子集的定義:設A、B是兩個非空集合,如果對任意的xA,都有xB,且存在B,但A,那么稱集合A是集合B的真子集;也可以說成集合A真包含于集合B,或集合B真包含集合A;(2)真子集的表示:用符號“”表示真子集,讀作真包含于,用符號“”表示不是真子集,讀作不真包含于;(3)真子集的性質:真子集具有如下性質:①空集是任何非空集合的真子集(即對任意的非空集合A,都有A);②真子集具有傳遞性(即若AB,BC,則AC);③含有n個元素的有限集合的真子集個數為(-1)個。(4)真子集與子集的關系:①真子集一定是子集;②子集不一定是真子集。二、集合與集合的相等關系:1、集合與集合相等的定義:如果集合A、B滿足:AB,且BA,則稱集合A與集合B相等;2、集合與集合相等的表示:用符號“=”表示集合與集合的相等關系,例如集合A與集合B相等可表示為A=B。【探導考點】考點1集合與集合的包含關系:熱點①給出集合A,B,判斷集合A,B的包含關系;熱點②給定集合A,全集U,且BU,AB,求滿足條件的集合B的個數;熱點③給出集合A,B,已知AB,求集合B中參數的值(或取值范圍);考點2集合與集合的相等關系:熱點①給出集合A,B,判斷集合A,B的相等關系;熱點②給出集合A,B,已知A=B,求集合A,B中參數的值(或取值范圍)。【典例解析】【典例1】解答下列問題:1、在下列各式中錯誤的個數是()①1∈{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}{0,1,2};④{0,1,2}={2,0,1}.A1B2C3D0【解析】【知識點】①元素與集合的關系;②集合與集合的關系。【解題思路】根據元素與集合的關系,集合與集合的關系,結合問題條件對各式的正確與錯誤進行判斷就可得出選項。【詳細解答】由元素與集合的關系,集合與集合的關系可知,①正確,②錯誤,③錯誤,④正確;B正確,選B。2、已知集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四邊形},那么A,B,C之間的關系是()AABCBBACCABCDA=BC【解析】【知識點】①集合與集合的關系;②平行四邊形,菱形,正方形之間的關系。【解題思路】根據平行四邊形,菱形,正方形之間的關系,確定出集合A,B,C之間的關系就可得出選項。B【詳細解答】集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四邊形},BAC,B正確,選B。B3、若集合A={-1,0},B={0,1,x+2}集合A,BA的關系如圖所示,則實數x的值為;A【解析】【知識點】①元素與集合的關系;②集合與集合的關系。【解題思路】由圖可知AB,-1B,x+2=-1,x=-3。【詳細解答】由圖可知AB,-1B,x+2=-1,x=-3。4、已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,yN},則A的所有子集個數為;【解析】【知識點】①集合的表示的基本方法;②子集的定義與性質。【解題思路】根據集合表示的基本方法和子集的性質,結合問題條件確定出集合A的元素,出而求出集合A子集的個數。【詳細解答】A={(x,y)|x+y=2,x,yN}A={(0,2),(1,1),(2,0)},集合A的子集個數為8。5、設集合P是大于1且小于6的所有質數組成的集合,則集合P的子集的個數是()A8個B7個C6個D4個【解析】【知識點】①質數定義與性質;②子集定義與性質。【解題思路】根據質數和子集的性質,結合問題條件確定出集合P的元素,出而求出集合P子集的個數就可得出選項。【詳細解答】集合P是大于1且小于6的所有質數組成的集合,P={2,3,5},集合P的子集個數為8個,A正確,選A。6、已知集合M={(x,y)|3x+4y-12<0,x,y},則集合M的真子集的個數是()A8個B7個C6個D4個【解析】【知識點】①集合表示的基本方法;②真子集的定義與性質。【解題思路】根據集合表示的基本方法和真子集的性質,結合問題條件確定出集合M的元素,出而求出集合M真子集的個數就可得出選項。【詳細解答】集合M={(x,y)|3x+4y-12<0,x,y},集合M的元素是平面直角坐標系內的點,點的坐標由3x+4y-12<0,x,y確定,M={(1,1),(1,2),(2,1)},集合A的真子集個數為7,B正確,選B。7、已知集合A={x|1≤x<5},集合C={x|-a<x≤a+3},若CA,則a的取值范圍為()A-<a≤-1Ba≤-Ca≤-1Da>-【解析】【知識點】①集合表示的基本方法;②子集的定義與性質;③求解不等式組的基本方法。【解題思路】根據集合表示的基本方法和子集的性質,結合問題條件得到關于a的不等式組,運用求解不等式組的基本方法,求解不等式組求出a的取值范圍就可得出選項。【詳細解答】集合A={x|1≤x<5},集合C={x|-a<x≤a+3},若CA,1≤-a①,a+3<5②,-a<a+3③,聯立①②③解得:-<a≤-1,A正確,選A。8、集合M={x|x=3k-2,kZ},P={y|y=3n+1,,nZ},S={z|z=6m+1,,mZ}之間的關系是()ASPMBS=PMCSP=MDP=MS【解析】【知識點】①集合表示的基本方法;②子集的定義與性質。【解題思路】根據集合表示的基本方法和子集的性質,結合問題條件確定出結合S,P,M的關系就可得出選項。【詳細解答】集合M={x|x=3k-2,kZ}={x|x=3k+1,kZ},,P={y|y=3n+1,,nZ},S={z|z=6m+1,,m∈Z}SP=M,C正確,選C。9、已知集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},則M,P的關系是;【解析】【知識點】①集合表示的基本方法;②子集定義與性質。【解題思路】根據集合表示的基本方法和子集的性質,結合問題條件就可確定出集合M,P的關系。【詳細解答】M={(x,y)|x+y<0,xy>0}={(x,y)|x<0,y<0},P={(x,y)|x<0,y<0}集合P=M。10、設A={x|-3x+2=0},B={x|x+2>a},如果AB,求實數a的取值范圍; 【解析】【知識點】①集合表示的基本方法;②子集定義與性質;③求解一元二次方程的基本方法;④求解一元一次不等式的基本方法。【解題思路】根據集合表示的基本方法和子集的性質,結合問題條件得到關于a的不等式,求解不等式就可求出實數a的取值范圍。【詳細解答】集合A={x|-3x+2=0}={1,2},B={x|x+2>a}={x|x>a-2},AB,a-2≤1,a≤3,實數a的取值范圍是(-,3]。11、已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|-<x≤2}.(1)若AB,求實數a的取值范圍;(2)若BA,求實數a的取值范圍;(3)A、B能否相等?若能求出實數a的值;若不能說明理由。【解析】【知識點】①集合表示的基本方法;②一元一次不等式定義與性質;③參數分類討論的原則與方法;④子集定義與性質。【解答思路】根據一元一次不等式的性質和參數分類討論的原則與基本方法,化簡集合A,結合問題條件得到關于參數a的不等式組(或方程),求解不等式組(或方程)就可求出實數a的取值范圍(或值)。【詳細解答】(1)①當a>0時,A={x|0<ax+1≤5}={x|-<x},B={x|-<x≤2},AB,--①,2②,a>0③,聯立①②③解得:a2;②當a=0時,A={x|0<ax+1≤5}=R,B={x|-<x≤2},顯然AB不成立;③當a<0時,A={x|0<ax+1≤5}={x|x<-},B={x|-<x≤2},AB,-①,-2②,a<0③,聯立①②③解得:a-8,綜上所述,當AB時,實數a的取值范圍是(-,-8][2,+);(2)①當a>0時,A={x|0<ax+1≤5}={x|-<x},B={x|-<x≤2},BA,--①,2②,a>0③,聯立①②③解得:0<a2;②當a=0時,A={x|0<ax+1≤5}=R,顯然BA不成立;③當a<0時,A={x|0<ax+1≤5}={x|x<-},B={x|-<x≤2},BA,<-①,-2②,a<0③,聯立①②③解得:-a<0,綜上所述,若BA,則實數a的取值范圍是[-,0)(0,2];(3)設A=B能成立,①當a>0時,A={x|0<ax+1≤5}={x|-<x},B={x|-<x≤2},A=B,-=-①,=2②,a>0③,聯立①②③解得:a=2;②當a=0時,A={x|0<ax+1≤5}=R,B={x|-<x≤2},顯然A=B不成立;③當a<0時,A={x|0<ax+1≤5}={x|x<-},B={x|-<x≤2},A=B,=-①,-=2②,a<0③,此時無解,綜上所述,存在實數a=2,使A=B成立。12、已知集合A={x|a-3x+2=0,aR}. (1)若A是空集,求實數a的取值范圍;(2)若A中只有一個元素,求a的值,并把這個元素求出來;(3)若A中至多有一個元素,求實數a的取值范圍。【解析】【知識點】①集合表示的基本方法;②一元二次方程根的判別式及運用;③空集定義與性質;=4\*GB3④參數分類討論的原則和基本方法。【解答思路】根據空集的性質,運用一元二次方程根的判別式,得到關于參數a的不等式(或方程),求解不等式(或方程)就可求出實數a的取值范圍(或值)。【詳細解答】(1)集合A是空集,方程a-3x+2=0,aR沒有實數根,①當a=0時,a-3x+2=0,-3x+2=0,x=與題意不符合;②當a0時,方程a-3x+2=0沒有實數根,=9-8a<0,a>,綜上所述,當集合A是空集時,實數a的取值范圍是(,+);(2)若集合A中只有一個元素,①當a=0時,a-3x+2=0,-3x+2=0,x=與題意符合;②當a0時,a-3x+2=0有兩個相等的實數根,=9-8a=0,a=,綜上所述,當集合A中只有一個元素時,實數a=0或a=;(3)當集合A中至多有一個元素時,由(1),(2)可知,實數a的取值范圍是[,+)或{0}。『思考問題1』(1)【典例1】是集合與集合的關系問題,解答這類問題需要理解子集,真子集,集合相等的定義,掌握子集,真子集的性質;(2)集合與集合的關系包括:①包含關系,包含關系中又涉及到子集和真子集兩種情況,注意子集與真子集之間的關系;②相等關系,兩個集合相等的充分必要條件是它們的元素完全一樣,解答相關問題時要特別注意這個充分必要條件,同時還要注意集合元素的互異性和無序性;(3)注意空集的特殊性,在具體問題中,如果沒有說明集合非空,則應該考慮空集的可能性,尤其是問題中涉及到AB時,一定要注意分A=和A兩種情況來考慮;(4)對含有參變量的集合問題,應該對參變量的可能取值進行分類討論,同時還應注意分類標準的確定,作到分類合理,不重復不遺漏。〔練習1〕解答下列問題:1、設集合P是大于1且小于8的所有奇數組成的集合,則集合P的子集的個數是()A8個B7個C6個D4個(答案:A)2、已知集合M={(x,y)|3x+4y-12<0,x,y},則集合M的真子集的個數是()A8個B7個C6個D4個(答案:B)3、集合A={1,3,x},B={1,},且BA,則滿足條件的實數x的個數為()A1B2C3D4(答案:C)4、已知集合A={x|-x-2<0},B={x|-1<x<1},則()(答案:B)AABBBACA=BDA∩B=5、設A={x|-4x+3=0},B={x|x+2>a},如果AB,求實數a的取值范圍;(答案:實數a的取值范圍是(-,3])6、設A={x|-1<x<3},B={x||x|>a},如果AB,求實數a的取值范圍.(答案:實數a的取值范圍是(-,0)[3,+))【典例2】解答下列問題:若集合A={-1,4},集合B={x|-3x-4=0},則集合A,B的關系是。【解析】【知識點】①集合相等定義與性質;②集合表示的基本方法。【解題思路】根據集合表示的基本方法和集合相等的性質,結合問題條件就可得出集合A,B的關系。【詳細解答】集合A={-1,4},集合B={x|-3x-4=0}={-1,4},A=B。2、已知集合A={3,(a+1),+3a+3},B={3,4,7},若A=B,則實數a的值是()A0B1C2D3【解析】【知識點】①集合相等定義與性質;②集合元素的定義與性質;③集合表示的基本方法。【解題思路】根據集合元素和集合相等的性質,運用表示集合的基本方法,結合問題條件得到關于a的方程組,求解方程組求出a的值就可得出選項。【詳細解答】A={3,(a+1),+3a+3},B={3,4,7},A=B,=4,且+3a+3=7,或=7,且+3a+3=4,解之得:a=1,B正確,選B。3、設集合A={x,y},B={0,},若A=B,則實數x=,y=;【解析】【知識點】①集合相等定義與性質;②集合元素定義與性質。【解題思路】根據集合相等和集合元素的性質,結合問題條件得到關于x,y的方程組,求解方程組就可求出x,y的值。【詳細解答】集合A={x,y},B={0,},A=B,=x,y=0,x=0或x=1,x0,x=1,y=0。4、已知集合A={a,,1},B={,a+b,0}.若A=B,求:的值。【解析】【知識點】①集合表示的基本方法;②集合相等定義與性質。【解題思路】根據集合表示的基本方法和集合相等的性質,結合問題條件求出a,b的值,就可求出的值。【詳細解答】集合A={a,,1},B={,a+b,0}.A=B,a0,=0,=1,a=1,b=0,當a=1時,與集合元素的互異性不符合,a=-1,b=0,即:=+=-1+0=-1。『思考問題2』【典例2】是集合與集合相等的問題,解答這類問題需要理解集合相等的定義,掌握集合相等的性質;對含有參變量的集合相等問題,應該對參變量的可能取值進行分類討論,注意參數分類討論的原則和基本方法。〔練習2〕解答下列問題:1、若集合A={2,3},集合B={x|-5x+6=0},則集合A,B的關系是。(答案:A=B)2、設集合A={2,x,y},集合B={2x,,2},若A=B,求實數x,y的值。(答案:x=0,y=1或x=,y=)3、設A={7,0,-2a+2},B={a-3,-2a+4,5},如果A=B,求實數a的值。(答案:a=3)【典例3】解答下列問題:1、下列集合為空集的是()A{x|+3=3}B{(x,y)|y=-,x,yR}C{x|-0}D{x|-x+1=0,xR} 【解析】【知識點】①空集的定義與性質;②集合表示的基本方法。【解題思路】根據集合表示的基本方法和空集的性質,結合問題條件對各選項是否是空集進行判斷就可得出選項。【詳細解答】對A,{x|+3=3}={0},A錯誤;對B,B{(x,y)|y=-,x,yR}表示拋物線y=-上的點,不可能是空集,B錯誤;對C,{x|-0}={0},C錯誤,對D,{x|-x+1=0,xR}=,D正確,選D。2、下列說法:①空集沒有子集;②任何集合至少有兩個子集;③空集是任何集合的真子集;④若A,則A。其中正確的有()A0個B1個C2個D3個【解析】【知識點】①空集定義與性質;②子集定義與性質;③真子集定義與性質。【解題思路】根據空集,子集和真子集性質,結合問題條件對各說法的正確與錯誤進行判斷就可得出選項。【詳細解答】空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集,①錯誤,②錯誤,③錯誤,④正確;B正確,選B。3、已知{x|-x+a=0},則實數a的取值范圍是。【解析】【知識點】①真子集定義與性質;②空集定義與性質;③集合表示的基本方法。【解題思路】根據空集和真子集的性質,運用集合表示的基本方法,結合問題條件得到關于a的不等式,求解不等式就可求出實數a的取值范圍。【詳細解答】{x|-x+a=0},{x|-x+a=0},=-4a0,a,若知{x|-x+a=0},則實數a的取值范圍是(-,]。『思考問題3』(1)【典例3】是與空集相關的問題,解答這類問題需要理解空集的定義,分辨清楚空集和數0之間的關系;(2)空集是指沒有元素的集合,它雖然沒有元素,但它是一個集合,它的子集只有一個就是它本身,由此可以得出以空集為真子集的集合一定不是空集。〔練習3〕解答下列問題:1、下列集合為空集的是()A{x|+1=1}B{(x,y)|y=,x,yR}C{x|-|x|0}D{x|-x+2=0,xR})(答案:D)已知{x|-ax+1=0},則實數a的取值范圍是。(答案:實數a的取值范圍是(-,-2][2,+))【雷區警示】【典例4】解答下列問題:已知集合A={x|-2x-8=0},B={x|ax=1},若BA,則滿足條件的實數a的值是。解析】【知識點】①集合表示的基本方法;②集合元素定義與性質;③參數分類討論原則和基本方法。【解題思路】根據集合表示的基本方法和集合元素的性質,運用參數分類討論原則和基本方法,結合問題條件就可求出滿足條件的實數a的值。【詳細解答】①當a=0時,集合A={x|-2x-8=0}={-2,4},B={x|ax=1}=,顯然與題意符合;②當a0時,集合A={x|-2x-8=0}={-2,4},B={x|ax=1}={},集合B中的元素都是集合A中的元素,=-2或=4,a=-,或a=,綜上所述,若集合B中的元素都是集合A中的元素,則滿足條件的實數a的值是0,--,。已知集合A={a,,1},B={,a+b,0}.若A=B,求:的值。【解析】【知識點】①集合表示的基本方法;②集合相等定義與性質。【解題思路】根據集合表示的基本方法和集合相等的性質,結合問題條件求出a,b的值,就可求出的值。【詳細解答】集合A={a,,1},B={,a+b,0}.A=B,a0,=0,=1,a=1,b=0,當a=1時,與集合元素的互異性不符合,a=-1,b=0,即:=+=-1+0=-1。『思考問題4』【典例4】是解答集合與集合關系問題時,容易觸碰的雷區。該類問題的雷區主要包括:①求解集合與集合包含關系問題時,忽視空集是任何集合的子集,導致解答問題出現錯誤;②求解集合相等問題時,忽視集合元素的基本性質,導致解答問題出現錯誤;解答集合與集合關系問題時,為避免求解集合與集合包含關系問題時,忽視空集是任何集合子集的雷區,對問題中含有參數的集合需要從集合是空集和集合不是空集兩種情況分別求解,避免漏解的情況發生;解答集合與集合關系問題時,為避免求解集合相等問題時,忽視集合元素基本性質的雷區,需要理解并掌握集合元素的基本性質,尤其注意集合元素的互異性。〔練習4〕解答下列問題:1、已知集合A={xR|a-3x+2=0},B={1},若AB,則實數a的取值范圍是。(答案:實數a的取值范圍是(-,-]{0})2、設a,bR,集合A={1,a+b,a},集合B={0,,b},若A=B,則b-a=。(答案:b-a=2)【追蹤考試】1、設集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若AB,則a=()(2023全國高考新高考II)A2B1CD-1【解析】【考點】①集合表示的基本方法;②子集定義與性質;③集合元素定義與性質;④元素與集合之間的關系及表示。【解題思路】根據集合表示的基本方法和集合元素與子集的性質,運用元素與集合的關系及表示,結合問題條件得到關于a的方程,求解方程求出a的值就可得出選項。【詳細解答】集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若AB,a-2=0,且-a=1,或2a-2=0,且-a=1,或a-2=0,且-a=2a-2,或2a-2=0,且-a=a
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