第三章圓錐曲線的方程3.2.1雙曲線及其標準方程定義圖像方程焦點a，b，c間的關系橢圓的標準方程|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)(-c,0)、(c,0)(0,-c)、(0,c)c2=a2-b2，a>c>0，a>b>0分母哪個大，焦點就在哪一根坐標軸上

做下面一個實驗．(1)取一條拉鏈，拉開一部分．(2)在拉開的兩邊各選擇一點，分別固定在點F1，F2上．(3)把筆尖放在M處，隨著拉鏈的拉開或閉攏，畫出一條曲線．試觀察這是一條什么樣的曲線？點M在運動過程中滿足什么幾何條件？復習引入1、橢圓的定義2、引入問題：平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數2a(2a>|F1F2|>0)的點的軌跡.平面內與兩定點F1、F2的距離的差等于常數的點的軌跡是什么呢？①如圖(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如圖(B)，上面兩條合起來叫做雙曲線由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a(差的絕對值)|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a①兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點；②|F1F2|=2c——焦距.(1)2a<2c；OF2F1M

平面內與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.(2)2a>0；雙曲線定義說明：

||MF1|-|MF2||=2a(3)沒有“絕對值”這個條件時，僅表示雙曲線的一支.常數等于|F1F2|、大于|F1F2|、等于0呢?探究①常數等于|F1F2|(2a=2c)時F2F1PMQM2a=|F1F2|時，M點一定在上圖中的射線F1P，F2Q上，此時點的軌跡為兩條射線F1P、F2Q。②常數大于|F1F2|(2a>2c)時2a>|F1F2|是不可能的，因為三角形兩邊之差小于第三邊。此時無軌跡。③常數等于0(2a=0)時∵若常數2a=||MF1|－|MF2||=0則|MF1|=|MF2|此時點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線。F1F2M隨堂練習F1F2MF1F2M1、試說明在下列條件下動點M的軌跡各是什么圖形？(F1、F2是兩定點,|F1F2|=2c(0<a<c))當|MF1|-|MF2|=2a時，點M的軌跡

；當|MF2|-|MF1|=2a時，點M的軌跡

；

若a=c，動點M的軌跡

；

若a>c，動點M的軌跡

.若a=0，動點M的是軌跡_______________________.因此，在應用定義時，首先要考查

.雙曲線的右支雙曲線的左支以F1、F2為端點的兩條射線不存在2a與2c的大小線段F1F2的垂直平分線F2F1MxOy求曲線方程的步驟：雙曲線的標準方程1、建系.以F1，F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系2、設點．設M(x，y)，則F1(-c，0)，F2(c，0)3、列式|MF1|-|MF2|=±2a4、化簡雙曲線的標準方程4、化簡?????此即為焦點在x軸上的雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程若建系時，焦點在y軸上呢?F2F1MxoyoMF2F1xyc最大，a與b不能比較大小且c2=a2+b2問題：如何判斷雙曲線的焦點在哪個軸上？(二次項系數為正，焦點在相應的軸上)隨堂練習2、寫出下列雙曲線的焦點坐標及aa=3F1(0，-5)，F2(0，5)，F1(-2，0)，F2(2，0)，橢圓與雙曲線之間的區別與聯系橢圓雙曲線定義方程焦點a，b，c的關系||MF1|－|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a

F(±c，0)F(±c，0)F(0，±c)F(0，±c)a>b>0，a2=b2+c2a>0，b>0，c2=a2+b2，但a不一定大于b隨堂練習3、下列方程各表示什么曲線？方程表示的曲線是雙曲線方程表示的曲線是雙曲線的右支方程表示的曲線是x軸上分別以F1和F2為端點，指向x軸的負半軸和正半軸的兩條射線。當2c>2a時，注意是雙曲線，還是其中一支。例題解析1、已知F1(-5，0)，F2(5，0)，動點P到F1、F2的距離之差的絕對值為6，求點P的軌跡方程.解：由雙曲線的定義知點P的軌跡是雙曲線.

∵雙曲線的焦點在x軸上，∴設它的標準方程為所求雙曲線的方程為：b2=c2-a2=25-9=16隨堂練習4、求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)a=3，b=4，焦點在x軸上；(2)，經過點A(2，5)，焦點在y軸上。解：(1)依題意a=3，b=4，焦點在x軸上，所以雙曲線方程為(2)因為焦點在y軸上，所以雙曲線方程可設為且點A(2，5)在雙曲線上，解得b2=16所以，所求雙曲線的方程為：例題解析2、求雙曲線的標準方程.(1)，經過點(-5，2)，焦點在x軸上(2)與雙曲線

有共同的焦點，過點(3)雙曲線經過兩點：所以雙曲線的方程為解：設雙曲線的方程為解得：a2=5，b2=1例題解析解：雙曲線

的焦點在x軸上，且依題意設所求雙曲線的方程為解得：a2=12，b2=8所求雙曲線的方程為2、求雙曲線的標準方程.(1)，經過點(-5，2)，焦點在x軸上(2)與雙曲線

有共同的焦點，過點(3)雙曲線經過兩點：例題解析解：設雙曲線的方程為依題意，得解得：m=-16，n=-9所求雙曲線的方程為2、求雙曲線的標準方程.(1)，經過點(-5，2)，焦點在x軸上(2)與雙曲線

有共同的焦點，過點(3)雙曲線經過兩點：雙曲線標準方程的兩種求法(1)定義法：根據雙曲線的定義得到相應的a，b，c，再寫出雙曲線的標準方程.(2)待定系數法：先設出雙曲線的標準方程(a，b均為正數)，然后根據條件求出待定的系數代入方程即可.待定系數法求雙曲線標準方程的步驟(1)定位：是指確定雙曲線焦點的位置，以確定方程的形式.(2)定量：是指確定a2，b2的數值，常由條件列方程組求解.提醒：若焦點的位置不明確，應注意分類討論，也可以設雙曲線方程為mx2+ny2=1的形式，注意標明條件mn<0例題解析3、已知A，B兩地相距800m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，且聲速為340m/s，求炮彈爆炸點的軌跡方程.使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合分析：由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s，可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m.因為|AB|>680m，所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上.解：如圖所示，建立直角坐標系xOy，設爆炸點P的坐標為(x，y)，則|PA|-|PB|=340×2=680，即2a=680，a=340xyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為∵|AB|=800∴2c=800，c=400∴b2=c2-a2=44400∵|PA|-|PB|=680>0所以點P的軌跡是雙曲線的右支，因此x≥340思考1：若在A，B兩地同時聽到炮彈爆炸聲，則炮彈爆炸點的軌跡是什么?答:

爆炸點的軌跡是線段AB的垂直平分線.思考2：根據兩個不同的觀測點測得同一炮彈爆炸聲的時間差，可以確定爆炸點在某條曲線上，但不能確定爆炸點的準確位置.而現實生活中為了安全，我們最關心的是炮彈爆炸點的準確位置，怎樣才能確定爆炸點的準確位置呢?答:再增設一個觀測點C，利用B、C(或A、C)兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置.這是雙曲線的一個重要應用，其實全球定位系統就是根據例2這個原理來定位的.隨堂練習5、如果方程

表示雙曲線，求m的取值范圍.m<-2或m>-1∴m的取值范圍為(-∞，-2)∪(-1，+∞)解：由(2+m)(m+1)>0，得：6、如果方程

表示焦點在y軸的雙曲線，則m的取值范圍.解：由(2+m)<0，(m+1)<0，得：m<-2∴m的取值范圍為(-∞，-2)例題解析3、如圖，點A、B的坐標分別是(-5，0)，(5，0)，直線AM，BM相交于點M，且它們斜率之積是，試求點M的軌跡方程，并由點M的軌跡方程，判斷軌跡的形狀。yxoBAM隨堂練習解:在△ABC中，|BC|=10，故頂點A的軌跡是以B、C為焦點的雙曲線的左支又因c=5，a=3，則b=4則頂點A的軌跡方程為7、已知在△ABC中，B(-5，0)，C(5，0)，點A運動時滿足

，求點A的軌跡方程.隨堂練習8、如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O外一定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當點P在圓O上運動時，點Q的軌跡是什么?為什么?隨堂練習9、設F1，F2是雙曲線

的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足∠F1PF2=90°，那么△F1PF2的面積是_______1隨堂練習10、已知雙曲線的一個焦點F1，過右焦點F2作垂于x軸的直線交雙曲線于點P，且∠PF1F2=30°，求此雙曲線的方程。隨堂練習11、已知動圓○P與圓F1：(x+5)2+y2=36內切，且過點F2(5，0)，求動圓圓心P的軌跡方程雙曲線定義及標準方程定義圖象方程焦點a，b，c的關系||MF1|-|MF2||=2a（0<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)F2F1MxOyOMF