第三章

邊際成本和收益的計算目

錄CONTENTS1邊際成本問題及解決方案2使用MathStudio討論邊際問題3進一步學習的數學知識：微分法MarginalcostproblemsandSolutionsUsingMathstudiotodiscussmarginalissuesFurthermathematicsknowledge:differentialmethod1邊際成本問題及解決方案MarginalcostproblemsandSolutions一、問題引入引例秋收季節，一農婦到田間拾麥穗，第一天能拾回10斤麥穗，以后每天拾到的麥穗會越來越少.假設每天都少拾回1斤麥穗，而農婦每天需要多消耗的麥穗為2斤，那么什么時候就不應該再去拾麥穗了？到第9天的時候，農婦拾回的麥穗數量為2斤，預計第10天時她拾回的麥穗數量為1斤，少于她多消耗的麥穗數量，所以第10天農婦就不應該去了.經濟學中，將1斤稱為農婦第10天拾麥穗的邊際收益.【問題分析】二、邊際成本問題及解決方案解例3.1我們以成本函數為例，考查產量第一步：求

（1）在處的變化率；（2）在處的變化率。二、邊際成本問題及解決方案第二步：求平均變化率第三步：求極限，當無限趨近0時，函數的值無限趨近，即所以，成本函數在處的變化率為同理，成本函數在處的變化率為三、導數的定義及經濟意義

自變量：

函數值：

1.導數的定義（1）求增量:（2）算比值：（3）取極限：例3.2

設函數

，求.解三、導數的定義及經濟意義1.導數的定義如果函數y=f(x)

在開區間I內的每點處都可導，就稱函數f(x)

在開區間I內可導。對于任一??∈??，都對應著??(??)的一個確定的導數值。這個函數就叫做原來函數??(??)的導函數

。三、導數的定義及經濟意義1.導數的定義(1)求增量:(2)算比值：

(3)取極限：例3.3

求常數函數

的導數.解三、導數的定義及經濟意義三、導數的定義及經濟意義(1)求增量:(2)算比值：

(3)取極限：例3.4

求函數

的導數

及在點

處的導數值即從而得解三、導數的定義及經濟意義三、導數的定義及經濟意義

定義3.3設生產某種產品的總成本函數為，當總成本函數可導時，其導數叫做產量為時的邊際成本。定義3.4經濟意義當產量為Q個單位產品時，再生產一個單位產品，總成本的增量為。2.導數的經濟意義三、導數的定義及經濟意義因為所以，產量為100件時的邊際成本為例3.5生產某產品件時的總成本函數為求產量為100件時的邊際成本。(百元/件)(百元/件)(元/件)（百元），解四、求導法則

函數的和、差求導法則函數的乘積求導法則函數的商求導法則特別地

導數的四則運算法則四、求導法則

設，求例3.6例3.7設

，求解解四、求導法則

設，求例3.8例3.9設，求解解四、求導法則例3.10設，求解2使用MathStudio討論邊際問題UsingMathstudiotodiscussmarginalissues一、使用MathStudio求導數求例3.11的導數第二步：回車，顯示求導結果為第一步：在指令區輸入D(x^2)，求的導數,默認為1階導數解二、邊際分析典型案例例3.12求成本函數以及產量Q分別為50、100、200時的邊際成本，指出其經濟意義.的邊際成本函數，解在指令區輸入D(0.001Q^3-0.3Q^2+40Q+2000)1.邊際成本問題二、邊際分析典型案例當產量為50、100、200時的邊際成本分別為經濟意義：在產量分別為50、100、200的基礎上再生產一個單位產品，總成本的增加分別為17.5、10、40.二、邊際分析典型案例經濟意義當銷量為個單位產品時，再銷售一個單位產品，總收益的增量為。設銷售某種產品

個單位時的總收益函數為。當總收益函數可導時，其導數叫做銷量為時的邊際收益.定義3.52.邊際收益問題二、邊際分析典型案例（1）邊際收益函數為（元／臺）（2）銷量為200臺時的邊際收益為（元／臺）例3.13銷售某商品Q臺的收入函數為（元），試求：（1）邊際收益函數；（2）銷量為200臺時的邊際收益。解二、邊際分析典型案例設某產品的收入函數為（元），試求：（1）邊際收入函數；（2）產量分別為9000、10000、11000臺時的邊際收入，并說明其經濟意義。（1）邊際收入函數為（元／臺）（2）（元）（元）（元）增加一個單位產品，收益增加20元增加一個單位產品，收益增加20元增加一個單位產品，收益減少20元例3.8解二、邊際分析典型案例經濟意義當銷量為個單位產品時，再銷售一個單位產品，總利潤的增量為。設銷售某種商品

個單位時的利潤函數為。當可導時，稱為銷售量為個單位時的邊際利潤定義3.6因于是可得即邊際利潤等于邊際收入與邊際成本之差3.邊際利潤問題二、邊際分析典型案例

邊際利潤函數為

再多生產1噸，總利潤將增加150元再多生產1噸，總利潤沒有變化再多生產1噸，總利潤就要減少50元生產決策者不能只盲目地追求產量，還需根據利潤的變化情況，確定適當的產量指標。例3.15解二、邊際分析典型案例蘋果價格下降的幅度為引例3.2由于增加了市場供應，近期的水果價格有所下調.張阿姨去超市買水果，發現蘋果的價格由原來的每千克9元下降到每千克7元，而香蕉的價格由原來的每千克8元下降到每千克6.5元，張阿姨算了一筆賬：香蕉價格下調的幅度為4.需求價格彈性分析二、邊際分析典型案例價格的相對改變量為需求量的相對改變量為調價前調價后單價需求量單價需求量10035095420需求量對價格的相對變化率為引例3.3某商店對某商品的價格進行了調整，由銷售記錄可以得到調價前后一周單價和需求量的有關數據(見下表).試分析該商品需求量對價格的靈敏度.二、邊際分析典型案例設函數，若極限存在，則稱此極限值為函數在點處的彈性，記作，即也稱為函數的

彈性函數

.定義3.7注意彈性的計算方法及含義:(1)函數彈性的計算公式為(2)函數的彈性反映了函數對自變量變化的靈敏度，它表示當自變量變化1%時，函數變化.二、邊際分析典型案例因為

例3.16所以時的彈性為解二、邊際分析典型案例設商品的需求量是價格的函數：(即需求函數)，則稱為商品的需求價格彈性，簡稱需求彈性.定義3.8(1)在當前的價格水平和需求量基礎上，如果商品的價格上漲（下跌）1%，需求量會下降（上升）(2)如果，需求量的下降幅度大于價格的上漲幅度，需求量對價格的靈敏度高，這時，我們稱該商品的需求富有彈性；如果，則稱該商品的需求缺乏彈性；如果，則稱該商品的需求具有單位彈性；如果，則稱該商品的需求完全沒有彈性；如果，則稱該商品的需求具有完全彈性.經濟意義二、邊際分析典型案例

例3.17解二、邊際分析典型案例(2)求??=5、10、15時的需求彈性,并說明其經濟意義表示商品的價格時，如果價格上漲1%，需求量會下降0.5%，此時該商品的需求缺乏彈性.表示商品的價格時，如果價格上漲1%，需求量會下降1%，此時該商品的需求具有單位彈性.表示商品的價格時，如果價格上漲1%，需求量會下降1.5%，此時該商品的需求富有彈性.3進一步學習的數學知識：微分法Mathematicalknowledgeforfurtherstudy:differentialmethod一、微分的定義設邊長為的正方形,當邊長增加很小的時,其面積近似地增加多少？設正方形的面積為,面積的增加部分為例3.17解一、微分的定義設函數在點處可導,則稱為函數在點處的微分,記作,即此時，也稱函數定義3.9在點處可微.如果函數在任意點處可導,則稱為函數在點處的微分,簡稱函數的微分,記作導數也稱微商一、微分的定義

求函數

的微分.例3.18（1）求導數（2）求微分

設函數，求當例3.19時，函數的微分和函數的改變量.當時表明當較小時，，這個結論具有一般性解解二、復合函數的導數與微分函數對中間變量的導數乘上中間變量對自變量的導數如果函數

在對應點處可導，則復合函數

定理3.2

推廣多變量二、復合函數的導數與微分函數由復合而成

設，求

.例3.20函數由復合而成

設，求

.例3.21解解二、復合函數的導數與微分

設，求

.例3.22

設，求.例3.23函數由復合而成解解二、復合函數的導數與微分

設，求.例3.24先用積的求導法則,得在計算時,用復合函數求導法則,于是解二、復合函數的導數與微分

設，求.例3.25先用商的求導法則,得在計算時,用復合函數求導法則,于是解二、復合函數的導數與微分

設，求.例3.26解二、復合函數的導數與微分

求函數的微分.例3.27計算函數的導數所以微分解三、隱函數及由參數方程所確定的函數的導數如是顯函數由方程確定的函數為隱函數設方程確定了關于的函數，并且可導，將方程兩邊同時對求導，并將看成的函數，便可得到隱函數的導數了.函數稱為顯函數，而方程所確定的函數稱為隱函數.1.隱函數的導數求由方程的導數.例3.28確定的函數方程兩邊對求導，得解出，可得函數的導數為解三、隱函數及由參數方程所確定的函數的導數1.隱函數的導數確定了與的關系，則稱函數為由上述參數方程所確定的函數.設為參數，如果參數方程三、隱函數及由參數方程所確定的函數的導數2.由參數方程所確定的函數的導數于是得到由參數方程所確定的函數的導數計算公式為如果函數都可導，且，又的反函數單調連續，則由參數方程所確定的函數可看成與復合而成的函數，根據復合函數的求導法則，有三、隱函數及由參數方程所確定的函數的導數2.由參數方程所確定的函數的導數由于，例3.29設參數方程，求確定了函數解三、隱函數及由參數方程所確定的函數的導數所以有如果函數的導數在處可導，則稱的導數為函數的二階導數，記作，或四、二階導數

求函數的二階導數.例3.30解四、二階導數

設函數，求.例3.31所以解五、二元函數的偏導數定義3.10二元函數在點所取得的函數值記為

設有三個變量和，如果當變量在一定范圍內任意取定一對數值時，變量按照一定的對應法則總有唯一確定的數值與它們對應，則稱是的二元函數。記作，其中稱為自變量，稱為因變量.自變量