第二章解析函數

◆第一節解析函數的概念

◆第二節函數解析的充要條件

◆第三節初等函數第一節解析函數的概念

一復變函數的導數與微分

二解析函數的概念

三本節小結一復變函數的導數與微分1.導數的定義:在定義中注意:解例1例2解2.可導與連續:

函數f(z)在z0處可導則在z0處一定連續,但函數f(z)在z0處連續不一定在z0處可導.證[證畢]例3解由上章知識易知，f(z)是連續的.解因此，連續不一定可導.3.求導法則:由于復變函數中導數的定義與一元實變函數中導數的定義在形式上完全一致,并且復變函數中的極限運算法則也和實變函數中一樣,因而實變函數中的求導法則都可以不加更改地推廣到復變函數中來,且證明方法也是相同的.求導公式與法則:4.微分的概念:復變函數微分的概念在形式上與一元實變函數的微分概念完全一致.定義特別地,二解析函數的概念1.解析函數的定義2.奇點的定義根據定義可知:函數在區域內解析與在區域內可導是等價的.但是,函數在一點處解析與在一點處可導是不等價的概念.即函數在一點處可導,不一定在該點處解析，若在一點解析則在這點一定可導.函數在一點處解析比在該點處可導的要求要高得多.解由本節例1和例3知:例4例5解例6解定理利用求導法則易得下面解析函數的性質.根據定理可知:(1)所有多項式在復平面內是處處解析的.三本節小結理解復變函數導數與微分以及解析函數的概念;掌握連續、可導、解析之間的關系:

解析一定可導，可導不一定解析；區域內解析與可導等價.重點掌握解析函數的概念;掌握可導、解析之間的關系；會利用導數公式和求導法則以及可導解析之間的關系判斷函數解析性的方法.第二節解析函數的充要條件

一主要定理

二典型例題

三本節小結

如果復變函數w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內處處可導，則函數

w=f(z)在D內解析。本節從函數u(x,y)及v(x,y)的可導性，探求函數w=f(z)的可導性，從而給出判別函數解析的一個充分必要條件，并給出解析函數的求導公式.問題如何判斷函數的解析性呢？一

主要定理記憶定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).定理1設f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內有定義，則

f(z)在點z=x+iy

∈D處可導的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在點(x,y)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程：上述條件滿足時,有證明（由f(z)的可導C-R方程滿足上面已證！只須證

f(z)的可導函數u(x,y)、v(x,y)可微）。則f(z+Δz)-f(z)=f

(z)Δz+

(Δz)Δz(1),且Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(

1+i

2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+

1Δx-

2Δy)+i(bΔx+aΔy+

2Δx+

1Δy)令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f

(z)=a+ib，

(Δz)=

1+i

2故（1）式可寫為因此Δu=aΔx-bΔy+

1Δx-

2Δy,Δv=bΔx+aΔy+

2Δx+

1Δy所以u(x,y)，v(x,y)在點(x,y)處可微.（由函數u(x,y),v(x,y)在點(x,y)處可微及滿足

C-R方程f(z)在點z=x+iy處可導）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點可微，即：使用時注意:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導數的連續性，

ii)驗證C-R條件.iii)導數公式：定理2

函數f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內可微，且滿足Cauchy-Riemann方程：由區域內解析與可導等價，可得如下定理.解析函數的判定方法:二典型例題例1判定下列函數在何處可導,在何處解析:不滿足柯西－黎曼方程,四個偏導數均連續指數函數四個偏導數均連續例2證解例3證例4解例5例6證證根據隱函數求導法則,例7根據柯西－黎曼方程得三本節小結在本課中我們得到了一個重要結論—函數解析的充要條件:掌握并能靈活應用柯西—黎曼方程.掌握判斷函數解析性的方法.Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料Riemann黎曼資料Born:17Sept1826inBreselenz,Hanover(nowGermany)

Died:20July1866inSelasca,Italy第三節初等函數

一指數函數

二對數函數

三乘冪與冪函數

四三角函數

五反三角函數

六本節小結

本節將實變函數中的一些常用的初等函數推廣到復變函數情形，研究這些初等函數的性質，并說明它的解析性。一指數函數1.指數函數定義說明（1）當y=0時，所以復指數函數是實指數函數的推廣；（2）當x=0時，即為歐拉公式.2.指數函數性質它與實變指數函數有類似的性質：（1）無零點性（3）可加性（4）周期性（5）無極限性不存在（因沿實軸正向、負向極限不同）例1例2例3求出下列復數的輻角主值:二對數函數1.對數的定義定義指數函數的反函數稱為對數函數。即，2.對數函數的性質說明例4例5三乘冪與冪函數1.乘冪的定義定義

—多值—一般為多值—q支

(1)當b=n(正整數)時乘冪ab與a的n次冪意義一致。

(2)當b=1/n(n正整數)時乘冪ab與a

的n次根意義一致。2.冪函數的定義定義①當b=n(正整數)w=zn在整個復平面上是單值解析函數除去b為正整數外，多值函數，當b為無理數或復數時，無窮多值。3.冪函數的解析性它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的,它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的,例6解例7解四三角函數1.三角函數的定義推廣到復變數情形.定義當z取實數時，此定義與通常的正弦函數一致.2.三角函數的性質（5）可定義其他復變三角函數例83.雙曲函數定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數五反三角函數1.反三角函數的定義兩端取對數得同樣可以定義反正弦函數和反正切函數,重復以上步驟,可以得到它們的表達式:六本節小結復變初等函數是一元實變初等函