一、模型建構：“動態圓”模型在電磁學中的應用1.“平移圓”模型適用條件及特點速度大小、方向一定，入射點不同但在同一直線上所有粒子做勻速圓周運動的半徑相同，若入射速度大小為v0，則半徑R＝eq\f(mv0,qB)，如圖所示軌跡圓圓心共線帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線上例1(多選)如圖1所示，等腰直角三角形區域分布有垂直紙面向里的勻強磁場，腰長AB＝2m，O為BC的中點，磁感應強度B＝0.25T，一群質量m＝1×10－7kg，電荷量q＝－2×10－3C的帶電粒子以速度v＝5×103m/s垂直于BO，從BO之間射入磁場區域，帶電粒子不計重力，則()圖1A.在AC邊界上有粒子射出的長度為(eq\r(2)－1)mB.C點有粒子射出C.在AB邊界上有粒子射出的長度為1mD.磁場中運動時間最長粒子從底邊距B點(eq\r(2)－1)m處入射答案ACD解析粒子在磁場中偏轉，根據洛倫茲力提供向心力，有qvB＝meq\f(v2,R)，粒子在磁場中運動的軌道半徑為R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(10－7×5×103,2×10－3×0.25)m＝1m，作出粒子在磁場中的運動軌跡圖，如圖所示。由圖可知，能從AC邊射出的粒子長度為eq\o(DE,\s\up6(－))＝eq\r(2)R－R＝(eq\r(2)－1)m，故A正確；粒子不可能到達C點，故B錯誤；由圖可知，在AB邊界上有粒子射出的長度為BF＝R＝1m，故C正確；磁場中運動時間最長粒子運動半個圓周，軌跡與AB、AC相切，由圖可知從底邊距B點(eq\r(2)－1)m處入射，故D正確。2.“放縮圓”模型適用條件及特點速度方向一定，大小不同粒子初速度方向一定，大小不同，在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化軌跡圓圓心共線帶正電粒子速度v越大，運動半徑也越大。運動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上應用方法以入射點P為定點，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件例2(2020·全國卷Ⅰ，18)一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖2中虛線所示，eq\o(ab,\s\up8(︵))為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為()圖2A.eq\f(7πm,6qB) B.eq\f(5πm,4qB) C.eq\f(4πm,3qB) D.eq\f(3πm,2qB)答案C解析帶電粒子在勻強磁場中運動，運動軌跡如圖所示，由洛倫茲力提供向心力有qvB＝meq\f(v2,r)，解得r＝eq\f(mv,qB)，運動時間t＝eq\f(θr,v)＝eq\f(θm,qB)，θ為帶電粒子在磁場中運動軌跡所對的圓心角，粒子在磁場中運動時間由軌跡所對圓心角決定。采用放縮法，粒子垂直ac射入磁場，則軌跡圓圓心必在直線ac上，將粒子的軌跡半徑從零開始逐漸放大，當r≤0.5R(R為eq\o(ab,\s\up8(︵))的半徑)和r≥1.5R時，粒子從ac、bd區域射出磁場，運動時間等于半個周期。當0.5R<r<1.5R時，粒子從弧ab上射出，軌跡半徑從0.5R逐漸增大，粒子射出位置從a點沿弧向右移動，軌跡所對圓心角從π逐漸增大，當半徑為R時，軌跡所對圓心角最大，再增大軌跡半徑，軌跡所對圓心角減小，因此軌跡半徑等于R時，所對圓心角最大，為θm＝π＋eq\f(π,3)＝eq\f(4π,3)，粒子最長運動時間為eq\f(4πm,3qB)，C正確。3.“旋轉圓”模型適用條件及特點速度大小一定，方向不同粒子源發射速度大小一定、方向不同，運動半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運動半徑為R＝eq\f(mv0,qB)。如圖所示軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P為圓心、半徑R＝eq\f(mv0,qB)的圓上應用方法將一半徑為R＝eq\f(mv0,qB)的圓以入射點為圓心進行旋轉，從而探索粒子的臨界條件例3(多選)(2023·山東德州高三期末)如圖3所示，足夠大的光屏與x軸平行，并且垂直于xOy平面，xOy平面還有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B，在坐標原點O有一粒子源，粒子源不停地向xOy平面內的各個方向發射帶負電的粒子，所有粒子的質量均為m，帶電荷量均為q，初速度大小均為v，粒子擊中光屏時會被光屏吸收，初速度在第一象限內與x軸成30°角的粒子恰好擊中光屏與y軸的交點M，不計粒子間的相互作用，以下說法正確的是()圖3A.M點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(mv,qB)))B.在磁場中運動時間最短的粒子的運動時間為eq\f(2πm,3qB)C.光屏上被擊中區域最右側的x坐標為eq\f(mv,qB)D.光屏上被擊中區域最左側的x坐標為－eq\f(mv,qB)答案BC解析如圖甲所示，洛倫茲力提供向心力，可得qvB＝eq\f(mv2,r)，解得r＝eq\f(mv,qB)，由題可知，該粒子偏轉角為120°，根據幾何關系OM＝2rsin60°＝eq\f(\r(3)mv,qB)，A錯誤；洛倫茲力提供向心力，可得qvB＝meq\f(2π,T)v，t＝eq\f(θ,2π)T，整理得t＝eq\f(θm,qB)，可知打在M點的粒子在磁場中運動時間最短，該粒子的偏轉角為120°，運動時間為eq\f(2πm,3qB)，B正確；分析得光屏上被擊中區域最右側如圖乙所示，根據幾何關系，x坐標為x右＝eq\r(（2r）2－（OM）2)＝r＝eq\f(mv,qB)，C正確；光屏上被擊中區域最左側時，由幾何關系可知最左側的x坐標為x左＝－eq\r(r2－（OM－r）2)＝－eq\r(2\r(3)－3)r＝－eq\r(2\r(3)－3)eq\f(mv,qB)，D錯誤。 甲乙二、科學思維：磁聚焦與磁發散1.帶電粒子的會聚如圖4甲所示，大量同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場區域，如果軌跡圓半徑與磁場圓半徑相等(R＝r)，則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點B點射出(會聚)。證明：四邊形OAO′B為菱形，必是平行四邊形，對邊平行，OB必平行于AO′(即豎直方向)，可知從A點發出的帶電粒子必然經過B點。2.帶電粒子的發散如圖4乙所示，有界圓形磁場的磁感應強度為B，圓心為O，有大量質量為m、電荷量為q的正粒子，從P點以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場，不計粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場半徑相等，則所有粒子射出磁場的方向平行(發散)。證明：所有粒子運動軌跡的圓心與有界圓圓心O、入射點、出射點的連線為菱形，也是平行四邊形，O1A、O2B、O3C均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)。圖4例4(多選)(2023·內蒙古自治區包頭市包鋼第一中學一模)如圖5所示，扇形區域AOB內存在有垂直平面向里的勻強磁場，OA和OB互相垂直是扇形的兩條半徑，一個帶電粒子從A點沿AO方向進入磁場，從B點離開，若該粒子以同樣的速度從C點平行于AO方向進入磁場，則()圖5A.粒子帶正電B.C點越靠近B點，粒子偏轉角度越大C.C點越遠離B點，粒子運動時間越短D.只要C點在AB之間，粒子仍然從B點離開磁場答案AD解析由題意，粒子從A點進入磁場從B點離開，由左手定則可以確定粒子帶正電，故A正確；由題意知當粒子從A點入射時，從B點離開磁場，則粒子做圓周運動的半徑等于磁場圓弧區域的半徑，根據磁聚焦的原理(一束平行的帶電粒子射向半徑與粒子做圓周運動的半徑相同的圓形磁場