專題04二次根式的核心知識點精講1.了解二次根式的概念及其有意義的條件．2．了解最簡二次根式的概念，并會把二次根式化成最簡二次根式．3．掌握二次根式（根號下僅限于數）加、減、乘、除、乘方運算法則，會用它們進行有管的簡單四則運算．【題型1：二次根式有意義的條件】【典例1】（2023?濟寧）若代數式有意義，則實數x的取值范圍是（）A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x≥0且x≠2【答案】D【解答】解：由題意得x≥0且x﹣2≠0，解得x≥0且x≠2，故選：D．1．（2023?金華）要使有意義，則x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2【答案】D【解答】解：由題意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，則x的值可以是2，故選：D．2．（2023?通遼）二次根式在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍在數軸上表示為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：二次根式在實數范圍內有意義，則1﹣x≥0，解得：x≤1，則實數x的取值范圍在數軸上表示為：．故選：C．3．（2023?湘西州）若二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是x≥5．【答案】x≥5．【解答】解：由二次根式在實數范圍內有意義可得：2x﹣10≥0，解得：x≥5；故答案為：x≥5．【題型2：二次根式的性質】【典例2】（2023?泰州）計算等于（）A．±2 B．2 C．4 D．【答案】B【解答】解：＝2．故選：B．1．（2021?蘇州）計算（）2的結果是（）A． B．3 C．2 D．9【答案】B【解答】解：（）2＝3．故選：B．2.（2023?青島）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：與無法合并，則A不符合題意；2﹣＝，則B不符合題意；×＝＝，則C符合題意；÷3＝＝，則D不符合題意；故選：C．3．（2021?婁底）2、5、m是某三角形三邊的長，則+等于（）A．2m﹣10 B．10﹣2m C．10 D．4【答案】D【解答】解：∵2、5、m是某三角形三邊的長，∴5﹣2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴+＝m﹣3+7﹣m＝4．故選：D．4．（2022?遂寧）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，化簡|a+1|﹣+＝2．【答案】2．【解答】解：由數軸可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|﹣+＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）＝a+1﹣b+1+b﹣a＝2，故答案為：2．【題型3：二次根式的運算】【典例3】（2023?金昌）計算：÷×2﹣6．【答案】6．【解答】解：原式＝3××2﹣6＝12﹣6＝6．1．（2023?聊城）計算：（﹣3）÷＝3．【答案】3．【解答】解：原式＝（4﹣3×）÷＝（4﹣）÷＝3÷＝3．故答案為：3．2．（2023?山西）計算：的結果為﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：原式＝（）2﹣（）2＝2﹣3＝﹣1．故答案為：﹣1．3．（2023?蘭州）計算：．【答案】．【解答】解：原式＝3﹣2＝．4．（2023?陜西）計算：．【答案】2﹣2．【解答】解：原式＝﹣3++1＝2﹣3+1＝2﹣2．1．（2023秋?福鼎市期中）下列各數不能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、∵＝＝，∴能與合并，故A不符合題意；B、∵＝2，∴不能與合并，故B符合題意；C、∵＝3，∴能與合并，故C不符合題意；D、∵＝4，∴能與合并，故D不符合題意；故選：B．2．（2023秋?云巖區校級期中）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、＝＝，被開方數含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；B、＝＝4，被開方數中含能開得盡方的因數，不是最簡二次根式，不符合題意；C、＝，被開方數含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；D、是最簡二次根式，符合題意；故選：D．3．（2022秋?泉州期末）若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3【答案】C【解答】解：∵二次根式有意義，∴3﹣x≥0，解得：x≤3．故選：C．4．（2023秋?龍泉驛區期中）下列運算中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、±＝±3，故A不符合題意；B、與﹣不能合并，故B不符合題意；C、2﹣＝，故C不符合題意；D、÷＝，故D符合題意；故選：D．5．（2023秋?錦江區校級期中）若a＞b＞0，則的結果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a【答案】A【解答】解：∵a＞b＞0，∴+＝|b|+|b﹣a|＝b+a﹣b＝a，故選：A．6．（2023春?河東區期中）把x根號外的因數移到根號內，結果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【答案】C【解答】解：由x可知x＜0，所以x＝﹣＝﹣，故選：C．7．（2023春?鐵嶺縣期末）計算：的結果是（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣【答案】B【解答】解：＝﹣＝2﹣2＝0，故選：B．8．（2023春?撫順月考）二次根式的計算結果是（）A． B． C．± D．【答案】B【解答】解：＝＝×＝3，故選：B．9．（2023春?西豐縣期中）已知a＝+2，b＝﹣2，則a﹣b的值是（）A．2 B．4 C．2+4 D．2﹣4【答案】B【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a﹣b＝+2﹣（﹣2）＝+2﹣+2＝4，故選：B．10．（2023春?工業園區期末）下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】D【解答】解：A、∵＝2，∴與不是同類二次根式，故A不符合題意；B、∵＝2，∴與不是同類二次根式，故B不符合題意；C、與不是同類二次根式，故C不符合題意；D、∵＝2，∴與是同類二次根式，故D符合題意；故選：D．11．（2023春?武昌區校級期中）若是整數，則滿足條件的最小正整數n的值為6．【答案】見試題解答內容【解答】解：＝2，∵是整數，∴滿足條件的最小正整數n＝6．故答案為：6．12．（2023春?固鎮縣月考）計算＝﹣．【答案】﹣．【解答】解：＝2﹣3＝﹣，故答案為：﹣．13．（2023春?高安市期中）化簡計算：＝2．【答案】2．【解答】解：＝（）2﹣12＝3﹣1＝2，故答案為：2．14．（2023秋?高新區校級期中）計算：（1）×；（2）．【答案】（1）﹣11；（2）5﹣4．【解答】解：（1）×＝﹣4×3＝﹣12＝﹣11；（2）＝4﹣5+4﹣4+2＝5﹣4．15．（2023秋?秦都區校級期中）計算：﹣×．【答案】4﹣+2．【解答】解：﹣×＝3﹣+2＝﹣+2＝4﹣+2．1．（2022秋?鼓樓區校級期末）實數a在數軸上的位置如圖所示，則化簡結果為（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．無法確定【答案】A【解答】解：∵由圖可知：4＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴原式＝+＝a﹣4+11﹣a＝7．故選：A．2．（2023春?新鄭市校級期末）若＝在實數范圍內成立，則x的取值范圍是（）A．x≥1 B．x≥4 C．1≤x≤4 D．x＞4【答案】D【解答】解：∵＝在實數范圍內成立，∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，∴x＞4．故選：D．3．（2023秋?西安校級月考）若x，y都是實數，且，則xy的值是（）A．0 B．4 C．2 D．不能確定【答案】B【解答】解：根據題意得，x﹣1≥0且1﹣x≥0，解得x≥1且x≤1，∴x＝1，∴y＝4，∴xy＝1×4＝4．故選：B．4．（2023?商水縣一模）我國南宋時期數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記，則其面積，這個公式也被稱為海倫一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，則此三角形面積的最大值為（）A． B． C． D．5【答案】C【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝2，∴5＝，∴a+b＝8，∴a＝8﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝當b＝4時，S有最大值為．故選：C．5．（2023秋?閔行區期中）計算：＝．【答案】．【解答】解：，＝＝＝＝＝，故答案為：．6．（2023春?科左中旗校級期末）觀察下列等式：第1個等式：a1＝＝﹣1，第2個等式：a2＝＝，第3個等式：a3＝＝2﹣，第4個等式：a4＝＝﹣2，…按上述規律，計算a1+a2+a3+…+an＝﹣1．【答案】見試題解答內容【解答】解：第1個等式：a1＝＝﹣1，第2個等式：a2＝＝，第3個等式：a3＝＝2﹣，第4個等式：a4＝＝﹣2，…a1+a2+a3+…+an＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1故答案為：﹣1．7．（2023春?中江縣月考）已知的值是7．【答案】7．【解答】解：∵m＝+1，n＝＝﹣1，∴m+n＝2，mn＝1，∴m2+mn+n2＝（m+n）2﹣mn＝（2）2﹣1＝7．故答案為：7．8．（2023春?禹州市期中）如圖，在數學課上，老師用5個完全相同的小長方形在無重疊的情況下拼成了一個大長方形，已知小長方形的長為，寬為，則這個大長方形的周長為22．【答案】22．【解答】解：∵大長方形的寬＝3+2＝5，大長方形的長＝3×2＝6，∴大長方形的周長＝（5+6）×2＝22，故答案為：22．9．（2023春?宿豫區期末）計算的結果為3．【答案】3．【解答】解：原式＝+＝+＝2+＝3．故答案為：3．10．（2023秋?雙流區校級期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分別求下列代數式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．【答案】（1）12；（2）1．【解答】解：（1）∵a＝3+，b＝3﹣，∴a+b＝3++3﹣＝6，a﹣b＝3+﹣3+＝2，ab＝（3）（3）＝7，則a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×＝12；（2）由（1）知a﹣b＝2，ab＝（3）（3）＝7，∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab，＝＝8﹣7＝1．11．（2023春?雙柏縣期中）閱讀下面問題：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）計算：+++…++．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）原式＝＝﹣；（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．12．（2023秋?二七區校級月考）閱讀材料：我們來看看完全平方公式在無理數化簡中的作用．問題提出：該如何化簡？建立模型：形如的化簡，只要我們找到兩個數a，b，使a+b＝m，ab＝n，這樣（）2+（）2＝m，?＝．那么便有：（a＞b），問題解決：化簡：，解：首先把化為，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型應用1：利用上述解決問題的方法化簡下列各式：（1）；（2）．模型應用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC邊的長為多少？（直接寫出結果，結果化成最簡）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）m＝6，n＝5．∵1+5＝6，1×5＝5，∴（）2+（）2＝6，×＝，∴＝＝1+．（2）∵＝．∴m＝13，n＝40，∵5+8＝13，5×8＝40，∴（）2+（）2＝13，×＝，∴＝＝＝2．（3）BC＝＝．∵＝，∴m＝16，n＝48，∵4+12＝16，4×12＝48，∴（）2+（）2＝16，×＝，∴BC＝＝＝＝2﹣2．1．（2022?桂林）化簡的結果是（）A．2 B．3 C．2 D．2【答案】A【解答】解：＝2，故選：A．2．（2022?內蒙古）實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則+1+|a﹣1|的化簡結果是（）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【答案】B【解答】解：根據數軸得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故選：B．3．（2022?河北）下列正確的是（）A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32 D．＝0.7【答案】B【解答】解：A、原式＝，故該選項不符合題意；B、原式＝×＝2×3，故該選項符合題意；C、原式＝＝92，故該選項不符合題意；D、0.72＝0.49，故該選項不符合題意；故選：B．4．（2022?湖北）下列各式計算正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、與不屬于同類二次根式，不能運算，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D符合題意；故選：D．5．（2022?青島）計算（﹣）×的結果是（）A． B．1 C． D．3【答案】B【解答】解：（﹣）×＝﹣＝﹣＝3﹣2＝1，故選：B．6．（2022?安順）估計（+）×的值應在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】B【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故選：B．7．（2023?綿陽）若式子在實數范圍內有意義，則x的最小值為．【答案】．【解答】解：由題意可得2x﹣1≥0，解得：x≥，則x的最小值為，故答案為：．8．（2023?丹東）若代數式在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是x≥﹣2，且x≠1．【答案】x≥﹣2，且x≠1．【解答】解：由題可知，x+2≥0，即x≥﹣2，又知分母不能等于0，即x﹣1≠0，則x≠1．故答案為：x≥﹣2，且x≠1．9.（2022?武漢）計算的結果是2．【答案】2．【解答】解：法一、＝|﹣2|＝2；法二、＝＝2．故答案為：2．10．（2023?內蒙古）實數m在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡：＝2﹣m．【答案】2﹣m．【解答】解：由數軸可知：1＜m＜2，∴m﹣2＜0，∴＝|m﹣2|＝2﹣m．故答案為：2﹣m．11．（2022