1偏微分方程反問題數值解法韓波主要參考書：1、劉繼軍，不適定問題的正則化方法及應用，科學出版社，20052、肖廷延，于慎根，王彥飛，反問題的數值解法，科學出版社，2003，3、韓波，李莉，非線性不適定問題的求解方法及其應用，科學出版社，2011大家好2第一章反問題概述

大家好3從墨西哥灣的漏油事件談起

2010年4月20日晚，在距美國路易斯安娜州61公里的墨西哥灣海面上，由BP（英國石油公司）租用的“深海地平線”(DeepwaterHorizon)鉆井平臺在從事Macondo油田開發作業時發生爆炸，并引發火災，11名工作人員遇難。經過約36個小時的劇烈燃燒，“深海地平線”于22日沉入海底。兩天后，在事故地點出現了嚴重的石油泄漏，破裂的油井管道每天向墨西哥灣海域傾倒5-10萬桶原油（約8000-16000立方米），歷時近三個月，造成了極為嚴重的環境污染。直至7月15日，油井才被成功封堵。這是美國歷史上迄今最嚴重的海上石油泄露事件。大家好4

當關注的焦點聚集到英國石油公司時，我們發現這個公司在墨西哥灣地區尋找油氣藏方面取得了巨大的成功。2009年9月2日，英國石油公司在墨西哥灣距休斯敦市東南400公里處發現了巨型油田Tiber。外界估計其總儲量可達40-60億桶，相當于約100個Macondo。英國石油公司在官方網站上例舉了他們近幾年在墨西哥灣深海地區開發的重要油田，預測產量都在1.5億桶至6億桶之間。石油巨頭們是怎么在墨西哥灣找到這些大油田的？大家好5深海石油開采的費用高的驚人，即使從事深海石油開發的公司擁有雄厚的資本和先進的技術，也不可能在茫茫無際的墨西哥灣到處打井窺探。ThunderHorse油田：水上鉆井平臺有3個足球場大，建筑在海水深度約為1800米的海面上。據估計英國石油公司投入該項目的建造費用高達50億美元！對資源的定位和估算有一套較準確的科學方法，盡量減少決策失誤。大家好6秘密就在回聲中數學物理史上有趣的問題：不用眼睛看，僅僅通過聆聽鼓的聲音能否判斷出鼓的形狀？（盲人聽鼓）1910年丹麥著名物理學家勞倫茲(Lorentz)在哥廷根的系列演講“物理學中的新、舊問題”中提出。大家好7當物體的材料確定后，它的音色和其形狀密切相關。在數學上，一個物體的音色可以由一串譜來確定，它們對應著物體的固有頻率。“盲人聽鼓”即是要求通過已知的譜來確定一個鼓面的形狀。Lorentz在他的講演中猜測鼓的面積可以由極限確定

據說，當初Hilbert（希爾伯特）認為在他的有生之年不可能看到這個公式的嚴格證明。但是一代宗師Hilbert這次作出了錯誤的預測。不到兩年時間，鼓面積的公式就被他的得意門生Weyl證明了。而且證明方法采用的正是Hilbert此前不久修煉出的獨門絕技----積分理論。1954年，Pleijel證明了從鼓聲中可以“聽”出鼓的周長。1967年，McKean和Singer證明了從鼓聲中可以“聽”出鼓的內部是否有洞、有幾個洞。直到1992年，Gordon等人構造出了兩面奇怪的“同聲鼓”：它們的形狀不同，卻有著相同的音色，單憑耳朵無法鑒別！大家好8大家好9

嚴格說來，

“盲人聽鼓”問題的答案是否定的。但是，對這個問題的研究啟發了我們。當不能用眼睛直接觀測時，以耳代目也能夠獲得關于物體形狀的很多有用信息。舉一個生活中的例子，夏天人們挑西瓜，總是把瓜放在耳邊，用手拍一拍，有經驗的人就知道瓜瓤熟不熟。

大家好10

深海區的石油探測就是應用了類似的原理。勘探地球物理學家希望能夠叩問地球，用耳朵“聽”出地下的地質構造，從而判斷出油藏的“準確”位置和儲量。大家好11數據采集船上帶有氣槍。當壓縮空氣被突然釋放時，氣槍會產生劇烈的爆炸聲波。聲波向地下傳播，遇到構造變化會產生反射、散射和折射。這些回聲中攜帶了地下的地質信息，被海面采集船拖帶的檢波器接收，記錄為地震數據。海底寶藏的秘密就隱藏在這些數據里。大家好12大家好13大家好14現行的勘探技術主要分為三步：1.數據處理：海上采集到的數據有很多噪音干擾，比如海浪、背景噪聲、相鄰采集船傳來的氣槍回聲，等等。另外，潮汐現象周期性地改變海水的深度，造成反射時間的偏差錯落；氣槍的震源效應和海面多次反射的混聲也會引起反射信號的畸變。所以我們要對數據進行“整容”，使之更清晰、更干凈、更可信。大家好152.速度建模：利用多次覆蓋的試驗數據來構建一個統一的地下模型。由于反射波的傳播時間對速度的短周期變化不敏感，一步到位求解v(x,y,z)太困難。退而求其次，我們可以利用數據中的冗余信息構造一個粗眉大眼的近似速度。這如同繪畫，先勾勒輪廓，敷設底色，留待下一步皴擦點染，刻畫雕琢。大家好163.全波形反演成像

在較好的初始速度模型基礎上，直接利用經過預處理的勘探資料，求取波動方程中的速度模型，給出地質構造解釋。目前，國際上已經能夠進行三維速度全波形反演。彈性波全波形反演研究已經成為國際潮流。大家好17正問題，一般是按著自然順序來研究事物的演化過程或分布形態，起著由因推果的作用。反問題，是根據事物的演化結果，由可觀測的現象來探求事物的內部規律或所受的外部影響，起著倒果求因的作用。大家好18線性方程Ax=yy’=y+n反問題的提法：1.已知y’，分離信號和噪音，求出y；2.已知y’和A，求出輸入數據x；3.已知y’和x

，求出模型機制A；4.已知y’，求出輸入x

和模型A，這時問題變成非線性。大家好19

反問題通常體現了一種逆向思維。馮康先生在上世紀八十年代初曾經著文《數學物理中的反問題》，較早地介紹了這個新的研究方向。他將反問題的功能概括為“由表及里”、“索隱探秘”、“倒果求因”。在中國的傳統文化中，只有智者高人才能透過現象看清本質，甚至參透因果，一語破的。科學化的反問題研究為我們在解決問題，增長智慧方面提供了很好的案例和方法論。

大家好20反問題發展簡史數學物理反問題最早出現在地球物理領域1846年，法國人LeVerrier發現了海王星1880年，美國學者J.A.Ewing等人發明了近代地震儀，提出了地震記錄的分析問題1907年，Herglog提出了地震走時數據的反演1909年，A.Mohorovicic發現了莫霍面1912年，BenoGutenbeg發現了古登堡面1935年，Lehmann發現了地球外核和內核的分界面這些工作都對地球物理反演學術思想的形成和發展起到了巨大的推動作用。大家好21但在第一臺數字計算機誕生之前，反問題的發展非常緩慢，反演方法只有選擇法和量版法1967-1970年，美國地球物理學家Backus和應用數學家Gilbert連續發表了三篇關于平均核法的文章，奠定了反演理論的基礎Tikhonov（吉洪諾夫）20世紀40年代，提出了正則化方法（1977，Solutionsofill-posedproblems,美國。中譯本，1979）70年代初，英國學者G.Honsfield研制出了第一臺醫用ＣＴ機以及他和美國學者A.M.Cormack共同獲得了1979年度生理性和醫學諾貝爾獎，大大推動了有關不可見物體層析成像的研究熱潮，也極大地推動了反問題數學理論、數值方法以及應用的發展大家好22現代反問題開始于70年代末、80年代初，蓬勃發展至今，40多年的時間。廣泛應用于石油勘探、工程物探、無損探傷、航空航天、地下找水、光學、電子、控制等等領域，可以說無處不在。國際上四種反問題雜志：InverseProblems,InverseProblemsandImaging,InverseProblemsinScienceandEngineering,Journalofinverseandill-posedproblems我國反問題的研究最早由計算數學家馮康倡導（1982）。他把反問題列為計算數學四大問題之一（正問題、反問題、逼近問題和代數問題）大家好23科學史上的著名的案例1781年，天王星被確認為太陽系的第7顆大行星。40年后，法國天文學家Bouvard搜集了一個多世紀來的全部觀測資料，包括了1781年之前的舊數據和之后的新數據，試圖用牛頓的天體力學原理來計算天王星的運動軌道。他發現了一個奇怪的現象：用全部數據計算出的軌道與舊數據吻合得很好，但是與新數據相比誤差遠超出精度允許的范圍；如果僅以新數據為依據重新計算軌道，得到的結果又無法和舊數據相匹配。Bouvard的治學態度非常嚴謹，他在論文中指出：“兩套數據的不符究竟是因為舊的觀測記錄不可靠，還是來自某個外部未知因素對這顆行星的干擾？我將這個謎留待將來去揭示。”大家好24首先，Bouvard等天文學家核查了1750年以后英國格林尼治天文臺對各個行星所作的全部觀測記錄。結果發現，除天王星以外，對于其它行星的觀測記錄與理論計算結果都符合得相當好。似乎沒有理由懷疑舊的天文觀測唯獨對天王星失準。既然如此，天文學家就需要對天王星的不規律運動作出科學的解釋。擺在天文學家面前的有兩條路：第一條路是質疑牛頓力學的普適性，或許萬有引力定律不適用于距離太陽遙遠的天王星，需要對之進行修正；第二條路是尋找Bouvard所猜測的“未知因素”。于是人們提出了“彗星撞擊”、“未知衛星”和“未知行星”等多種可能。大家好251841年的暑期，還是英國劍橋大學二年級學生的Adams就定下計劃，不僅要確認天王星的軌道異常是否來自未知行星的引力作用，還要盡可能地確認這顆新行星的軌道，以便通過觀測來發現之。這不僅是一個新問題，而且是一個反問題。因為過去總是已知一顆行星的質量和軌道，根據萬有引力定律計算出它對另一顆行星產生的軌道攝動。而現在則相反，Adams要假定已知天王星軌道的攝動，來計算出產生這一攝動的未知行星的質量和軌道。由于未知因素很多，實際計算起來是相當復雜和困難的。Adams于1845年徹底解決了這個反問題。他所運用的方法在當時是空前新穎的。令人遺憾的是，英國天文學家Airy先入為主地認為天王星的軌道問題是引力定律不再適用的結果，沒有重視Adams向他提交的新行星的軌道計算結果。大家好26幾乎與此同時，法國人LeVerrier獨立地解決了同樣的反問題。1846年9月23日，柏林天文臺的Galle按照LeVerrier提交的計算軌道著手觀測，當晚就在偏離預言位置不到1度的地方發現了一顆新的八等星。連續觀測的數據都與LeVerrier的預測結果吻合得很好，證實這是一顆新行星。這時英國天文臺才想起了Adams的工作，悔之晚矣。案子破了。干擾天王星正常運行的那顆神秘天體正是太陽系的第8顆大行星——海王星！不僅長期困擾天文界的天王星軌道異常問題在牛頓力學框架內得到了完滿解釋，而且海王星的發現進一步驗證了牛頓力學的正確性。大家好27大家好28正問題----“知易行難”反問題的研究重在探測和發現----“知之非艱、行之惟艱”。反問題的求解往往違背了事物發展過程的自然順序，從而使正問題中的許多良好性質不再滿足。更何況我們搜集到的資料經常是真偽交雜、缺失含混的，這就更增加了求解的困難。盡管如此，解決反問題仍然像破案猜謎一樣引人入勝。大家好29什么是反問題？任何事物都充滿著辯證關系，都有正、反兩個方面。例如：正問題（directproblem）：求一個多項式的零點反問題（inverseproblem）：給定零點求次多項式正問題（directproblem）：計算已知多項式在

的值反問題（inverseproblem）：已知多項式在點

的值（或近似值），

求（Lagrange插值問題）。大家好30

。正問題（directproblem）：已知，求反問題（inverseproblem）：已知[0,1]上的連續可微函數到底哪一個是反問題？先前提出的、人們熟悉的是正問題，而另一個是反問題；穩定的問題是正問題，不穩定的是反問題。大家好31按系統科學觀點正問題：由因求果反問題：由果求因，或由因果求關系數學物理反問題：從工程物理中提出的各類反問題，

都有明確的數學形式和定量要求，

故稱之為數學物理反問題。微分方程反問題：由微分方程描述的反問題因訊號（輸入）關系（模型）果信號（輸出）大家好32大家好33例如k，需要提供一些可測量的信息，例如：（物體的外界接觸表面上的各點流量已知），稱為附加條件，就構成了熱傳導方程反問題模型。大家好34大家好35按問題分類：

(1)Computerizedtomography(CT)(2)Inversescattering(3)Inverseheatconductionproblems(4)Geophysicalinverseproblems(5)Inverseproblemsinimaging(6)Identificationofparametersindifferentialequations大家好363.非線性與不適定性(1)反問題通常是非線性的，而且常常是highlynonlinear，即使相應的正問題是線性的。(2)反問題一般來說是不適定的（ill-posed）。適定與不適定的概念，最初是從研究數學物理方程定解問題提出的。20世紀20年代，法國數學家Hadamard（阿達瑪）對數學物理方程定解問題提出了如下適定性定義，即定解問題是適定的，是指它具備如下三個條件：問題的解存在；②問題的解唯一；③解連續依賴于定解條件，即定解條件（數據）改變很小時，相應的解也改變很小，也就是解具有穩定性。不滿足上述三個條件之一的問題稱為不適定問題。大家好37粗略地說，凡是解不連續地依賴數據的一切數學問題都稱為不適定的，不僅限于定解問題。符合適定性的數學物理問題很多如：①Laplace方程的Dirichlet問題；②波動方程的空間Cauchy問題；③熱傳導方程的初值問題。大家好38大家好39大家好40大家好41大家好42而方程組的解是大家好43大家好44大家好45取其解稱為原方程組的正則化解，稱為正則化參數，它在穩定性與精度之間進行調節。大家好大家好46大家好47例積分方程是唯一可解的，當，解用梯形公式近似積分得其中，從而得到線性系統的近似。大家好48下表表明在時，真解和近似解的誤差。表真解與近似解的誤差從表中可以看出，近似解與真解沒有關系。而且離散的程度越好，得到的結果越差。大家好49大家好50大家好51大家好52大家好53大家好54大家好55大家好56大家好57大家好58594.反問題應用舉例盡管一些經典反問題的研究可以追溯很早，反問題這一學科的興起卻是近幾十年來的事情。在科學研究中經常要通過間接觀測來探求位于不可達、不可觸之處的物質的變化規律；生產中經常要根據特定的功能對產品進行設計，或按照某種目的對流程進行控制。這些都可以提出為某種形式的反問題。可見，反問題的產生是科學研究不斷深化和工程技術迅猛發展的結果，而計算技術的革命又為它提供了重要的物質基礎。大家好60

現在，反問題的研究已經遍及現代化生產、生活、科學研究的各個領域。簡單的概括不足以說明問題，我們下面具體介紹一些常見的反問題類型，希望大家能夠對它有一個大概的了解。大家好61物性探測給你一只管子，不允許直接進入內部測量，你能算出里面的形狀嗎？如果管子是軸對稱的，這時只需要知道內部的截面半徑就可以了。美國貝爾電話實驗室的Sondhi和Gophinath提供了一個方法：在管子的一邊發出聲音，用儀器測量管口的位移速度和壓力。通過測量結果就可以推知管內的截面半徑。理論計算與實驗結果吻合得很好。不要小看了這個例子，它實際上暗示了許多不能直接測量的物性探測問題可以通過類似的間接方法來解決。我們通常說“上天入地”都是很困難的事情，可是在一些情況下似乎必須“入地”才能解決問題。大家好62比如說石油勘探。石油通常埋在幾千米的地下，無法直接觀察油田的位置和儲量，靠試打井的辦法來探測不但費用昂貴（一口井的代價要上千萬元），而且效率極低（只能探測到井附近的局部信息）。一個可行的辦法是通過地面爆炸向地下發射地震波，同時接收地層的反射波信號。可以想象，地面接收到的反射信號中含有地下的物性結構信息（地層的密度、聲速等等），利用數學手段將這些信息提取出來，就可以對地下的油儲及其分布作出科學的判斷。這很象在夏天人們挑西瓜，把瓜放在耳邊拍一拍，有經驗的人就知道瓜瓤熟不熟，不需要切開來看，不會破壞西瓜的完整。大家好63

類似的探測方法可以應用于許多方面，如：農用土壤分析、地下水勘查，甚至于在考古發現上也有應用。位于三峽庫區的四川省云陽縣故陵鎮有一個大土包，相傳為楚國古墓，但是歷經三千余年的變遷，已經難以確認了。科技工作者在地表利用地震波法、高精度磁法、電場巖性探測和地化方法四種手段進行探測，不但確認了古墓的存在，而且得到了關于古墓的埋藏深度、形狀、大小甚至墓道的準確信息，為搶救和保護文物做出了貢獻。大家好64掃描成像本世紀初，Hebglotz和Wiechebt應用Abel型反演方法解決了在一定對稱條件下通過地震波的走時曲線來反推地層內部形貌的方法。據此Mohobovic（1909年）發現了地殼與地幔之間的斷層。現在，利用地震波的接收信號通過成像來考察地層地貌形態已經成為地球物理勘探最為重要的手段。例如，通過走時成像，可以得到地震波在不同深度的傳播速度；而在已知速度的前提下，利用聲波方程或其單程波方程偏移成像方法，又可以得到反射界面的位置和形狀。大家好65

成像的另一個重要應用是醫學上的計算機層析成像（CT），這是X光射線自Roentgen發明（獲1900年諾貝爾獎）以來在醫療診斷上的重大進展，其發明人Hounsfield和Cormack因此獲得了1979年的諾貝爾醫學獎。CT技術是醫學、電子技術、計算機技術和反演數學相結合的產物，它利用計算機來對穿越人體的X射線信號進行處理，來重建體內的結構信息，生成透視圖像供醫療診斷參考，其核心算法的數學基礎是二維Radon變換。繼之而起的是基于三維Radon變換的核磁共振成像，在診斷效果和無傷害性方面更為優越。事實上，類似的方法也可以借助于聲波、光波、電磁波在無損探傷、雷達偵察、射電望遠鏡探測、環境監測等多方面有廣泛應用。大家好66逆時反演

在科學研究中，我們經常遇到這樣的問題：知道了某個事物的現在狀態，希望了解它的過去，即通常所說的“恢復歷史的本來面目。”這往往可以提為逆時反問題。當然，反問題研究不是歷史學，它所研究的對象一般要滿足某種類型的演化方程或數學模式。例如，通過遠程測得的某次爆炸產生的輻射波，如何確定爆炸的位置和初始能量？這是波動方程的逆時反問題；又如，根據近來的溫度變化能否確定過去某個時間的溫度狀態？這就成為熱傳導方程的逆時反問題。大家好67孤立子的發現一個著名的例子是反散射方法在孤立子發現中的作用：反散射問題是量子物理學研究中的一個問題，通過譜和譜函數在無窮遠處的散射性態反推一維Schordinger（薛定鄂）方程的位勢函數。它由前蘇聯數學家Gelfand和Levitan（1955年）一舉解決。在此基礎上引發了一系列突破性進展，最為著名的是利用這個結果Lax（1968年）得到了關于KDV方程的巧妙解法，從而發現了非線性方程中的孤立子現象。這是近代非線性科學研究的重要事件。大家好68其它問題飛行器外形設計公路、橋梁、水壩等工程質量檢測問題沙漠找水鋼爐檢測大家好69

前面介紹了反問題的幾種類型，它們在研究和應用上經常是相互聯系的，分門別類只是為了敘述方便。另外，反問題與其它數學學科之間并沒有一個嚴格的界限，而是互為補充，互相促進。反問題的研究起源于數理方程，其反演算法中包含了微分方程數值解法、最優化方法和概率統計等方面的許多思想和技巧。另一方面，反問題的研究也促進了人們對世界的認識，使得研究更全面、深化。大家好705.反問題研究的難點及對策與正問題相比，反問題的研究起步較晚，發展還遠不成熟。從本質上來說，反問題的研究的難度一般比相應的正問題要大。這是因為反問題的求解往往違背了物理過程的自然順序，從而使正問題中的許多良好性質不再滿足。這種現象在許多學科的研究中都是普遍存在的。比如說：曹雪芹創作了古典名著《紅樓夢》，這是人所共知的，但是要從現存的史料和文物“碎片”來恢復這位偉大作家的人生經歷和創作歷程則是一件萬分艱辛的事情，更何況這些“碎片”信息真偽交雜，且時有含混。反問題的研究也經常遇到類似的困難，這些困難體現在：大家好711.存在性：我們要求的反問題的解很可能不存在！無解的原因多種多樣，可能是在定向設計中問題的提法不合理，也可能是探測時接收到的響應中含有假信息（噪音），將求解引入歧途。

2.唯一性：有的反問題的解雖然存在，卻不唯一，有幾個甚至無窮多個。這是因為收集到的信息不夠，不足以確定解的性態。對大多數反問題（比如探測問題）來說，真正的解只有一個，這就要從許多解當中進行挑選，去偽存真，頗費周折。大家好72

3.穩定性：利用計算手段，由接收信息來反演物質的結構和特性是反問題研究的重要內容。可是實際的接收響應中不可避免地含有噪音，計算過程也有累積誤差。這種微小的誤差會不會導致反演結果面目全非？研究表明，相當多的反問題正是具有這樣的病態性質！熱傳導方程的逆時反問題就是一個例子。熱力學第二定律告訴我們，熱傳導是一個不可逆過程，它的反問題求解是高度病態的。為了解決溫度的逆時反演，就不得不冒這種“差之毫厘，謬以千里”的危險。大家好73

存在性、唯一性和穩定性，三者之一不滿足就稱為不適定性問題。用傳統的眼光來看，這樣的問題是不值得研究的。正是反問題的研究開闊了人們的視野，認識到這樣的問題是大量存在的，而且有著重要的研究和應用價值。大家好74如果一個問題的解不存在、不唯一、不穩定，那么求解得到的結果可信嗎？這是反演工作者必須面對的問題。解決的辦法是有的！奠基性工作是由前蘇聯Tikhonov等學者提出的解決線性不適定問題的正則化方法。方法的主要思想是：利用對解和數據誤差的先驗估計可以將問題的求解限定在某個較小范圍內，對問題的提法進行適當的改造后，原本不適定的問題就可以轉化為適定的最優化問題求解，而且先驗估計表明在一定精度下用正則化方法求得的解是合理的。這比如猜謎：“后，打一人名”，無從猜起。如果限定“打《紅樓夢》中一人名”，范圍縮小了，可以用書中601個人物（有的書中沒有交代姓名）逐一比較，最后選出最優的答案－“王夫人”。大家好75充分利用各種合理的先驗信息對問題作適當形式的轉換，是反問題求解的重要方法，在實際生產中經常要用到。拿地震波勘探為例，限于技術原因，地面接收的信號噪音很大，信息殘缺不全，完全的反演是很困難的。為了滿足生產的要求，必須盡最大可能恢復出地下的結構形態。這時，多種反演方法并用是一個可行的辦法；如果在目的地有一口油井，那么可以把井下的信息作為局部約束來校正反演結果；為了計算的穩定性還必須使用一些特殊的數學技巧。這樣得到的反演結果與資料解釋人員的經驗結合起來，可以對油田的決策與發展提供參考依據。大家好76

除了前面提到的不適定性以外，反問題的研究與應用還經常面臨非線性的困擾。即使正問題是線性的，它的反問題也往往表現為非線性，這為反演的研究和計算帶來了很多麻煩。為了求解