第13頁共85頁高中數學統計與概率知識點（文）第一部分:統計什么是眾數。

一組數據中出現次數最多的那個數據，叫做這組數據的眾數。

眾數的特點。

①眾數在一組數據中出現的次數最多；②眾數反映了一組數據的集中趨勢，當眾數出現的次數越多，它就越能代表這組數據的整體狀況，并且它能比較直觀地了解到一組數據的大致情況。但是，當一組數據大小不同，差異又很大時，就很難判斷眾數的準確值了。此外，當一組數據的那個眾數出現的次數不具明顯優勢時，用它來反映一組數據的典型水平是不大可靠的。

3.眾數與平均數的區別。眾數表示一組數據中出現次數最多的那個數據；平均數是一組數據中表示平均每份的數量。

二、.中位數的概念。

一組數據按大小順序排列，位于最中間的一個數據(當有偶數個數據時，為最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數。

三.眾數、中位數及平均數的求法。

①眾數由所給數據可直接求出;②求中位數時，首先要先排序(從小到大或從大到小)，然后根據數據的個數，當數據為奇數個時，最中間的一個數就是中位數;當數據為偶數個時，最中間兩個數的平均數就是中位數。③求平均數時，就用各數據的總和除以數據的個數，得數就是這組數據的平均數。

四、中位數與眾數的特點。

⑴中位數是一組數據中唯一的，可能是這組數據中的數據，也可能不是這組數據中的數據；

⑵求中位數時，先將數據有小到大順序排列，若這組數據是奇數個，則中間的數據是中位數；若這組數據是偶數個時，則中間的兩個數據的平均數是中位數；

⑶中位數的單位與數據的單位相同；

⑷眾數考察的是一組數據中出現的頻數；

⑸眾數的大小只與這組數的個別數據有關，它一定是一組數據中的某個數據，其單位與數據的單位相同；

（6）眾數可能是一個或多個甚至沒有；

（7）平均數、眾數和中位數都是描述一組數據集中趨勢的量。

五.平均數、中位數與眾數的異同：

⑴平均數、眾數和中位數都是描述一組數據集中趨勢的量；

⑵平均數、眾數和中位數都有單位；

⑶平均數反映一組數據的平均水平，與這組數據中的每個數都有關系，所以最為重要，應用最廣；

⑷中位數不受個別偏大或偏小數據的影響；

⑸眾數與各組數據出現的頻數有關，不受個別數據的影響，有時是我們最為關心的數據。

六、對于樣本數據x1，x2，…，xn，設想通過各數據到其平均數的平均距離來反映樣本數據的分散程度，那么這個平均距離如何計算？思考4：反映樣本數據的分散程度的大小，最常用的統計量是標準差，一般用s表示.假設樣本數據x1，x2，…，xn的平均數為，則標準差的計算公式是：七、簡單隨即抽樣的含義一般地,設一個總體有N個個體,從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本（n≤N）,如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等,則這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.八、根據你的理解，簡單隨機抽樣有哪些主要特點？（1）總體的個體數有限；（2）樣本的抽取是逐個進行的，每次只抽取一個個體；（3）抽取的樣本不放回，樣本中無重復個體；（4）每個個體被抽到的機會都相等，抽樣具有公平性.九、抽簽法的操作步驟？第一步，將總體中的所有個體編號，并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上.第二步，將號簽放在一個容器中，并攪拌均勻第三步，每次從中抽取一個號簽，連續抽取n次，就得到一個容量為n的樣本.十一、抽簽法有哪些優點和缺點？優點：簡單易行，當總體個數不多的時候攪拌均勻很容易，個體有均等的機會被抽中，從而能保證樣本的代表性.缺點：當總體個數較多時很難攪拌均勻，產生的樣本代表性差的可能性很大.十一、利用隨機數表法從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本，其抽樣步驟如何？第一步，將總體中的所有個體編號.第二步，在隨機數表中任選一個數作為起始數.第三步，從選定的數開始依次向右（向左、向上、向下）讀，將編號范圍內的數取出，編號范圍外的數去掉，直到取滿n個號碼為止，就得到一個容量為n的樣本.簡單隨機抽樣一般采用兩種方法：抽簽法和隨機數表法。思考：如果從100個個體中抽取一個容量為10的樣本，你認為對這100個個體進行怎樣編號為宜？解法1：（抽簽法）將100件軸編號為1，2，…，100，并做好大小、形狀相同的號簽，分別寫上這100個數，將這些號簽放在一起，進行均勻攪拌，接著連續抽取10個號簽，然后測量這個10個號簽對應的軸的直徑。解法2：（隨機數表法）將100件軸編號為00，01，…99，在隨機數表中選定一個起始位置，如取第21行第1個數開始，選取10個為68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，這10件即為所要抽取的樣本。小結、簡單隨機抽樣是一種最簡單、最基本的抽樣方法，簡單隨機抽樣有兩種選取個體的方法：放回和不放回，我們在抽樣調查中用的是不放回抽樣，常用的簡單隨機抽樣方法有抽簽法和隨機數法.抽簽法的優點是簡單易行，缺點是當總體的容量非常大時，費時、費力，又不方便，如果標號的簽攪拌得不均勻，會導致抽樣不公平，隨機數表法的優點與抽簽法相同，缺點上當總體容量較大時，仍然不是很方便，但是比抽簽法公平，因此這兩種方法只適合總體容量較少的抽樣類型.簡單隨機抽樣每個個體入樣的可能性都相等，均為n/N，但是這里一定要將每個個體入樣的可能性、第n次每個個體入樣的可能性、特定的個體在第n次被抽到的可能性這三種情況區分開來，避免在解題中出現錯誤.解題應用如果從600件產品中抽取60件進行質量檢查，按照上述思路抽樣應如何操作？第一步，將這600件產品編號為1，2，3，…，600.第二步，將總體平均分成60部分，每一部分含10個個體.第三步，在第1部分中用簡單隨機抽樣抽取一個號碼（如8號）.第四步，從該號碼起，每隔10個號碼取一個號碼，就得到一個容量為60的樣本.（如8，18，28，…，598）十二、系統抽樣的定義：一般地，要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先制定的規則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本，這種抽樣的方法叫做系統抽樣.由系統抽樣的定義可知系統抽樣有以下特征：（1）當總體容量N較大時，采用系統抽樣。（2）將總體分成均衡的若干部分指的是將總體分段，分段的間隔要求相等，因此系統抽樣又稱等距抽樣，這時間隔一般為k＝[].（3）預先制定的規則指的是：在第1段內采用簡單隨機抽樣確定一個起始編號，在此編號的基礎上加上分段間隔的整倍數即為抽樣編號.思考.下列抽樣中不是系統抽樣的是（C）A、從標有1~15號的15號的15個小球中任選3個作為樣本，按從小號到大號排序，隨機確定起點i,以后為i+5,i+10(超過15則從1再數起)號入樣B工廠生產的產品，用傳關帶將產品送入包裝車間前，檢驗人員從傳送帶上每隔五分鐘抽一件產品檢驗C、搞某一市場調查，規定在商場門口隨機抽一個人進行詢問，直到調查到事先規定的調查人數為止D、電影院調查觀眾的某一指標，通知每排（每排人數相等）座位號為14的觀眾留下來座談十三、系統抽樣的一般步驟用系統抽樣從總體中抽取樣本時，首先要做的工作是什么？將總體中的所有個體編號.如果用系統抽樣從605件產品中抽取60件進行質量檢查，由于605件產品不能均衡分成60部分，應先從總體中隨機剔除5個個體，再均衡分成60部分.一般地，用系統抽樣從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本，其操作步驟如何？第一步，將總體的N個個體編號.第二步，確定分段間隔k，對編號進行分段.第三步，在第1段用簡單隨機抽樣確定起始個體編號l.第四步，按照一定的規則抽取樣本.十四：分層抽樣的定義:若總體由差異明顯的幾部分組成，抽樣時，先將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，再將各層取出的個體合在一起作為樣本.分層抽樣又稱類型抽樣十五.應用分層抽樣應遵循以下要求及具體步驟：(1)分層：將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則。（2）分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數量與每層個體數量的比與這層個體數量與總體容量的比相等。一般地，分層抽樣的操作步驟如何？第一步，計算樣本容量與總體的個體數之比.第二步，將總體分成互不交叉的層，按比例確定各層要抽取的個體數.第三步，用簡單隨機抽樣或系統抽樣在各層中抽取相應數量的個體.第四步，將各層抽取的個體合在一起，就得到所取樣本.十六、簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種抽樣的類比學習簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣既有其共性，又有其個性，根據下表，你能對三種抽樣方法作一個比較嗎？對樣本數據進行分組，組距的確定沒有固定的標準，組數太多或太少，都會影響我們了解數據的分布情況.數據分組的組數與樣本容量有關，一般樣本容量越大，所分組數越多.十七列頻率直分布表的步驟列出一組樣本數據的頻率分布表可以分哪幾個步驟進行？第一步，求極差.第二步，決定組距與組數.第三步，確定分點，將數據分組.第四步，列頻率分布表.十八、繪制頻率分布直方圖的步驟頻率分布直方圖中樣本數據的頻率分布直方圖是根據頻率分布表畫出來的，一般地，頻率分布直方圖的作圖步驟如何？第一步，畫平面直角坐標系.第二步，在橫軸上均勻標出各組分點，在縱軸上標出單位長度.第三步，以組距為寬，各組的頻率與組距的商為高，分別畫出各組對應的小長方形.小結1.頻率分布是指一個樣本數據在各個小范圍內所占比例的大小，總體分布是指總體取值的頻率分布規律.我們通常用樣本的頻率分布表或頻率分布直方圖去估計總體的分布.2.頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息.3.樣本數據的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數據在樣本容量中所占比例大小來表示數據的分布規律，它可以讓我們更清楚的看到整個樣本數據的頻率分布情況，并由此估計總體的分布情況.十九、如何根據樣本頻率分布直方圖，分別估計總體的眾數、中位數和平均數？(1)眾數：最高矩形下端中點的橫坐標.(2)中位數：直方圖面積平分線與橫軸交點的橫坐標.(3)平均數：每個小矩形的面積與小矩形底邊中點的橫坐標的乘積之和.二十：什么是莖葉圖莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數組中的數按位數進行比較，將數的大小基本不變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數，每個數具體是多少。第二部分：概率一、隨機事件的概率及概率的意義1、基本概念：（1）必然事件：在條件S下，一定會發生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對于條件S的確定事件；（4）隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；（5）頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數；稱事件A出現的比例fn(A)=為事件A出現的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fn(A)穩定在某個常數上，把這個常數記作P（A），稱為事件A的概率。（6）頻率與概率的區別與聯系：隨機事件的頻率，指此事件發生的次數nA與試驗總次數n的比值，它具有一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數叫做隨機事件的概率，概率從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率二、概率的基本性質1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性質：1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發生且事件B不發生；（2）事件A不發生且事件B發生；（3）事件A與事件B同時不發生，而對立事件是指事件A 與事件B有且僅有一個發生，其包括兩種情形；（1）事件A發生B不發生；（2）事件B發生事件A不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。三、古典概型及隨機數的產生1、（1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數；②求出事件A所包含的基本事件數，然后利用公式P（A）=四、幾何概型及均勻隨機數的產生1、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：P（A）=；幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等．第三部分:統計案例1．線性回歸方程①變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；②制作散點圖，判斷線性相關關系③線性回歸方程：（最小二乘法）注意：線性回歸直線經過定點。相關系數（判定兩個變量線性相關性）：注：⑴>0時，變量正相關；<0時，變量負相關；（2）越接近于1，兩個變量的線性相關性越強；接近于0時，兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系。3．回歸分析中回歸效果的判定：⑴總偏差平方和：⑵殘差：；⑶殘差平方和：；⑷回歸平方和：－；⑸相關指數。注：①得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好；②越接近于1，，則回歸效果越好。4．獨立性檢驗（分類變量關系）：隨機變量越大，說明兩個分類變量，關系越強，反之，越弱。22列聯表y1y2總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+dK2=第一章常用邏輯用語1.1命題及其關系1.1.1命題（一）教學目標１、知識與技能：理解命題的概念和命題的構成，能判斷給定陳述句是否為命題，能判斷命題的真假；能把命題改寫成“若p，則q”的形式；２、過程與方法：多讓學生舉命題的例子，培養他們的辨析能力；以及培養他們的分析問題和解決問題的能力；３、情感、態度與價值觀：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。（二）教學重點與難點重點：命題的概念、命題的構成難點：分清命題的條件、結論和判斷命題的真假教具準備：與教材內容相關的資料。教學設想：通過學生的參與，激發學生學習數學的興趣。（三）教學過程學生探究過程：1．復習回顧初中已學過命題的知識，請同學們回顧：什么叫做命題？2．思考、分析下列語句的表述形式有什么特點？你能判斷他們的真假嗎？（1）若直線a∥b，則直線a與直線b沒有公共點．（2）2+4=7．（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行．（４）若x2=1,則x=1．（５）兩個全等三角形的面積相等．（６）３能被２整除．3．討論、判斷學生通過討論，總結：所有句子的表述都是陳述句的形式，每句話都判斷什么事情。其中（1）（3）（5）的判斷為真，（2）（4）（6）的判斷為假。教師的引導分析：所謂判斷，就是肯定一個事物是什么或不是什么，不能含混不清。4．抽象、歸納定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．命題的定義的要點：能判斷真假的陳述句．在數學課中，只研究數學命題，請學生舉幾個數學命題的例子．教師再與學生共同從命題的定義，判斷學生所舉例子是否是命題，從“判斷”的角度來加深對命題這一概念的理解．5．練習、深化判斷下列語句是否為命題？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整數a是素數，則是a奇數．（３）指數函數是增函數嗎？（４）若平面上兩條直線不相交，則這兩條直線平行．（５）＝－２．（６）x＞１５．讓學生思考、辨析、討論解決，且通過練習，引導學生總結：判斷一個語句是不是命題，關鍵看兩點：第一是“陳述句”，第二是“可以判斷真假”，這兩個條件缺一不可．疑問句、祈使句、感嘆句均不是命題．解略。引申：以前，同學們學習了很多定理、推論，這些定理、推論是否是命題？同學們可否舉出一些定理、推論的例子來看看？通過對此問的思考，學生將清晰地認識到定理、推論都是命題．過渡：同學們都知道，一個定理或推論都是由條件和結論兩部分構成（結合學生所舉定理和推論的例子，讓學生分辨定理和推論條件和結論，明確所有的定理、推論都是由條件和結論兩部分構成）。緊接著提出問題：命題是否也是由條件和結論兩部分構成呢？6.命題的構成――條件和結論定義：從構成來看，所有的命題都具由條件和結論兩部分構成．在數學中，命題常寫成“若p，則q”或者“如果p，那么q”這種形式，通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件,q叫做命題結論．7．練習、深化指出下列命題中的條件p和結論q，并判斷各命題的真假．（１）若整數a能被２整除，則a是偶數．（２）若四邊行是菱形，則它的對角線互相垂直平分．（３）若a＞0，b＞0，則a+b＞0．（４）若a＞0，b＞0，則a+b＜0．（５）垂直于同一條直線的兩個平面平行．此題中的（１）（２）（３）（４），較容易，估計學生較容易找出命題中的條件p和結論q，并能判斷命題的真假。其中設置命題（３）與（４）的目的在于：通過這兩個例子的比較，學更深刻地理解命題的定義——能判斷真假的陳述句，不管判斷的結果是對的還是錯的。此例中的命題（５），不是“若P，則q”的形式，估計學生會有困難，此時，教師引導學生一起分析：已知的事項為“條件”，由已知推出的事項為“結論”．解略。過渡：從例２中，我們可以看到命題的兩種情況，即有些命題的結論是正確的，而有些命題的結論是錯誤的，那么我們就有了對命題的一種分類：真命題和假命題．8．命題的分類――真命題、假命題的定義．真命題：如果由命題的條件P通過推理一定可以得出命題的結論q，那么這樣的命題叫做真命題．假命題：如果由命題的條件P通過推理不一定可以得出命題的結論q，那么這樣的命題叫做假命題．強調：(１)注意命題與假命題的區別．如：“作直線AB”．這本身不是命題．也更不是假命題．(２)命題是一個判斷，判斷的結果就有對錯之分．因此就要引入真命題、假命題的的概念，強調真假命題的大前提，首先是命題。9．怎樣判斷一個數學命題的真假？(１)數學中判定一個命題是真命題，要經過證明．(２)要判斷一個命題是假命題，只需舉一個反例即可．10．練習、深化例３：把下列命題寫成“若P，則q”的形式，并判斷是真命題還是假命題：面積相等的兩個三角形全等。負數的立方是負數。對頂角相等。分析：要把一個命題寫成“若P，則q”的形式，關鍵是要分清命題的條件和結論，然后寫成“若條件，則結論”即“若P，則q”的形式．解略。11、鞏固練習：Ｐ４２、３12．教學反思師生共同回憶本節的學習內容．1．什么叫命題？真命題？假命題？2．命題是由哪兩部分構成的？3．怎樣將命題寫成“若P，則q”的形式．4．如何判斷真假命題．教師提示應注意的問題：1．命題與真、假命題的關系．2．抓住命題的兩個構成部分，判斷一些語句是否為命題．３．判斷假命題，只需舉一個反例，而判斷真命題，要經過證明．13．作業：P9：習題1．１Ａ組第1題1.1.2四種命題1.1.3四種命題的相互關系（一）教學目標◆知識與技能：了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題的形式和四種命題間的相互關系，會用等價命題判斷四種命題的真假．◆過程與方法：多讓學生舉命題的例子，并寫出四種命題，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、有創造性地解決問題的能力；培養學生抽象概括能力和思維能力．◆情感、態度與價值觀：通過學生的舉例，激發學生學習數學的興趣和積極性，培養他們的辨析能力以及培養他們的分析問題和解決問題的能力．（二）教學重點與難點重點：（1）會寫四種命題并會判斷命題的真假；（2）四種命題之間的相互關系．難點：（1）命題的否定與否命題的區別；（2）寫出原命題的逆命題、否命題和逆否命題；（3）分析四種命題之間相互的關系并判斷命題的真假．教具準備：與教材內容相關的資料。教學設想：通過學生的舉例，激發學生學習數學的興趣和積極性，培養他們的辨析能力以及培養他們的分析問題和解決問題的能力．（三）教學過程學生探究過程：１．復習引入初中已學過命題與逆命題的知識，請同學回顧：什么叫做命題的逆命題？2．思考、分析問題1：下列四個命題中，命題（1）與命題（2）、（3）、（4）的條件與結論之間分別有什么關系？（1）若f(x)是正弦函數，則f(x)是周期函數．（2）若f(x)是周期函數，則f(x)是正弦函數．（3）若f(x)不是正弦函數，則f(x)不是周期函數．（4）若f(x)不是周期函數，則f(x)不是正弦函數．３．歸納總結問題一通過學生分析、討論可以得到正確結論．緊接結合此例給出四個命題的概念，（１）和（２）這樣的兩個命題叫做互逆命題，（１）和（３）這樣的兩個命題叫做互否命題，（１）和（４）這樣的兩個命題叫做互為逆否命題。４．抽象概括定義１：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆命題．讓學生舉一些互逆命題的例子。定義２：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互否命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的否命題．讓學生舉一些互否命題的例子。定義３：一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，那么我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的逆否命題．讓學生舉一些互為逆否命題的例子。小結：交換原命題的條件和結論，所得的命題就是它的逆命題：同時否定原命題的條件和結論，所得的命題就是它的否命題；交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題就是它的逆否命題．強調：原命題與逆命題、原命題與否命題、原命題與逆否命題是相對的。５．四種命題的形式讓學生結合所舉例子，思考：若原命題為“若P，則q”的形式，則它的逆命題、否命題、逆否命題應分別寫成什么形式？學生通過思考、分析、比較，總結如下：原命題：若P，則q．則：逆命題：若q，則P．否命題：若￢P，則￢q．（說明符號“￢”的含義：符號“￢”叫做否定符號．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）逆否命題：若￢q，則￢P．６．鞏固練習寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假：若一個三角形的兩條邊相等，則這個三角形的兩個角相等；若一個整數的末位數字是０，則這個整數能被５整除；若x2=1,則x=1；若整數a是素數，則是a奇數。７．思考、分析結合以上練習思考：原命題的真假與其它三種命題的真假有什么關系？通過此問，學生將發現：①原命題為真，它的逆命題不一定為真。②原命題為真，它的否命題不一定為真。③原命題為真，它的逆否命題一定為真。原命題為假時類似。結合以上練習完成下列表格：原命題逆命題否命題逆否命題真真假真假真假假由表格學生可以發現：原命題與逆否命題總是具有相同的真假性，逆命題與否命題也總是具有相同的真假性．由此會引起我們的思考：一個命題的逆命題、否命題與逆否命題之間是否還存在著一定的關系呢？讓學生結合所做練習分析原命題與它的逆命題、否命題與逆否命題四種命題間的關系．學生通過分析，將發現四種命題間的關系如下圖所示：８．總結歸納若P，則q．若q，則P．原命題互逆逆命題互否互為否逆互否為互逆否否命題逆否命題互逆若￢P，則￢q．若￢q，則￢P．由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間的關系如下：（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明某一個命題為真命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題．９．例題分析例4：證明：若p2＋q2＝2，則p＋q≤2．分析：如果直接證明這個命題比較困難，可考慮轉化為對它的逆否命題的證明。將“若p2＋q2＝2，則p＋q≤2”視為原命題，要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否命題“若p+q＞2，則p2+q2≠2證明：若p＋q＞2，則p2＋q2＝［（p－q）2＋（p＋q）2］≥（p＋q）2＞×２２＝２所以p2＋q2≠2．這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。練習鞏固：證明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，則a－b≠１０：教學反思（１）逆命題、否命題與逆否命題的概念；（２）兩個命題互為逆否命題，他們有相同的真假性；（３）兩個命題為互逆命題或互否命題，他們的真假性沒有關系；（４）原命題與它的逆否命題等價；否命題與逆命題等價．１１：作業P9：習題1．１Ａ組第２、３、４題1．2充分條件與必要條件（一）教學目標1.知識與技能：正確理解充分不必要條件、必要不充分條件的概念；會判斷命題的充分條件、必要條件．2.過程與方法：通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運用，培養學生分析、判斷和歸納的邏輯思維能力．３．情感、態度與價值觀：通過學生的舉例，培養他們的辨析能力以及培養他們的良好的思維品質，在練習過程中進行辯證唯物主義思想教育．（二）教學重點與難點重點：充分條件、必要條件的概念．(解決辦法：對這三個概念分別先從實際問題引起概念，再詳細講述概念，最后再應用概念進行論證．)難點：判斷命題的充分條件、必要條件。關鍵：分清命題的條件和結論，看是條件能推出結論還是結論能推出條件。教具準備：與教材內容相關的資料。教學設想：通過學生的舉例，培養他們的辨析能力以及培養他們的良好的思維品質，在練習過程中進行辯證唯物主義思想教育．（三）教學過程學生探究過程：1．練習與思考寫出下列兩個命題的條件和結論，并判斷是真命題還是假命題？（1）若x＞a2+b2，則x＞2ab,（2）若ab＝0，則a＝0.學生容易得出結論；命題(1)為真命題，命題(２)為假命題．置疑：對于命題“若p，則q”，有時是真命題，有時是假命題．如何判斷其真假的？答：看p能不能推出q，如果p能推出q，則原命題是真命題，否則就是假命題．２．給出定義命題“若p，則q”為真命題，是指由p經過推理能推出q，也就是說，如果p成立，那么q一定成立．換句話說，只要有條件p就能充分地保證結論q的成立，這時我們稱條件p是q成立的充分條件．一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q．這時，我們就說，由p可推出q，記作：pq．定義：如果命題“若p，則q”為真命題，即pq,那么我們就說p是q的充分條件；q是p必要條件．上面的命題(1)為真命題，即x＞a2+b2x＞2ab，所以“x＞a2+b2”是“x＞2ab”的充分條件，“x＞2ab”是“x＞a2+b2”＂的必要條件3．例題分析：例１：下列“若p，則q”形式的命題中，那些命題中的p是q的充分條件？（1）若x＝1，則x2－4x＋3＝0；（2）若f(x)＝x，則f(x)為增函數；（3）若x為無理數，則x2為無理數．分析：要判斷p是否是q的充分條件，就要看p能否推出q．解略．例２：下列“若p,則q”形式的命題中，那些命題中的q是p的必要條件?若x＝y，則x2＝y2；若兩個三角形全等，則這兩個三角形的面積相等；（3）若a＞b,則ac＞bc．分析：要判斷q是否是p的必要條件，就要看p能否推出q．解略．４、鞏固鞏固：P12練習第1、2、3、4題５．教學反思：充分、必要的定義．在“若p，則q”中，若pq，則p為q的充分條件，q為p的必要條件．６．作業P14：習題1.2A組第1(1)(2),2(1)(2)題注：（1）條件是相互的；（2）p是q的什么條件，有四種回答方式：①p是q的充分而不必要條件；②p是q的必要而不充分條件；③p是q的充要條件；④p是q的既不充分也不必要條件．1.2.2充要條件(一)教學目標 1.知識與技能目標：正確理解充要條件的定義,了解充分而不必要條件,必要而不充分條件,既不充分也不必要條件的定義．正確判斷充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.通過學習，使學生明白對條件的判定應該歸結為判斷命題的真假,．2.過程與方法目標：在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養學生思維能力的嚴密性品質．3.情感、態度與價值觀：激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．（二）教學重點與難點重點：1、正確區分充要條件；2、正確運用“條件”的定義解題難點：正確區分充要條件．教具準備：與教材內容相關的資料。教學設想：在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養學生思維能力的嚴密性品質．（三）教學過程學生探究過程：1.思考、分析已知p：整數a是2的倍數；q：整數a是偶數.請判斷：p是q的充分條件嗎？p是q的必要條件嗎？分析：要判斷p是否是q的充分條件，就要看p能否推出q，要判斷p是否是q的必要條件，就要看q能否推出p．易知：pq，故p是q的充分條件；又qp，故p是q的必要條件．此時,我們說,p是q的充分必要條件２.類比歸納一般地,如果既有pq，又有qp就記作pq.此時,我們說,那么p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.概括地說,如果pq,那么p與q互為充要條件.3.例題分析例1：下列各題中，哪些p是q的充要條件？p:b＝0,q:函數f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數；p:x＞0,y＞0,q:xy＞0；p:a＞b,q:a+c＞b+c；p:x＞5,,q:x＞10p:a＞b,q:a2＞b2分析：要判斷p是q的充要條件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．解：命題（１）和（３）中，pq，且qp，即pq，故p是q的充要條件；命題（２）中，pq,但qp，故p不是q的充要條件；命題（４）中，pq，但qp，故p不是q的充要條件；命題（５）中，pq，且qp，故p不是q的充要條件；４．類比定義一般地，若pq,但qp，則稱p是q的充分但不必要條件；若pq，但qp，則稱p是q的必要但不充分條件；若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件．在討論p是q的什么條件時，就是指以下四種之一：①若pq,但qp，則p是q的充分但不必要條件；②若qp，但pq，則p是q的必要但不充分條件；③若pq，且qp，則p是q的充要條件；④若pq，且qp，則p是q的既不充分也不必要條件．５．鞏固練習：P14練習第1、2題說明：要求學生回答p是q的充分但不必要條件、或p是q的必要但不充分條件、或p是q的充要條件、或p是q的既不充分也不必要條件．６．例題分析例2：已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．分析：設p：d＝r，q：直線l與⊙O相切．要證p是q的充要條件，只需要分別證明充分性（pq）和必要性（qp）即可．證明過程略．例3、設p是r的充分而不必要條件，q是r的充分條件，r成立，則s成立．s是q的充分條件，問（1）s是r的什么條件？（2）p是q的什么條件？７．教學反思：充要條件的判定方法如果“若p，則q”與“若p則q”都是真命題，那么p就是q的充要條件，否則不是．８．作業：P1４：習題1.2A組第1(3)(2),2(3),3題1.3簡單的邏輯聯結詞1.3.1且1.3.2或(一)教學目標 1.知識與技能目標：掌握邏輯聯結詞“或、且”的含義正確應用邏輯聯結詞“或、且”解決問題掌握真值表并會應用真值表解決問題2．過程與方法目標：在觀察和思考中，在解題和證明題中，本節課要特別注重學生思維的嚴密性品質的培養．3.情感態度價值觀目標：激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．(二)教學重點與難點重點：通過數學實例，了解邏輯聯結詞“或、且”的含義，使學生能正確地表述相關數學內容。難點：1、正確理解命題“P∧q”“P∨q”真假的規定和判定．2、簡潔、準確地表述命題“P∧q”“P∨q”.教具準備：與教材內容相關的資料。教學設想：在觀察和思考中，在解題和證明題中，本節課要特別注重學生思維的嚴密性品質的培養．（三）教學過程學生探究過程：1、引入在當今社會中，人們從事任何工作、學習，都離不開邏輯．具有一定邏輯知識是構成一個公民的文化素質的重要方面．數學的特點是邏輯性強，特別是進入高中以后，所學的數學比初中更強調邏輯性．如果不學習一定的邏輯知識，將會在我們學習的過程中不知不覺地經常犯邏輯性的錯誤．其實，同學們在初中已經開始接觸一些簡易邏輯的知識．在數學中，有時會使用一些聯結詞，如“且”“或”“非”。在生活用語中，我們也使用這些聯結詞，但表達的含義和用法與數學中的含義和用法不盡相同。下面介紹數學中使用聯結詞“且”“或”“非”聯結命題時的含義和用法。為敘述簡便，今后常用小寫字母p，q，r，s，…表示命題。（注意與上節學習命題的條件p與結論q的區別）2、思考、分析問題1：下列各組命題中，三個命題間有什么關系？（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。（2）①27是7的倍數；②27是9的倍數；③27是7的倍數或是9的倍數。學生很容易看到，在第（1）組命題中，命題③是由命題①②使用聯結詞“且”聯結得到的新命題，在第（2）組命題中，命題③是由命題①②使用聯結詞“或”聯結得到的新命題，。問題2：以前我們有沒有學習過象這樣用聯結詞“且”或“或”聯結的命題呢？你能否舉一些例子？例如：命題p：菱形的對角線相等且菱形的對角線互相平分。命題q：三條邊對應成比例的兩個三角形相似或兩個角相等的兩個三角形相似。3、歸納定義一般地，用聯結詞“且”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，記作p∧q讀作“p且q”。一般地，用聯結詞“或”把命題p和命題q聯結起來，就得到一個新命題，記作p∨q,讀作“p或q”。命題“p∧q”與命題“p∨q”即，命題“p且q”與命題“p或q”中的“且”字與“或”字與下面兩個命題中的“且”字與“或”字的含義相同嗎？（1）若x∈A且x∈B，則x∈A∩B。（2）若x∈A或x∈B，則x∈A∪B。定義中的“且”字與“或”字與兩個命題中的“且”字與“或”字的含義是類似。但這里的邏輯聯結詞“且”與日常語言中的“和”，“并且”，“以及”，“既…又…”等相當，表明前后兩者同時兼有，同時滿足,邏輯聯結詞“或”與生活中“或”的含義不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去這種可能.說明：符號“∧”與“∩”開口都是向下，符號“∨”與“∪”開口都是向上。注意：“p或q”，“p且q”，命題中的“p”、“q”是兩個命題，而原命題，逆命題，否命題，逆否命題中的“p”,“q”是一個命題的條件和結論兩個部分.4、命題“p∧q”與命題“p∨q”的真假的規定你能確定命題“p∧q”與命題“p∨q”的真假嗎？命題“p∧q”與命題“p∨q”的真假和命題p，q的真假之間有什么聯系？引導學生分析前面所舉例子中命題p，q以及命題p∧q的真假性，概括出這三個命題的真假之間的關系的一般規律。例如：在上面的例子中，第（1）組命題中，①②都是真命題，所以命題③是真命題。第（2）組命題中，①是假命題，②是真命題，但命題③是真命題。pqp∧q真真真真假假假真假假假假pqp∨q真真真真假真假真真假假假（即一假則假）（即一真則真）一般地，我們規定：當p，q都是真命題時，p∧q是真命題；當p，q兩個命題中有一個命題是假命題時，p∧q是假命題；當p，q兩個命題中有一個是真命題時，p∨q是真命題；當p，q兩個命題都是假命題時，p∨q是假命題。5、例題例1：將下列命題分別用“且”與“或”聯結成新命題“p∧q”與“p∨q”的形式，并判斷它們的真假。（1）p：平行四邊形的對角線互相平分，q：平行四邊形的對角線相等。（2）p：菱形的對角線互相垂直，q：菱形的對角線互相平分；（3）p：35是15的倍數，q：35是7的倍數.解：（1）p∧q：平行四邊形的對角線互相平分且平行四邊形的對角線相等.也可簡寫成平行四邊形的對角線互相平分且相等.p∨q:平行四邊形的對角線互相平分或平行四邊形的對角線相等.也可簡寫成平行四邊形的對角線互相平分或相等.由于p是真命題,且q也是真命題,所以p∧q是真命題,p∨q也是真命題．（2）p∧q：菱形的對角線互相垂直且菱形的對角線互相平分.也可簡寫成菱形的對角線互相垂直且平分.p∨q:菱形的對角線互相垂直或菱形的對角線互相平分.也可簡寫成菱形的對角線互相垂直或平分.由于p是真命題,且q也是真命題,所以p∧q是真命題,p∨q也是真命題．（3）p∧q：35是15的倍數且35是7的倍數.也可簡寫成35是15的倍數且是7的倍數.p∨q:35是15的倍數或35是7的倍數.也可簡寫成35是15的倍數或是7的倍數.由于p是假命題,q是真命題,所以p∧q是假命題,p∨q是真命題．說明，在用＂且＂或＂或＂聯結新命題時，如果簡寫，應注意保持命題的意思不變．例2：選擇適當的邏輯聯結詞“且”或“或”改寫下列命題，并判斷它們的真假。（1）1既是奇數，又是素數；（2）2是素數且3是素數；（3）2≤2．解略．例3、判斷下列命題的真假；（1）6是自然數且是偶數（2）是A的子集且是A的真子集；（3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；（4）周長相等的兩個三角形全等或面積相等的兩個三角形全等．解略．6．鞏固練習：Ｐ2０練習第1，2題７.教學反思：掌握邏輯聯結詞“或、且”的含義正確應用邏輯聯結詞“或、且”解決問題掌握真值表并會應用真值表解決問題pqP∧qP∨q真真真真真假假真假真假真假假假假８．作業：P20：習題１.３Ａ組第1、2題1.3.3非(一)教學目標1.知識與技能目標：（1）掌握邏輯聯結詞“非”的含義（2）正確應用邏輯聯結詞“非”解決問題（3）掌握真值表并會應用真值表解決問題2．過程與方法目標：觀察和思考中，在解題和證明題中，本節課要特別注重學生思維能力中嚴密性品質的培養．3.情感態度價值目標：激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．(二)教學重點與難點重點：通過數學實例，了解邏輯聯結詞“非”的含義，使學生能正確地表述相關數學內容.難點：1、正確理解命題“￢P”真假的規定和判定．2、簡潔、準確地表述命題“￢P”.教具準備：與教材內容相關的資料。教學設想：激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．（三）教學過程學生探究過程：1、思考、分析問題1：下列各組命題中的兩個命題間有什么關系？（1）①35能被5整除；②35不能被5整除；（2）①方程x2+x+1=0有實數根。②方程x2+x+1=0無實數根。學生很容易看到，在每組命題中，命題②是命題①的否定。2、歸納定義一般地，對一個命題p全盤否定，就得到一個新命題，記作￢p讀作“非p”或“p的否定”。3、命題“￢p”與命題p的真假間的關系命題“￢p”與命題p的真假之間有什么聯系？引導學生分析前面所舉例子中命題p與命題￢p的真假性，概括出這兩個命題的真假之間的關系的一般規律。例如：在上面的例子中，第（1）組命題中，命題①是真命題，而命題②是假命題。第（2）組命題中，命題①是假命題，而命題②是真命題。由此可以看出，既然命題￢P是命題P的否定，那么￢P與P不能同時為真命題，也不能同時為假命題，也就是說，若p是真命題，則￢p必是假命題；若p是假命題，則￢p必是真命題；p￢P真假假真4、命題的否定與否命題的區別讓學生思考：命題的否定與原命題的否命題有什么區別？命題的否定是否定命題的結論，而命題的否命題是對原命題的條件和結論同時進行否定，因此在解題時應分請命題的條件和結論。例：如果命題p:5是15的約數，那么命題￢p：5不是15的約數；p的否命題：若一個數不是5，則這個數不是15的約數。顯然，命題p為真命題，而命題p的否定￢p與否命題均為假命題。5.例題分析例1

寫出下表中各給定語的否定語。若給定語為等于大于是都是至多有一個至少有一個其否定語分別為

分析：“等于”的否定語是“不等于”；

“大于”的否定語是“小于或者等于”；

“是”的否定語是“不是”；

“都是”的否定語是“不都是”；

“至多有一個”的否定語是“至少有兩個”；

“至少有一個”的否定語是“一個都沒有”；

例2：寫出下列命題的否定，判斷下列命題的真假（1）p：y＝sinx是周期函數；（2）p：3＜2；（3）p：空集是集合A的子集。解略.6.鞏固練習：P20練習第3題7．教學反思：（１）正確理解命題“￢P”真假的規定和判定．（２）簡潔、準確地表述命題“￢P”.８．作業P20：習題１.３Ａ組第3題1．4全稱量詞與存在量詞1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞(一)教學目標1.知識與技能目標（1）通過生活和數學中的豐富實例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見的全稱量詞和存在量詞．（2）了解含有量詞的全稱命題和特稱命題的含義，并能用數學符號表示含有量詞的命題及判斷其命題的真假性．2.過程與方法目標使學生體會從具體到一般的認知過程，培養學生抽象、概括的能力．3.情感態度價值觀通過學生的舉例，培養他們的辨析能力以及培養他們的良好的思維品質，在練習過程中進行辯證唯物主義思想教育．(二)教學重點與難點重點:理解全稱量詞與存在量詞的意義難點:全稱命題和特稱命題真假的判定.教具準備：與教材內容相關的資料。教學設想：激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．（三）教學過程學生探究過程：1．思考、分析下列語句是命題嗎？假如是命題你能判斷它的真假嗎？（1）2x＋１是整數；(2)x＞３；(3)如果兩個三角形全等，那么它們的對應邊相等；（4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行；（5）海師附中今年所有高中一年級的學生數學課本都是采用人民教育出版社A版的教科書；（6）所有有中國國籍的人都是黃種人；（7）對所有的x∈Ｒ,x＞３；（8）對任意一個x∈Ｚ，2x＋１是整數。推理、判斷（讓學生自己表述）（1）、（2）不能判斷真假，不是命題。（3）、(4)是命題且是真命題。（5）－（8）如果是假，我們只要舉出一個反例就行。注：對于（5）－（8）最好是引導學生將反例用命題的形式寫出來。因為這些命題的反例涉及到“存在量詞”“特稱命題”“全稱命題的否定”這些后續內容。（5）的真假就看命題：海師附中今年存在個別（部分）高一學生數學課本不是采用人民教育出版社A版的教科書；這個命題的真假，該命題為真，所以命題（5）為假；命題（6）是假命題．事實上，存在一個（個別、部分）有中國國籍的人不是黃種人．命題（7）是假命題．事實上，存在一個（個別、某些）實數（如x＝2），x＜３．（至少有一個x∈Ｒ,x≤３）命題（8）是真命題。事實上不存在某個x∈Ｚ，使2x＋１不是整數。也可以說命題：存在某個x∈Ｚ使2x＋１不是整數，是假命題．3．發現、歸納命題（5）－（8）跟命題（3）、（4）有些不同，它們用到“所有的”“任意一個”這樣的詞語，這些詞語一般在指定的范圍內都表示整體或全部，這樣的詞叫做全稱量詞，用符號“”表示，含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。命題（5）－（8）都是全稱命題。通常將含有變量x的語句用p（x），q（x），r（x），……表示，變量x的取值范圍用M表示。那么全稱命題“對M中任意一個x，有p（x）成立”可用符號簡記為：xM,p（x），讀做“對任意x屬于M，有p（x）成立”。剛才在判斷命題（5）－（8）的真假的時候，我們還得出這樣一些命題：（5），存在個別高一學生數學課本不是采用人民教育出版社A版的教科書；（6），存在一個（個別、部分）有中國國籍的人不是黃種人．（7），存在一個（個別、某些）實數x（如x＝2），使x≤３．（至少有一個x∈Ｒ,x≤３）（8），不存在某個x∈Ｚ使2x＋１不是整數．這些命題用到了“存在一個”“至少有一個”這樣的詞語，這些詞語都是表示整體的一部分的詞叫做存在量詞。并用符號“”表示。含有存在量詞的命題叫做特稱命題（或存在命題）命題（5），－（8），都是特稱命題（存在命題）．特稱命題：“存在M中一個x，使p（x）成立”可以用符號簡記為：。讀做“存在一個x屬于M,使p（x）成立”．全稱量詞相當于日常語言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一個”等；存在量詞相當于日常語言中“存在一個”，“有一個”，“有些”，“至少有一個”，“至多有一個”等.4．鞏固練習（1）下列全稱命題中，真命題是：A.所有的素數是奇數；B.；C.D.（2）下列特稱命題中，假命題是：A.B.至少有一個能被2和3整除C.存在兩個相交平面垂直于同一直線D.x2是有理數．（3）已知：對恒成立，則a的取值范圍是；變式：已知：對恒成立，則a的取值范圍是；（4）求函數的值域；變式：已知：對方程有解，求a的取值范圍．5．課外作業P29習題1.4A組1、2題：6．教學反思：（1）判斷下列全稱命題的真假：①末位是o的整數，可以被5整除；②線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；③負數的平方是正數；④梯形的對角線相等。（2）判斷下列特稱命題的真假：①有些實數是無限不循環小數；②有些三角形不是等腰三角形；③有些菱形是正方形。（3）探究：①請課后探究命題（5），－（8），跟命題（5）－（8）分別有什么關系？②請你自己寫出幾個全稱命題，并試著寫出它們的否命題．寫出幾個特稱命題，并試著寫出它們的否命題。1．4．3含有一個量詞的命題的否定(一)教學目標1.知識與技能目標（1）通過探究數學中一些實例，使學生歸納總結出含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規律．（2）通過例題和習題的教學，使學生能夠根據含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規律，正確地對含有一個量詞的命題進行否定．2．過程與方法目標：使學生體會從具體到一般的認知過程，培養學生抽象、概括的能力．3.情感態度價值觀通過學生的舉例，培養他們的辨析能力以及培養他們的良好的思維品質，在練習過程中進行辯證唯物主義思想教育．(二)教學重點與難點教學重點：通過探究，了解含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規律，會正確地對含有一個量詞的命題進行否定．教學難點：正確地對含有一個量詞的命題進行否定．教具準備：與教材內容相關的資料。教學設想：激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．（三）教學過程學生探究過程：1．回顧我們在上一節中學習過邏輯聯結詞“非”．對給定的命題p，如何得到命題p的否定（或非p），它們的真假性之間有何聯系？2．思考、分析判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，你能寫出下列命題的否定嗎？（1）所有的矩形都是平行四邊形；（2）每一個素數都是奇數；（3）x∈R,x2－2x＋1≥0。（4）有些實數的絕對值是正數；（5）某些平行四邊形是菱形；（6）x∈R,x2＋1＜0。3．推理、判斷你能發現這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？（讓學生自己表述）前三個命題都是全稱命題，即具有形式“”。其中命題（1）的否定是“并非所有的矩形都是平行四邊形”，也就是說，存在一個矩形不都是平行四邊形；命題（2）的否定是“并非每一個素數都是奇數；”，也就是說，存在一個素數不是奇數；命題（3）的否定是“并非x∈R,x2－2x＋1≥0”x∈R,x2－2x＋1＜0；后三個命題都是特稱命題，即具有形式“”。其中命題（4）的否定是“不存在一個實數，它的絕對值是正數”，也就是說，所有實數的絕對值都不是正數；命題（5）的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，也就是說，每一個平行四邊形都不是菱形；命題（6）的否定是“不存在x∈R,x2＋1＜0”x∈R,x2＋1≥0；4．發現、歸納從命題的形式上看，前三個全稱命題的否定都變成了特稱命題。后三個特稱命題的否定都變成了全稱命題。一般地，對于含有一個量詞的全稱命題的否定，有下面的結論：全稱命題P：它的否定￢P特稱命題P：它的否定￢P：x∈M，￢P(x)全稱命題和否定是特稱命題。特稱命題的否定是全稱命題。5．鞏固練習判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并寫出它們的否定：p：所有能被3整除的整數都是奇數；p：每一個四邊形的四個頂點共圓；p：對x∈Z，x2個位數字不等于3；p：x∈R,x2＋2x＋2≤0；p：有的三角形是等邊三角形；p：有一個素數含三個正因數。6．教學反思與作業（1）教學反思：如何寫出含有一個量詞的命題的否定，原先的命題與它的否定在形式上有什么變化？（2）作業：P29習題1.4A組第3題：B組（1）（2）（3）（4）第二章圓錐曲線與方程2.1曲線與方程2.1.1曲線與方程2.1.2求曲線的軌跡方程一、教學目標(一)知識教學點使學生掌握常用動點的軌跡以及求動點軌跡方程的常用技巧與方法．(二)能力訓練點通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養學生綜合運用各方面知識的能力．(三)學科滲透點通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學生掌握常用動點的軌跡，為學習物理等學科打下扎實的基礎．二、教材分析1．重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法．(解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學生掌握這種方法．)2．難點：作相關點法求動點的軌跡方法．(解決辦法：先使學生了解相關點法的思路，再用例題進行講解．)教具準備：與教材內容相關的資料。教學設想：激發學生的學習熱情，激發學生的求知欲，培養嚴謹的學習態度，培養積極進取的精神．三、教學過程學生探究過程：(一)復習引入大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是：(1)根據已知條件，求出表示平面曲線的方程；(2)通過方程，研究平面曲線的性質．我們已經對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進行過這兩個方面的研究，今天在上面已經研究的基礎上來對根據已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進行系統分析．(二)幾種常見求軌跡方程的方法1．直接法由題設所給(或通過分析圖形的幾何性質而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法．例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點P的軌跡方程；(2)過點A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡．對(1)分析：動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點P的運動規律：|OP|=2R或|OP|=0．解：設動點P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0．對(2)分析：題設中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質而得出，即圓心與弦的中點連線垂直于弦，它們的斜率互為負倒數．由學生演板完成，解答為：設弦的中點為M(x，y)，連結OM，則OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其軌跡是以OA為直徑的圓在圓O內的一段弧(不含端點)．2．定義法利用所學過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件．直平分線l交半徑OQ于點P(見圖2－45)，當Q點在圓周上運動時，求點P的軌跡方程．分析：∵點P在AQ的垂直平分線上，∴|PQ|=|PA|．又P在半徑OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義寫出P點的軌跡方程．解：連接PA∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半徑OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由橢圓定義可知：P點軌跡是以O、A為焦點的橢圓．3．相關點法若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標表達式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程．這種方法稱為相關點法(或代換法)．例3已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當B點在拋物線上變動時，求點P的軌跡方程．分析：P點運動的原因是B點在拋物線上運動，因此B可作為相關點，應先找出點P與點B的聯系．解：設點P(x，y)，且設點B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內分點．4．待定系數法求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數法求．例4已知拋物線y2=4x和以坐標軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲曲線方程．分析：因為雙曲線以坐標軸為對稱軸，實軸在y軸上，所以可設雙曲線方ax2-4b2x+a2b2=0∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點，根據它們的對稱性，這兩個點的橫坐標應相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應有等根．∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b．(以下由學生完成)由弦長公式得：即a2b2=4b2-a2．(三)鞏固練習用十多分鐘時間作一個小測驗，檢查一下教學效果．練習題用一小黑板給出．1．△ABC一邊的兩個端點是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的2．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？3．求拋物線y2=2px(p＞0)上各點與焦點連線的中點的軌跡方程．答案：義法)由中點坐標公式得：(四)、教學反思求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關點法、待定系數法，還有參數法、復數法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數方程、復數以后再作介紹．五、布置作業1．兩定點的距離為6，點M到這兩個定點的距離的平方和為26，求點M的軌跡方程．2．動點P到點F1(1，0)的距離比它到F2(3，0)的距離少2，求P點的軌跡．3．已知圓x2+y2=4上有定點A(2，0)，過定點A作弦AB，并延長到點P，使3|AB|=2|AB|，求動點P的軌跡方程．作業答案：1．以兩定點A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，得點M的軌跡方程x2+y2=42．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P點只能在x軸上且x＜1六、板書設計2.2橢圓2.2.1橢圓及其標準方程知識與技能目標理解橢圓的概念，掌握橢圓的定義、會用橢圓的定義解決實際問題；理解橢圓標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用的方法；了解求橢圓的動點的伴隨點的軌跡方程的一般方法．過程與方法目標（1）預習與引入過程當變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當截面不與圓錐的軸線或圓錐的母線平行時，截口曲線是橢圓，再觀察或操作了課件后，提出兩個問題：第一、你能理解為什么把圓、橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線；第二、你能舉出現實生活中圓錐曲線的例子．當學生把上述兩個問題回答清楚后，要引導學生一起探究P41頁上的問題（同桌的兩位同學準備無彈性的細繩子一條（約10cm長，兩端各結一個套），教師準備無彈性細繩子一條（約60cm，一端結個套，另一端是活動的），圖釘兩個）．當套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是橢圓．啟發性提問：在這一過程中，你能說出移動的筆小（動點）滿足的幾何條件是什么？〖板書〗2．1．1橢圓及其標準方程．（2）新課講授過程（i）由上述探究過程容易得到橢圓的定義．〖板書〗把平面內與兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓（ellipse）．其中這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩定點間的距離叫做橢圓的焦距．即當動點設為時，橢圓即為點集．（ii）橢圓標準方程的推導過程提問：已知圖形，建立直角坐標系的一般性要求是什么？第一、充分利用圖形的對稱性；第二、注意圖形的特殊性和一般性關系．無理方程的化簡過程是教學的難點，注意無理方程的兩次移項、平方整理．設參量的意義：第一、便于寫出橢圓的標準方程；第二、的關系有明顯的幾何意義．類比：寫出焦點在軸上，中心在原點的橢圓的標準方程．（iii）例題講解與引申例1已知橢圓兩個焦點的坐標分別是，，并且經過點，求它的標準方程．分析：由橢圓的標準方程的定義及給出的條件，容易求出．引導學生用其他方法來解．另解：設橢圓的標準方程為，因點在橢圓上，則．例2如圖，在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足．當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡是什么？分析：點在圓上運動，由點移動引起點的運動，則稱點是點的伴隨點，因點為線段的中點，則點的坐標可由點來表示，從而能求點的軌跡方程．引申：設定點，是橢圓上動點，求線段中點的軌跡方程．解法剖析：①（代入法求伴隨軌跡）設，；②（點與伴隨點的關系）∵為線段的中點，∴；③（代入已知軌跡求出伴隨軌跡），∵，∴點的軌跡方程為；④伴隨軌跡表示的范圍．例3如圖，設，的坐標分別為，．直線，相交于點，且它們的斜率之積為，求點的軌跡方程．分析：若設點，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關系式，即得到點的軌跡方程．解法剖析：設點，則，；代入點的集合有，化簡即可得點的軌跡方程．引申：如圖，設△的兩個頂點，，頂點在移動，且，且，試求動點的軌跡方程．引申目的有兩點：①讓學生明白題目涉及問題的一般情形；②當值在變化時，線段的角色也是從橢圓的長軸→圓的直徑→橢圓的短軸．情感、態度與價值觀目標通過作圖展示與操作，必須讓學生認同：圓、橢圓、雙曲線和拋物線都是圓錐曲線，是因它們都是平面與圓錐曲面相截而得其名；必須讓學生認同與體會：橢圓的定義及特殊情形當常數等于兩定點間距離時，軌跡是線段；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，及引入參量的意義，培養學生用對稱的美學思維來體現數學的和諧美；讓學生認同與領悟：例1使用定義解題是首選的，但也可以用其他方法來解，培養學生從定義的角度思考問題的好習慣；例2是典型的用代入法求動點的伴隨點的軌跡，培養學生的辯證思維方法，會用分析、聯系的觀點解決問題；通過例3培養學生的對問題引申、分段討論的思維品質．◆能力目標想象與歸納能力：能根據課程的內容能想象日常生活中哪些是橢圓、雙曲線和拋物線的實際例子，能用數學符號或自然語言的描述橢圓的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據圖形能用數學術語和數學符號表示．思維能力：會把幾何問題化歸成代數問題來分析，反過來會把代數問題轉化為幾何問題來思考，培養學生的數形結合的思想方法；培養學生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養學生的辯證思維能力．實踐能力：培養學生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力．數學活動能力：培養學生觀察、實驗、探究、驗證與交流等數學活動能力．創新意識能力：培養學生思考問題、并能探究發現一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑．練習：第45頁1、2、3、4、作業：第53頁2、3、2．1．2橢圓的簡單幾何性質知識與技能目標了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點的概念；掌握橢圓的標準方程、會用橢圓的定義解決實際問題；通過例題了解橢圓的第二定義，準線及焦半徑的概念，利用信息技術初步了解橢圓的第二定義．過程與方法目標（1）復習與引入過程引導學生復習由函數的解析式研究函數的性質或其圖像的特點，在本節中不僅要注意通過對橢圓的標準方程的討論，研究橢圓的幾何性質的理解和應用，而且還注意對這種研究方法的培養．①由橢圓的標準方程和非負實數的概念能得到橢圓的范圍；②由方程的性質得到橢圓的對稱性；③先定義圓錐曲線頂點的概念，容易得出橢圓的頂點的坐標及長軸、短軸的概念；④通過P48的思考問題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書〗§2．1．2橢圓的簡單幾何性質．（2）新課講授過程（i）通過復習和預習，知道對橢圓的標準方程的討論來研究橢圓的幾何性質．提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點及其他特征性質來研究曲線的幾何性質．（ii）橢圓的簡單幾何性質①范圍：由橢圓的標準方程可得，，進一步得：，同理可得：，即橢圓位于直線和所圍成的矩形框圖里；②對稱性：由以代，以代和代，且以代這三個方面來研究橢圓的標準方程發生變化沒有，從而得到橢圓是以軸和軸為對稱軸，原點為對稱中心；③頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；④離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率（），；．（iii）例題講解與引申、擴展例4求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標．分析：由橢圓的方程化為標準方程，容易求出．引導學生用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點和頂點的定義即可求相關量．擴展：已知橢圓的離心率為，求的值．解法剖析：依題意，，但橢圓的焦點位置沒有確定，應分類討論：①當焦點在軸上，即時，有，∴，得；②當焦點在軸上，即時，有，∴．例5如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面的一部分．過對對稱的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于另一個焦點上，由橢圓一個焦點發出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點．已知，，．建立適當的坐標系，求截口所在橢圓的方程．解法剖析：建立適當的直角坐標系，設橢圓的標準方程為，算出的值；此題應注意兩點：①注意建立直角坐標系的兩個原則；②關于的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數字來決定．引申：如圖所示，“神舟”截人飛船發射升空，進入預定軌道開始巡天飛行，其軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，近地點距地面，遠地點距地面，已知地球的半徑．建立適當的直角坐標系，求出橢圓的軌跡方程．例6如圖，設與定點的距離和它到直線：的距離的比是常數，求點的軌跡方程．分析：若設點，則，到直線：的距離，則容易得點的軌跡方程．引申：（用《幾何畫板》探究）若點與定點的距離和它到定直線：的距離比是常數，則點的軌跡方程是橢圓．其中定點是焦點，定直線：相應于的準線；由橢圓的對稱性，另一焦點，相應于的準線：．情感、態度與價值觀目標在合作、互動的教學氛圍中，通過師生之間、學生之間的交流、合作、互動實現共同探究，教學相長的教學活動情境，結合教學內容，培養學生科學探索精神、審美觀和科學世界觀，激勵學生創新．必須讓學生認同和掌握：橢圓的簡單幾何性質，能由橢圓的標準方程能直接得到橢圓的范圍、對稱性、頂點和離心率；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，①充分利用圖形對稱性，②注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學生認