第四節(jié)基本不等式及其應(yīng)用[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題(每小題5分,共20分)1.(2015·福建德化一中、安溪一中摸底考試)已知a,b∈R*且a+b=1,則ab的最大值等于 ()A.1 B. C. D.1.B【解析】由于a,b∈R*,則1=a+b≥2,得ab≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立.2.(2015·武漢調(diào)研)小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a<b),其全程的平均時(shí)速為v,則 ()A.a<v< B.v=C.<v< D.v=2.A【解析】設(shè)甲、乙兩地相距S,則平均速度v=,又∵a<b,∴v==a.∵a+b>2,∴<0,即v<,∴a<v<.3.已知x>0,y>0,且=1,若x+2y>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.(-4,2) B.(-4,2] C.(-∞,8] D.(-∞,8)3.A【解析】要使x+2y>m2+2m恒成立,則(x+2y)min>m2+2m,而x>0,y>0,x+2y=(x+2y)·1=(x+2y)·=4+≥8,所以(x+2y)min=8,m2+2m<8,解得-4<m<2.4.若不等式x2-2ax-b2+4≤0恰有一個(gè)解,則ab的最大值為 ()A. B.2 C.4 D.84.B【解析】因?yàn)椴坏仁絰2-2ax-b2+4≤0恰有一個(gè)解,所以拋物線y=x2-2ax-b2+4與x軸相切,即(2a)2-4(-b2+4)=0,化簡得a2+b2=4,所以ab≤=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=或a=b=-時(shí),取等號(hào),即ab的最大值為2.二、填空題(每小題5分,共25分)5.(2015·成都摸底考試)當(dāng)x>1時(shí),函數(shù)y=x+的最小值是.

5.3【解析】因?yàn)閤>1,y=x+=(x-1)++1≥2+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,且x>1,即x=2時(shí)等號(hào)成立,故函數(shù)y的最小值為3.6.(2015·唐山月考)實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=2,則3x+9y的最小值是.

6.6【解析】利用基本不等式可得3x+9y=3x+32y≥2=2,∵x+2y=2,∴3x+9y≥2=2=6,當(dāng)且僅當(dāng)3x=32y,即x=1,y=時(shí),取等號(hào),即3x+9y的最小值為6.7.(2015·湖南長郡中學(xué)月考)設(shè)x,y,z均為正數(shù),滿足x-2y+3z=0,則的最小值是.

7.3【解析】∵x-2y+3z=0,∴y=,∴=3.當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時(shí)取“=”.8.(2016·長春外國語學(xué)校質(zhì)檢)已知第一象限的點(diǎn)(a,b)在直線2x+3y-1=0上,則代數(shù)式的最小值為.

8.25【解析】由題意可得2a+3b=1,a>0,b>0,則(2a+3b)=13+≥13+2=25,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào),所以代數(shù)式的最小值為25.9.(2015·廣東惠州一中等六校聯(lián)考)若不等式≥a對(duì)任意的x∈(0,1)恒成立,則a的最大值是.

9.9【解析】∵x∈(0,1),∴1-x>0,∴=5+≥5+2=5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng),即x=時(shí),取等號(hào),所以的最小值為9,所以a≤9,所以a的最大值為9.[高考沖關(guān)]1.(5分)(2016·沈陽四校聯(lián)考)對(duì)于使f(x)≤M成立的所有常數(shù)M中,我們把M的最小值叫做f(x)的“上確界”,若a,b∈R*且a+b=1,則-的“上確界”為 ()A.- B. C. D.-41.A【解析】因?yàn)?a+b)=+2,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=時(shí)取等號(hào),所以-≤-,即-的“上確界”為-.2.(5分)已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△AFO與△BFO面積之和的最小值是 ()A. B. C. D.2.B【解析】由題意,設(shè)A(a2,a),B(b2,b),ab<0,∴=a2b2+ab=2,∴ab=-2.又∵F為拋物線y2=x的焦點(diǎn),∴F,∴S△AFO+S△BFO=×|b-a|.∵|b-a|2=a2+b2-2ab≥-2ab-2ab=-4ab=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=-b時(shí),等號(hào)成立,∴|b-a|min=2,∴(S△AFO+S△BFO)min=.3.(5分)(2015·肇慶檢測(cè))若a>0,b>0,且,則a3+b3的最小值為.

3.4【解析】因?yàn)閍>0,b>0,所以,則ab≥2,所以a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)≥2·(2ab-ab)=2()3≥2()3=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),即a3+b3的最小值為4.4.(5分)(2015·河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢)已知△ABC的面積S和三邊a,b,c滿足:S=a2-(b-c)2,b+c=6,則△ABC面積S的最大值為.

4.【解析】由S=a2-(b-c)2得b2+c2-a2+S=2bc,則2bccosA+bcsinA=2bc,所以cosA=1-sinA,代入cos2A+sin2A=1中解得sinA=.又b+c=6≥2,則bc≤9,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)取等號(hào),所以△ABC面積S的最大值為bcsinA≤×9×.5.(5分)(2016·沈陽四校聯(lián)考)設(shè)x,y均為正數(shù),且方程(x2+x